2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第7章 立体几何 7-2 word版含答案

(时间：40分钟)

1．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)

A．17π

B．18π

C．20π

D．28π

答案　A

解析　

由三视图知该几何体为球去掉了所剩的几何体(如图)，设球的半径为R，则×πR3＝，故R＝2，从而它的表面积S＝×4πR2＋×πR2＝17π.故选A.

2．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)

A．108 cm3

B．100 cm3

C．92 cm3

D．84 cm3

答案　B

解析　由三视图可知原几何体是一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体切去一个三棱锥，因此该几何体的体积＝6×3×6－×4××4×3＝108－8＝100(cm3)，故选B.

3．某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为(　　)

A．92＋14π    B．82＋14π

C．92＋24π    D．82＋24π

答案　A

解析　由三视图可知，此几何体上半部分是半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为5，下半部分是一个长方体，长、宽、高分别为5、4、4，故此几何体的表面积为4×4×2＋4×5×3＋＋4π＝92＋14π，故选A.

4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)

A．2＋    B．4＋ 

C．2＋2    D．5

答案　C

解析　由三视图还原几何体如图．故S表面积＝S△BCD＋2S△ACD＋S△ABC＝×2×2＋2×××1＋×2×＝2＋＋＝2＋2.

5．已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为2∶1，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为，则此三棱柱的侧面积为(　　)

A.   B. 

C．8    D．6

答案　D

解析　如图，根据球的表面积可得球的半径为r＝，设三棱柱的底面边长为x，则2＝x2＋2，解得x＝1，故该三棱柱的侧面积为3×1×2＝6.

6．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.

答案　2

解析　四棱锥的底面是平行四边形，由三视图可知其底面积为2×1＝2 (m2)，四棱锥的高为3 m，所以四棱锥的体积V＝×2×3＝2 (m3)．

7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．

答案　2(π＋)

解析　由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋)．

8．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.

答案　72　32

解析　由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，∴该几何体的体积V＝2×2×4×2＝32 (cm3)，表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72 (cm2)．

9．一个空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的外接球的表面积．

解　依题意，题中的几何体是三棱锥A－BCD，如图所示．

其中底面△BCD是等腰直角三角形，BC＝CD＝，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝，BD＝2，AC⊥CD.

取AD的中点M，连接BM，CM，

则有BM＝CM＝AD＝ ＝，

该几何体的外接球的半径是，

该几何体的外接球的表面积为4π×2＝6π.

10．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．

解　解法一：如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．

所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．

由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.

四棱锥D－MNEF的体积为：

V2＝×S梯形MNEF×DN＝××(1＋2)×6×8＝24，

则几何体的体积为：V＝V1＋V2＝72＋24＝96.

解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.

(时间：20分钟)

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)

A．18＋36    B．54＋18

C．90    D．81

答案　B

解析　由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为3的平行六面体，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×3＋2×3×6＝54＋18，故选B.

12．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　如图所示，由题意知该几何体为四棱锥P－ABCD，底面面积S＝2×2＝4，高h＝，故体积VP－ABCD＝Sh＝×4×＝.

13．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为________．

答案　9π

解析　

该三棱锥的直观图如图所示，其中底面ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，侧面PAB⊥底面ABC，顶点P在底面上的射影为AB的中点O′.该三棱锥的外接球的球心一定在PO′上，且满足OP＝OA＝r.在Rt△OO′A中，O′A＝

 ＝，OO′＝2－r，所以r2＝2＋(2－r)2，

解得r＝，所以其外接球的表面积为4π×2＝9π.

14.

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？

(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

解　(1)由PO1＝2知，O1O＝4PO1＝8.

因为A1B1＝AB＝6，

所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积

V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)．

正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积

V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．

所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．

(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，

则0<h<6，O1O＝4h.

如图，连接O1B1.

因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，

所以2＋h2＝36，

即a2＝2(36－h2)．

于是仓库的容积

V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0<h<6，从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．

令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍)．

当0<h<2时，V′>0，V是单调递增函数；

当2<h<6时，V′<0，V是单调递减函数．

故h＝2时，V取得极大值，也是最大值．

因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．