2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第5章 数列 5-2 word版含答案

(时间：40分钟)

1．已知等差数列{an}中，a4＋a5＝a3，a7＝－2，则a9＝(　　)

A．－8  B．－6  C．－4  D．－2

答案　B

解析　解法一：由已知可得解得a1＝10，d＝－2，所以a9＝10＋(－2)×8＝－6，选B.

解法二：因为a4＋a5＝a3，所以a3＋a6＝a3，a6＝0，又a7＝－2，所以d＝－2，a9＝－2＋(－2)×2＝－6，选B.

2．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7＝5，S7＝21，则S10＝(　　)

A．40  B．35  C．30  D．28

答案　A

解析　由S7＝＝21，所以a1＝1，又a7＝a1＋6d.所以d＝，故S10＝10a1＋×＝40.选A.

3．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)

A．－1  B．0  C.  D.

答案　B

解析　由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝，数列{an}单调递增，∴a2＝，a4＝，∴公差d＝＝，

∴a1＝a2－d＝0.

4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8

答案　D

解析　解法一：由题知Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2，Sn＋2＝(n＋2)2，由Sn＋2－Sn＝36，得(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36，所以n＝8.

解法二：Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

答案　A

解析　设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a6＝－6，

∴a5＝－3，∴d＝＝2，∴a6＝－1<0，a7＝1>0，故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.

6．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于________．

答案　132

解析　S11＝＝11a6，设公差为d，由a9＝a12＋6，得a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132.

7．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于________．

答案　10

解析　∵2an＝an－1＋an＋1，又an－1＋an＋1－a＝0，

∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2.

∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.

8．已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差数列，则a10＝________.

答案　

解析　设等差数列的公差为d，

则＝，＝.

∵是等差数列，

∴＝＋4d，即＝＋4d，解得d＝，

故＝＋7d＝＋7×＝，解得a10＝.

9．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前10项和，其中表示不超过x的最大整数，如＝0，＝2.

解　(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，解得a1＝1，d＝，

所以{an}的通项公式为an＝.

(2)由(1)知，bn＝.

当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；

当n＝4,5时，2<<3，bn＝2；

当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；

当n＝9,10时，4<<5，bn＝4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

10．设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn＋2an＝2(n∈N*)．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设bn＝(1－an)(1－an＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn.

解　(1)证明：∵Tn＋2an＝2，

∴当n＝1时，T1＋2a1＝2，

∴T1＝，即＝.

又当n≥2时，Tn＝2－2×，得Tn·Tn－1＝

2Tn－1－2Tn，

∴－＝，

∴数列是以为首项，为公差的等差数列．

(2)由(1)知，数列为等差数列，

∴＝＋(n－1)＝，

∴an＝＝，

∴bn＝(1－an)(1－an＋1)＝＝－，

∴Sn＝＋＋…＋＝－＝.

(时间：20分钟)

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝(　　)

A．36  B．72  C．144  D．70

答案　B

解析　解法一：由a2＋a4＋a9＝24，得3a1＋12d＝24(其中d为{an}的公差)，即a1＋4d＝8，即a5＝8，所以S9＝×9＝9a5＝72.

解法二：∵a1＋a5＝a2＋a4，∴a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，∴a5＝8，∴S9＝9a5＝72.

12．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则＝(　　)

A.   B.

C．7   D.

答案　D

解析　＝＝＝＝＝＝.

13．等差数列{an}中，a1＝20，若仅当n＝8时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则该等差数列的公差d的取值范围为________．

答案　

解析　由题意知所以

即所以－<d<－.

14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)若不等式2n2－n－3<(5－λ)an对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

解　(1)证明：当n＝1时，S1＝2a1－22，得a1＝4.

Sn＝2an－2n＋1，

当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n，两式相减得

an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n，

所以－＝－＝＋1－＝1，又＝2，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列．

(2)由(1)知＝n＋1，即an＝n·2n＋2n.

因为an>0，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an等价于

5－λ>.

记bn＝，b1＝－，b2＝，当n≥2时，＝＝，则＝，即b3>b2，所以当n≥3时，<1，所以(bn)max＝b3＝，所以λ<.