2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第5章 数列 5-4 word版含答案

(时间：40分钟)

1．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a2＋a6＝a8，则＝(　　)

A．8  B．6  C．5  D．3

答案　D

解析　在等差数列中，由a2＋a6＝a8得2a1＋6d＝a1＋7d，得a1＝d≠0，所以＝＝＝＝3.

2．已知数列{an}，an＝2n＋1，则＋＋…＋＝(　　)

A．1＋  B．1－2n  C．1－  D．1＋2n

答案　C

解析　an＋1－an＝2n＋1＋1－(2n＋1)＝2n＋1－2n＝2n，

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝1－n＝1－.

3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an＝(　　)

A．2＋ln n   B．2＋(n－1)ln n

C．2＋nln n   D．1＋n＋ln n

答案　A

解析　由已知条件得a2＝a1＋ln 2，a3＝a2＋ln ，a4＝a3＋ln ，…，an＝an－1＋ln ，得an＝a1＋ln 2＋ln ＋ln ＋…＋ln ＝2＋ln 2×××…×＝2＋ln n，故选A.

4．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝，若bn＝anan＋1，则数列{bn}的前n项和Sn为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由an＋1＝，得＝＋2，

∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴＝2n－1，又bn＝anan＋1，

∴bn＝＝，

∴Sn＝＝，故选B.

5．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是(　　)

A．7  B．8  C．9  D．10

答案　D

解析　an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2，∴S9＝1013<1020，S10＝2036>1020，

∴Sn>1020，n的最小值是10.

6．在数列{an}中，anan＋1＝，a1＝1，若Sn为数列{an}的前n项和，则S20＝________.

答案　15

解析　由anan＋1＝，a1＝1，得数列{an}的通项公式为an＝则S20＝10×1＋10×＝15.

7．数列{an}的前n项和为Sn，前n项之积为∏n，且∏n＝()n(n＋1)，则S5＝________.

答案　62

解析　an＝＝()n(n＋1)－n(n－1)＝2n(n≥2)，当n＝1时，a1＝∏1＝()1×2＝21，所以an＝2n，所以S5＝2＋22＋…＋25＝＝26－2＝62.

8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.

答案　130

解析　由an＝2n－10(n∈N*)知，{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，所以当n<5时，an<0，当n≥5时，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.

9．在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.

解　(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，

即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，

所以数列{an}的通项公式为an＝2n.

(2)由题意知bn＝a＝n(n＋1)．

所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．

因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，

所以当n为偶数时，

Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)

  ＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝；

当n为奇数时，

Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.所以Tn＝

10．等差数列{an}的首项a1＝3, 且公差d≠0，其前n项和为Sn，且a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)证明：≤＋＋…＋<.

解　(1)设等比数列的公比为q，

因为a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4项，

所以(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)．

又a1＝3，所以d2－2d＝0，

所以d＝2或d＝0(舍去)．

所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.

等比数列{bn}的公比为＝＝3，b1＝＝1.

所以bn＝3n－1.

(2)证明：由(1)知Sn＝n2＋2n.

所以＝＝，

所以＋＋…＋

＝

＝

＝－<.

因为＋≤＋＝，

所以－≥，

所以≤＋＋…＋<.

(时间：20分钟)

11．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2025＝(　　)

A．1516  B.  C．1518  D.

答案　B

解析　∵an＋an＋1＝，a2＝3，∴an＝

∴S2025＝1013×＋1012×3＝.

12．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝(　　)

A．(2n－1)2  B.  C．4n－1  D.

答案　D

解析　由题意得，当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1，则an＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1(n≥2)，n＝1时也成立，所以an＝2n－1，则a＝22n－2，所以数列{a}为首项为1，公比为4的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝，故选D.

13．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝________.

答案　211

解析　当n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)可以化为(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即n>1时，an＋1－an＝2，即数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S15＝a1＋(a2＋…＋a15)＝1＋×14＝211.

14．数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有an>0,4Sn＝(an＋1)2.

(1)求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式；

(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.

解　(1)证明：令n＝1,4S1＝4a1＝(a1＋1)2，

解得a1＝1，

由4Sn＝(an＋1)2，

得4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，

两式相减得

4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，

整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，

因为an>0，

所以an＋1－an＝2，

则数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

(2)由(1)得bn＝，

Tn＝＋＋＋…＋，①

Tn＝＋＋＋…＋，②

①－②得

Tn＝＋2－

＝＋2×－＝－，

所以Tn＝1－.