2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第1章 集合与常用逻辑用语 1-3 word版含答案

(时间：40分钟)

1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案　B

解析　特称命题的否定规律是“改变量词，否定结论”，特称命题的否定是全称命题，选B项．

2．下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，ex>0   B．∀x∈R，x2≥0

C．∃x0∈R，sinx0＝2   D．∃x0∈R,2x0>x

答案　C

解析　对∀x∈R，sinx≤1<2，所以C选项是假命题，故选C.

3．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是(　　)

A．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1

B．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1

C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

D．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1

答案　C

解析　特称命题的否定是全称命题，故该命题的否定是∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.选C.

4．如果命题“綈(p∨q)”为假命题，则(　　)

A．p、q均为真命题

B．p、q均为假命题

C．p、q中至少有一个为真命题

D．p、q中至多有一个为真命题

答案　C

解析　因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．

5．若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．   B．(－1,3)

C．(－∞，－1]∪已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．

设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×a<0，解得a>，即实数a的取值范围.

8．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案　1

解析　若0≤x≤，则0≤tanx≤1，∵“∀x∈，tanx≤m”是真命题，∴m≥1，∴实数m的最小值为1.

9．设命题p：函数f(x)＝lg (ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

解　对于命题p：Δ<0且a>0，故a>2；对于命题q：a>2x－＋1在x∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y＝2x－＋1为增函数，所以<1，故a≥1，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假．故1≤a≤2.

10．给定两个命题：p：对任意实数x，都有ax2＋ax＋1>0恒成立，q：函数y＝3x－a在x∈上有零点，如果(綈p)∧q为假命题，綈q为假命题，求a的取值范围．

解　若p为真命题，则有或a＝0，

即0≤a<4，故当p为真命题时，0≤a<4.

若q为真命题时，方程3x－a＝0在x∈上有根．

∵当x∈时，有1≤3x≤9，∴1≤a≤9，

即当q为真命题时，1≤a≤9.

∵(綈p)∧q为假命题，

∴綈p，q中至少有一个为假命题．

又∵綈q为假命题，∴q为真命题．

∴綈p为假命题，p为真命题．

∴当p，q都为真时，即1≤a<4.

故所求a的取值范围是1≤a<4.

(时间：20分钟)

11．下列命题中，真命题是(　　)

A．存在x0∈R，sin2＋cos2＝

B．任意x∈(0，π)，sinx>cosx

C．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1>x

D．存在x0∈R，x＋x0＝－1

答案　C

解析　对于A选项：∀x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x＝，sinx＝，cosx＝，sinx<cosx，故B为假命题；对于C选项：x2＋1－x＝2＋>0恒成立，C为真命题；对于D选项：

x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故D为假命题．

12．已知命题p：∀x∈R，x3<x4；命题q：∃x0∈R，sinx0－cosx0＝－.则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．(綈p)∧q

C．p∧(綈q)   D．(綈p)∧(綈q)

答案　B

解析　若x3<x4，则x<0或x>1，∴命题p为假命题；若sinx－cosx＝sin＝－，则x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)，∴命题q为真命题，∴綈p∧q为真命题．

13．已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m>0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、綈p真，则实数m的取值范围是________．

答案　(1,2)

解析　由于綈p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时m2－4<0，解得－2<m<2；当命题q真时，4－4m<0，解得m>1.所以所求的m的取值范围是1<m<2.

14．已知m∈R，命题p：对任意x∈，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈，使得m≤ax成立．

(1)若p为真命题，求m的取值范围；

(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．

解　(1)∵对任意x∈，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，

∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.

解得1≤m≤2.

因此，若p为真命题时，m的取值范围是．

(2)∵a＝1，且存在x∈，使得m≤ax成立，

∴m≤x，命题q为真时，m≤1.

∵p且q为假，p或q为真，

∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．

当p真q假时，则解得1<m≤2；

当p假q真时，即m<1.

综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．