2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 选修4-4-1 word版含答案

1．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

解　(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.

(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，

得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.

2．牛顿在1736年出版的《流数术和无穷级数》中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点，牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin＝.(ρ≥0,0≤θ<2π)

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．

解　(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，

直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.

(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，

将两方程联立得解得

即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，

将(0,1)转化为极坐标为，即为所求．

3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈，曲线C2：ρ＝，θ∈．

(1)求曲线C1的一个参数方程；

(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．

解　(1)由ρ2－4ρcosθ＋3＝0，可得x2＋y2－4x＋3＝0.

∴(x－2)2＋y2＝1.令x－2＝cosα，y＝sinα，

∴C1的一个参数方程为(α为参数，α∈R)．

(2)C2：4ρ＝3，

∴4＝3，即2x－2y－3＝0.

∵直线2x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，且圆心到直线的距离d＝，

∴|AB|＝2×＝2×＝.

4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.

(1)将直线l的参数方程化为极坐标方程；

(2)求直线l与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．

解　(1)将直线l：(t为参数)消去参数t，

化为普通方程x－y－2＝0，将代入x－y－2＝0，得ρcosθ－ρsinθ－2＝0.

(2)解法一：C的普通方程为x2＋y2－4x＝0.

由解得或

所以l与C交点的极坐标分别为，.

解法二：由

得sin＝0，

又因为ρ≥0,0≤θ<2π，所以或

所以l与C交点的极坐标分别为，.

5．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.

(1)写出Γ的参数方程；

(2)设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x，y)，依题意，得即

由x＋y＝1，得2＋2＝1，

即曲线Γ的方程为＋＝1.

故Γ的参数方程为(t为参数)．

(2)由解得或

不防设P1(2,0)，P2(0,3)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k＝.于是所求直线方程为y－＝(x－1)，即4x－6y＋5＝0.

化为极坐标方程，得4ρcosθ－6ρsinθ＋5＝0.

6．在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．

(1)求a；

(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．

解　(1)曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，变形ρ2＝2aρcosθ，

化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2.

∴曲线C是以(a,0)为圆心，a为半径的圆．

由l：ρcos＝，展开为ρcosθ＋ρsinθ＝，

∴l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.

由题可知直线l与圆C相切，即＝a，解得a＝1.

(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，

则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ＝2cosθ＋，当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.