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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课时作业
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课时作业，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知底面半径为2的圆锥的侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ）
A．1kgB．2kgC．3kgD．0.5kg
5．若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（ ）
A．B．4C．D．
6．《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，则堆放的米约有（ ）
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛
7．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，,,与都是边长为2的等边三角形，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，其边长为4，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱上底面的所在平面与圆锥底面的所在平面重合.若圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知边长为2的等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．面积的最小值为
C．四面体体积的最大值为1
D．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为
10．已知所有顶点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，到上、下底面距离相等的截面叫作中截面．现有拟柱体，其中上、下底面均为边长为2的正方形，分别为底面和底面的中心，与两底面垂直，且，则（ ）
A．拟柱体外接球的表面积为
B．直线与平面所成角满足
C．拟柱体的中截面面积的最大值为
D．拟柱体的侧面为全等的三角形
11．如图，已知正方体的棱长为为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则（ ）
A．三点共线
B．点到平面的距离为
C．用过点的平面截该正方体所得的较小部分的体积为
D．用过点且平行于平面的平面截该正方体，则截得的两个多面体的能容纳的最大球的半径均为
12．如图甲，在矩形中，为的中点，将沿直线翻折至的位置，为的中点，如图乙所示，则（ ）
A．翻折过程中，四棱锥不存在外接球
B．翻折过程中，存在某个位置的，使得
C．当二面角为时，点到平面的距离为
D．当四棱锥体积最大时，以为直径的球面被平面截得交线长为
三、填空题
13．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为．若圆柱的体积为，则该球的内接正方体的体积为 ．
14．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的体积是 ．
15．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，且平面是边上一动点，直线与平面所成角的正切值的最大值为，则球的表面积为 .
16．已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是 ，圆锥的表面积与球的表面积的比值是 ．
四、解答题
17．已知一个表面积为的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积.
18．如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与的夹角为，且.求该圆锥的表面积.
19．已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积；
20．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20．
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
21．如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，
(1)求该圆柱的体积和表面积
(2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积
参考答案：
1．C
【分析】设正四面体的棱长为a，可求出四面体的高，进而求出其体积表达式，结合正方体体积求出棱长，从而可求得其外接球的半径，即可求得答案.
【详解】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，
O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上，
则，则，
即得，所以，
又设正四面体外接球的半径R，则，即，
即得，故外接球体积为，
故选：C．
2．D
【分析】先由圆锥的侧面积和底面圆半径求出母线长，借助于轴截面求得圆锥的高，通过列出方程求解即得.
【详解】
如图，设圆锥的母线长为，由圆锥的侧面积公式，得，
解得，所以圆锥的高为．
设圆锥的外接球半径为，则在中，由勾股定理，，解得，
所以该圆锥的外接球的表面积为．
故选：D．
3．B
【分析】根据三视图知几何体为三棱锥，根据球的性质找到球心，根据勾股定理求出半径，进一步求出表面积.
【详解】由三视图可知几何体的底面为腰为2，底边为的等腰三角形，高为，
设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为，
连接，其中平面，O在直线上，
在中，，
所以，所以，
所以的外接圆半径为，
记三棱锥的外接球半径为，则，
在中，，解得，
所以外接球的表面积.
故选：B
4．A
【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可.
【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长，
所以该惊鸟铃的质量约为（kg）．
故选：A．
5．A
【分析】由正四棱锥体积先求出外接球半径，进而得到正四棱锥的底面边长与高，再利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径.
【详解】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，
设球的半径为，
所以，
所以，
于是正四棱锥的体积，解得，
所以正四棱锥的表面积，
设正四棱锥内切球的半径为，
则，解得.
故选：A.
6．B
【分析】由地面弧长求出圆锥底面半径，再利用体积公式求体积，再代换为斛即可.
【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得，
故米堆的体积（立方尺）．
1斛米的体积约为1.62立方尺，
故（斛）.
故选：B.
7．A
【分析】如图，根据球的性质可得平面，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨论当在线段上和在线段的延长线上时，由球的性质可得球半径的平方为，再用球的表面积公式计算即可.
【详解】如图，连接，，
设，因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心．
连接，则平面，
分别取，，的中点，，，
根据几何体的对称性可知，直线交于点．
连接PQ，则，且为的中点，
因为，所以，连接，，
在与，易知，所以梯形为等腰梯形，
所以，且．
设，球的半径为，连接，，
当在线段上时，由球的性质可知，易得，
则，此时无解．
当在线段的延长线上时，由球的性质可知，，
解得，所以，
所以球的表面积.
故选：A．
8．C
【分析】根据题意，作出轴截面图，求出正三角形的高，再结合题意得圆柱的底面半径和高，进而计算体积即可.
【详解】根据题意，轴截面如图：
在等边三角形中，高，
因为圆柱的高是圆锥的高的，所以圆柱的高,
又且，所以是的中点，即，
于是该圆柱的底面半径为1，高为，
则体积为.
故选：C.
9．BCD
【分析】由三棱锥体积公式计算即可判断A项，由三角形面积公式及范围计算即可判断B项，当取最大值且面时四面体体积取得最大值即可判断C项，当四面体体积最大时，，，两两垂直，进而借助模型（长方体外接球直径为其体对角线长）即可求得半径，进而可求得外接球表面积即可判断D项.
【详解】由题意知，与是共轴的圆锥母线，如图所示，
对于A项，由题意知，
因为且与平面所成角为，
所以点到平面的距离为定值，
所以四面体ABCM的体积为定值，故A项错误；
对于B项，与是共轴的圆锥母线，所以，即，
当时，的面积最小，最小值为，故B项正确；
对于C项，当时，的面积最大，最大值为，
当所在平面旋转至与垂直时，四面体ABMN的高最长，最长值为2，
所以体积的最大值为，故C项正确；
对于D项，当四面体体积最大时，线段，，两两垂直，
所以其外接球直径，
所以外接球的表面积为，故D项正确．
故选：BCD．
10．AC
【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，以及外接球的性质、截面的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，如图所示，分别为底面和底面的中心，
与两底面垂直，可得拟柱体的外接球球心为的中点，
因为，正方形的边长为，
则外接球的半径为，
所以外接球的表面积为17π，所以A正确；
对于B中，设直线与平面ABCD所成角为，
因为与两底面垂直，则与所成角为，
当最长时，与所成角最大，则最小，
因为，正方形的边长为，可得正方形的对角线长为
可得，所以，所以B错误；
对于C中，如图所示，当拟柱体为正四棱柱时，中截面的面积为，
如图所示，当为全等的等腰三角形时，此时拟柱体中，中截面可以是边长为1的正八边形，
其面积为，所以C正确；
对于D中，当拟柱体为正四棱柱时，侧面是四边形，所以D错误．
故选：AC．
11．ACD
【分析】对于A，只需证明三点都在平面与平面上（即在交线上）即可判断；对于B，首先证明平面，然后通过解三角形知识即可验算；对于C，首先得出过点的平面截该正方体所得的较小部分为三棱台，结合棱台体积公式验算即可；对于D，首先算出，，，
【详解】由已知平面平面平面，
又平面平面平面，
所以三点都在平面与平面的交线上，即三点共线，故A正确；
因为平面平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可得，
因为，平面，
所以平面，则的长度就是点到平面的距离，
显然为正三角形的中心，
因为正方体的棱长为4，
所以正三角形的边长为，所以，
又，所以，
即点到平面的距离为，故B错误；
取的中点，连接，因为，
所以等腰梯形就是过点的平面截该正方体所得的截面，
如图：
所以过点的平面截该正方体所得的较小部分为三棱台，
其体积为，故C正确；
过点且平行平面的平面截该正方体，所截得的两个多面体全等，如下图所示，
该七面体能容纳的最大球亦为正三棱锥的内切球（如下图所示），
，
设为的中心，则，高，
设正三棱锥的内切球的半径为，
则，①
在中，，
得，，
代入①，得，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是准确画出图形计算正三棱锥的表面积体积，由等体积法即可顺利得解.
12．AC
【分析】A项，通过证明四边形不存在外接圆即可得出结论；B项，通过证明，即可得出结论；C项，求出到平面的距离，利用等体积法即可求出点到平面的距离；D项，求出点A到平面 的距离,进而得出以 为直径的球的半径和球心 到平面 的距离，即可得到球面与被平面 截得交线为圆的半径，进而得出交线长.
【详解】由题意，
对于A， 由已知, 直角三角形存在以为直径的唯一外接圆,
，
∴点不在该圆上, 所以四边形不存在外接圆，
∴四棱锥不存在外接球, 故A正确;
对于B, 由已知, ,,
∴，
∴，
假设在翻折过程中, 存在位置, 使得 ,
则 平面 , 平面 ,
平面 ,
又 平面 ,
∴，
在翻折至 的位置的过程中,,
显然不成立, 故假设错误,
翻折过程中, 不存在任何位置的 , 使得 , 故B错误;
对于C, 取中点 , 由已知, ,
,
是二面角 的平面角,
当二面角 为 时, 二面角 为 , 即 ,
又 ,
到平面的距离为
设点A到平面 的距离为 ,
则 ,
,
, 即点A到平面的距离为 ,
点 为 中点,
点到平面 的距离是点A 到平面距离的 ,
点到平面 的距离为, 故C正确;
对于D, 四棱锥 底面梯形的面积为定值,
当四棱锥 的体积最大时, 平面平面,
平面 平面平面,
由B选项有平面 ,
平面,
,
,
又 平面 点A到平面 的距离,
点 为 中点,
以为直径的球的半径,球心到平面的距离,易知, 球面与被平面 截得交线为圆, 其半径 ,
该交线周长为 , 故D不正确.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：1.根据垂直关系分析可知 是二面角 的平面角；
2.根据球的性质分析可知球心到平面的距离.
13．
【分析】根据两图形的关系可得圆柱的底面半径与球的半径相等，再根据正方体是球内接正方体即得正方体的棱长，进而可得体积.
【详解】设圆柱的内切球的半径为，因为圆柱的体积为，所以，解得，
设该球的内接正方体的棱长为，则，即，
所以该球的内接正方体的体积为．
故答案为：
14．
【分析】由图形可知外接球的球心一定在圆锥和圆台的高上，然后利用球的半径和圆锥，圆台高之间的关系列出方程求解即可.
【详解】如图：
设外接球半径为，球心为，圆台较小底面圆的圆心为，则，而，
故，所以体积为．
故答案为：
15．
【分析】根据题意，结合线面角的定义求得的最小值，从而确定的形状，再利用直三棱柱的外接球的性质即可得解.
【详解】将三棱锥放入直三棱柱，则两者外接球相同，
取底面的外心为，连接，取其中点为，连接，如图所示，
平面，则为直线与平面的所成角，
又直线与平面所成角的正切值的最大值为，
所以，则，此时，
在中，，
，
是边长为的等边三角形，
，又，
则球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
16．
【分析】设圆锥的底面圆半径以及球的半径，用表示出圆锥的高和母线以及球的半径，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.
【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线，
由题可知：，所以球的半径
所以圆锥的体积为，
球的体积，
所以；
圆锥的表面积，
球的表面积，
所以，
故答案为：；.
17．
【分析】设正方体的棱长为a，半球的半径为R，根据勾股定理列出方程，解出即可.
【详解】如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R，
由，得，
在中，，，
由勾股定理，得，
所以半球的表面积为．
18．
【分析】根据圆锥的侧面积公式及圆的面积公式求解.
【详解】圆锥的侧面积公式，
底面圆的面积，
故圆锥的表面积.
故答案为：
19．；
【分析】根据棱柱的体积公式可求得.
【详解】由底面菱形的两对角线长分别为，，
不妨设，，
则底面菱形的面积（）
所以该棱柱的体积为（）
20．(1)
(2)元
【分析】（1）根据题意，结合圆锥和圆柱的体积公式，即可求解；
（2）根据题意，求得该组合体的表面积，结合题意，即可求解.
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，可得，且，
所以笼具的体积.
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
故笼具的表面积．
故制造50个这样的笼具总造价为：元，
答：这种笼具的体积约为，生产50个笼具需要元．
21．(1)体积为，表面积为；
(2)
【分析】（1）由圆柱体积公式可得体积，由侧面积公式先求侧面积，表面积为侧面积加上两个底面积可得；
（2）先求圆锥母线长，再由侧面积公式可得.
【详解】（1）圆柱的底面半径，母线长，即高，
体积，
表面积.
（2）由题意，圆锥母线，
所得圆锥的侧面积为.
一、单选题
1．小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知底面半径为2的圆锥的侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ）
A．1kgB．2kgC．3kgD．0.5kg
5．若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（ ）
A．B．4C．D．
6．《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，则堆放的米约有（ ）
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛
7．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，,,与都是边长为2的等边三角形，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，其边长为4，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱上底面的所在平面与圆锥底面的所在平面重合.若圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知边长为2的等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．面积的最小值为
C．四面体体积的最大值为1
D．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为
10．已知所有顶点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，到上、下底面距离相等的截面叫作中截面．现有拟柱体，其中上、下底面均为边长为2的正方形，分别为底面和底面的中心，与两底面垂直，且，则（ ）
A．拟柱体外接球的表面积为
B．直线与平面所成角满足
C．拟柱体的中截面面积的最大值为
D．拟柱体的侧面为全等的三角形
11．如图，已知正方体的棱长为为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则（ ）
A．三点共线
B．点到平面的距离为
C．用过点的平面截该正方体所得的较小部分的体积为
D．用过点且平行于平面的平面截该正方体，则截得的两个多面体的能容纳的最大球的半径均为
12．如图甲，在矩形中，为的中点，将沿直线翻折至的位置，为的中点，如图乙所示，则（ ）
A．翻折过程中，四棱锥不存在外接球
B．翻折过程中，存在某个位置的，使得
C．当二面角为时，点到平面的距离为
D．当四棱锥体积最大时，以为直径的球面被平面截得交线长为
三、填空题
13．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为．若圆柱的体积为，则该球的内接正方体的体积为 ．
14．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的体积是 ．
15．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，且平面是边上一动点，直线与平面所成角的正切值的最大值为，则球的表面积为 .
16．已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是 ，圆锥的表面积与球的表面积的比值是 ．
四、解答题
17．已知一个表面积为的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积.
18．如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与的夹角为，且.求该圆锥的表面积.
19．已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积；
20．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20．
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
21．如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，
(1)求该圆柱的体积和表面积
(2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积
参考答案：
1．C
【分析】设正四面体的棱长为a，可求出四面体的高，进而求出其体积表达式，结合正方体体积求出棱长，从而可求得其外接球的半径，即可求得答案.
【详解】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，
O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上，
则，则，
即得，所以，
又设正四面体外接球的半径R，则，即，
即得，故外接球体积为，
故选：C．
2．D
【分析】先由圆锥的侧面积和底面圆半径求出母线长，借助于轴截面求得圆锥的高，通过列出方程求解即得.
【详解】
如图，设圆锥的母线长为，由圆锥的侧面积公式，得，
解得，所以圆锥的高为．
设圆锥的外接球半径为，则在中，由勾股定理，，解得，
所以该圆锥的外接球的表面积为．
故选：D．
3．B
【分析】根据三视图知几何体为三棱锥，根据球的性质找到球心，根据勾股定理求出半径，进一步求出表面积.
【详解】由三视图可知几何体的底面为腰为2，底边为的等腰三角形，高为，
设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为，
连接，其中平面，O在直线上，
在中，，
所以，所以，
所以的外接圆半径为，
记三棱锥的外接球半径为，则，
在中，，解得，
所以外接球的表面积.
故选：B
4．A
【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可.
【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长，
所以该惊鸟铃的质量约为（kg）．
故选：A．
5．A
【分析】由正四棱锥体积先求出外接球半径，进而得到正四棱锥的底面边长与高，再利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径.
【详解】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，
设球的半径为，
所以，
所以，
于是正四棱锥的体积，解得，
所以正四棱锥的表面积，
设正四棱锥内切球的半径为，
则，解得.
故选：A.
6．B
【分析】由地面弧长求出圆锥底面半径，再利用体积公式求体积，再代换为斛即可.
【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得，
故米堆的体积（立方尺）．
1斛米的体积约为1.62立方尺，
故（斛）.
故选：B.
7．A
【分析】如图，根据球的性质可得平面，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨论当在线段上和在线段的延长线上时，由球的性质可得球半径的平方为，再用球的表面积公式计算即可.
【详解】如图，连接，，
设，因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心．
连接，则平面，
分别取，，的中点，，，
根据几何体的对称性可知，直线交于点．
连接PQ，则，且为的中点，
因为，所以，连接，，
在与，易知，所以梯形为等腰梯形，
所以，且．
设，球的半径为，连接，，
当在线段上时，由球的性质可知，易得，
则，此时无解．
当在线段的延长线上时，由球的性质可知，，
解得，所以，
所以球的表面积.
故选：A．
8．C
【分析】根据题意，作出轴截面图，求出正三角形的高，再结合题意得圆柱的底面半径和高，进而计算体积即可.
【详解】根据题意，轴截面如图：
在等边三角形中，高，
因为圆柱的高是圆锥的高的，所以圆柱的高,
又且，所以是的中点，即，
于是该圆柱的底面半径为1，高为，
则体积为.
故选：C.
9．BCD
【分析】由三棱锥体积公式计算即可判断A项，由三角形面积公式及范围计算即可判断B项，当取最大值且面时四面体体积取得最大值即可判断C项，当四面体体积最大时，，，两两垂直，进而借助模型（长方体外接球直径为其体对角线长）即可求得半径，进而可求得外接球表面积即可判断D项.
【详解】由题意知，与是共轴的圆锥母线，如图所示，
对于A项，由题意知，
因为且与平面所成角为，
所以点到平面的距离为定值，
所以四面体ABCM的体积为定值，故A项错误；
对于B项，与是共轴的圆锥母线，所以，即，
当时，的面积最小，最小值为，故B项正确；
对于C项，当时，的面积最大，最大值为，
当所在平面旋转至与垂直时，四面体ABMN的高最长，最长值为2，
所以体积的最大值为，故C项正确；
对于D项，当四面体体积最大时，线段，，两两垂直，
所以其外接球直径，
所以外接球的表面积为，故D项正确．
故选：BCD．
10．AC
【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，以及外接球的性质、截面的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，如图所示，分别为底面和底面的中心，
与两底面垂直，可得拟柱体的外接球球心为的中点，
因为，正方形的边长为，
则外接球的半径为，
所以外接球的表面积为17π，所以A正确；
对于B中，设直线与平面ABCD所成角为，
因为与两底面垂直，则与所成角为，
当最长时，与所成角最大，则最小，
因为，正方形的边长为，可得正方形的对角线长为
可得，所以，所以B错误；
对于C中，如图所示，当拟柱体为正四棱柱时，中截面的面积为，
如图所示，当为全等的等腰三角形时，此时拟柱体中，中截面可以是边长为1的正八边形，
其面积为，所以C正确；
对于D中，当拟柱体为正四棱柱时，侧面是四边形，所以D错误．
故选：AC．
11．ACD
【分析】对于A，只需证明三点都在平面与平面上（即在交线上）即可判断；对于B，首先证明平面，然后通过解三角形知识即可验算；对于C，首先得出过点的平面截该正方体所得的较小部分为三棱台，结合棱台体积公式验算即可；对于D，首先算出，，，
【详解】由已知平面平面平面，
又平面平面平面，
所以三点都在平面与平面的交线上，即三点共线，故A正确；
因为平面平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可得，
因为，平面，
所以平面，则的长度就是点到平面的距离，
显然为正三角形的中心，
因为正方体的棱长为4，
所以正三角形的边长为，所以，
又，所以，
即点到平面的距离为，故B错误；
取的中点，连接，因为，
所以等腰梯形就是过点的平面截该正方体所得的截面，
如图：
所以过点的平面截该正方体所得的较小部分为三棱台，
其体积为，故C正确；
过点且平行平面的平面截该正方体，所截得的两个多面体全等，如下图所示，
该七面体能容纳的最大球亦为正三棱锥的内切球（如下图所示），
，
设为的中心，则，高，
设正三棱锥的内切球的半径为，
则，①
在中，，
得，，
代入①，得，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是准确画出图形计算正三棱锥的表面积体积，由等体积法即可顺利得解.
12．AC
【分析】A项，通过证明四边形不存在外接圆即可得出结论；B项，通过证明，即可得出结论；C项，求出到平面的距离，利用等体积法即可求出点到平面的距离；D项，求出点A到平面 的距离,进而得出以 为直径的球的半径和球心 到平面 的距离，即可得到球面与被平面 截得交线为圆的半径，进而得出交线长.
【详解】由题意，
对于A， 由已知, 直角三角形存在以为直径的唯一外接圆,
，
∴点不在该圆上, 所以四边形不存在外接圆，
∴四棱锥不存在外接球, 故A正确;
对于B, 由已知, ,,
∴，
∴，
假设在翻折过程中, 存在位置, 使得 ,
则 平面 , 平面 ,
平面 ,
又 平面 ,
∴，
在翻折至 的位置的过程中,,
显然不成立, 故假设错误,
翻折过程中, 不存在任何位置的 , 使得 , 故B错误;
对于C, 取中点 , 由已知, ,
,
是二面角 的平面角,
当二面角 为 时, 二面角 为 , 即 ,
又 ,
到平面的距离为
设点A到平面 的距离为 ,
则 ,
,
, 即点A到平面的距离为 ,
点 为 中点,
点到平面 的距离是点A 到平面距离的 ,
点到平面 的距离为, 故C正确;
对于D, 四棱锥 底面梯形的面积为定值,
当四棱锥 的体积最大时, 平面平面,
平面 平面平面,
由B选项有平面 ,
平面,
,
,
又 平面 点A到平面 的距离,
点 为 中点,
以为直径的球的半径,球心到平面的距离,易知, 球面与被平面 截得交线为圆, 其半径 ,
该交线周长为 , 故D不正确.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：1.根据垂直关系分析可知 是二面角 的平面角；
2.根据球的性质分析可知球心到平面的距离.
13．
【分析】根据两图形的关系可得圆柱的底面半径与球的半径相等，再根据正方体是球内接正方体即得正方体的棱长，进而可得体积.
【详解】设圆柱的内切球的半径为，因为圆柱的体积为，所以，解得，
设该球的内接正方体的棱长为，则，即，
所以该球的内接正方体的体积为．
故答案为：
14．
【分析】由图形可知外接球的球心一定在圆锥和圆台的高上，然后利用球的半径和圆锥，圆台高之间的关系列出方程求解即可.
【详解】如图：
设外接球半径为，球心为，圆台较小底面圆的圆心为，则，而，
故，所以体积为．
故答案为：
15．
【分析】根据题意，结合线面角的定义求得的最小值，从而确定的形状，再利用直三棱柱的外接球的性质即可得解.
【详解】将三棱锥放入直三棱柱，则两者外接球相同，
取底面的外心为，连接，取其中点为，连接，如图所示，
平面，则为直线与平面的所成角，
又直线与平面所成角的正切值的最大值为，
所以，则，此时，
在中，，
，
是边长为的等边三角形，
，又，
则球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
16．
【分析】设圆锥的底面圆半径以及球的半径，用表示出圆锥的高和母线以及球的半径，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.
【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线，
由题可知：，所以球的半径
所以圆锥的体积为，
球的体积，
所以；
圆锥的表面积，
球的表面积，
所以，
故答案为：；.
17．
【分析】设正方体的棱长为a，半球的半径为R，根据勾股定理列出方程，解出即可.
【详解】如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R，
由，得，
在中，，，
由勾股定理，得，
所以半球的表面积为．
18．
【分析】根据圆锥的侧面积公式及圆的面积公式求解.
【详解】圆锥的侧面积公式，
底面圆的面积，
故圆锥的表面积.
故答案为：
19．；
【分析】根据棱柱的体积公式可求得.
【详解】由底面菱形的两对角线长分别为，，
不妨设，，
则底面菱形的面积（）
所以该棱柱的体积为（）
20．(1)
(2)元
【分析】（1）根据题意，结合圆锥和圆柱的体积公式，即可求解；
（2）根据题意，求得该组合体的表面积，结合题意，即可求解.
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，可得，且，
所以笼具的体积.
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
故笼具的表面积．
故制造50个这样的笼具总造价为：元，
答：这种笼具的体积约为，生产50个笼具需要元．
21．(1)体积为，表面积为；
(2)
【分析】（1）由圆柱体积公式可得体积，由侧面积公式先求侧面积，表面积为侧面积加上两个底面积可得；
（2）先求圆锥母线长，再由侧面积公式可得.
【详解】（1）圆柱的底面半径，母线长，即高，
体积，
表面积.
（2）由题意，圆锥母线，
所得圆锥的侧面积为.
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