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专题11 三角函数的图像性质及变换-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全
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这是一份专题11 三角函数的图像性质及变换-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全，文件包含专题11三角函数的图像性质及变换原卷版docx、专题11三角函数的图像性质及变换解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共37页， 欢迎下载使用。
考点1：三角函数的图像性质
一、三角函数的图像和性质
1.正弦函数图像和性质
(1)图像：
(2)定义域：R
(3)值域：[−1，1]
(4)单调性：x∈[−π2+2kπ， π2+2kπ]（k∈Z）增函数
x∈[π2+2kπ，3π2+2kπ]（k∈Z）减函数
(5)奇偶性：奇函数
(6)最小正周期：2π
(7)对称性：对称轴x=π2+kπ， k∈Z；对称中心kπ，0，k∈Z．
2.余弦函数图像和性质
(1)图像
(2)定义域：R
(3)值域：[−1，1]
(4)单调性：x∈[−π+2kπ，2kπ]（k∈Z）增函数
x∈[2kπ，π+2kπ]（k∈Z）减函数
(5)奇偶性：偶函数
(6)最小正周期：2π
(7)对称性：对称轴x=kπ， k∈Z；对称中心π2+kπ，0，k∈Z．
3.正切函数图像和性质
(1)定义域：{x|x≠π2+kπ，k∈Z}
(2)值域：R
(3)单调性：在(−π2+kπ，π2+kπ)（k∈Z）增函数．
(4)奇偶性：奇函数
(5)最小正周期：π
(6)对称性：对称中心kπ2，0，k∈Z．
典例精讲
【典例1】若函数f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（π6），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（ ）
A．[0，π6]与[π2，2π3]B．[π3，2π3]
C．[0，π6]与[2π3，π]D．[0，π6]与[π3，2π3]
【分析】根据题意得出f（π6）＝1，求出φ的值写出f（x）的解析式；
再求f（x）的单调增区间，即可得出f（x）在x∈[0，π]上的单调增区间．
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（π6），
∴f（π6）＝sin（2×π6+φ）＝1，
解得φ=π6+2kπ，k∈Z；
∴f（x）＝sin（2x+π6）；
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
当x∈[0，π]时，有[0，π6]，[2π3，π]满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题．
【典例2】已知定义在上的函数（ω＞0）的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】先由x∈，求出的取值范围，然后分类讨论：①当即0＜ω＜4时，构造新函数，，然后结合正弦函数和一次函数的图象，找两个图象的交点个数即可；②当即ω≥4时，只能是ω＝5．
【解答】解：∵x∈，∴，
①当即0＜ω＜4时，
令，，如图，易知函数g（ω）和h（ω）有两个交点A，B，
而当0＜ω＜4时，只有唯一的交点A，也就是只有唯一解．
②当即ω≥4时，，∴ω＝5，只有一个值．
综上所述，正实数ω的取值个数最多为2个．
故选：C．
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题，还涉及构造新函数和分类讨论的思想，考查学生转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
【典例3】关于函数f（x）＝x﹣sinx，下列说法错误的是（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增
C．x＝0是f（x）的唯一零点
D．f（x）是周期函数
【分析】由题意利用根据正弦函数的性质，得出结论．
【解答】解：关于函数f（x）＝x﹣sinx，显然它是奇函数，故A正确；
由于f′（x）＝1﹣csx≥0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故B正确；
根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，f（0）＝0，可得x＝0是f（x）的唯一零点，故C正确；
根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故它一定不是周期函数，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
【典例4】如图，已知函数f（x）=3cs（ωx+φ）（ω＞0，−π2＜φ＜0）的部分图象与x轴的一个交点为A（−π6，0），与y轴交点为B（0，32），那么f（π2）＝（ ）
A．32B．12C．−12D．−32
【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质求得f（x）的解析式，可得f（π2）的值．
【解答】解：由题意可得ω×（−π6）+φ＝kπ+π2，3csφ=32，结合ω＞0，−π2＜φ＜0，
可得φ=−π6，∴−ωπ6=kπ+π2+π6，即ω＝﹣6k﹣4，∴ω＝2，f（x）=3cs（2x−π6），
∴f（π2）=3cs5π6=−32，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
【典例5】已知函数f（x）＝cs（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π）．若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6），则（ ）
A．f（2021）﹣f（2018）＜0B．f（2021）﹣f（2018）＝0
C．f（2021）+f（2018）＞0D．f（2021）+f（2018）＝0
【分析】根据余弦函数的图象和性质，判断函数的最值进行求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝cs（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π），
若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6），
则f（1）为最小值，f（6）为最大值，
∴ω+φ＝2k1π+π，6ω+φ＝2k2π+2π，k∈Z．
∴5ω＝2（k2﹣k1）π+π，
即ω=25（k2﹣k1）π+π5，
∵0＜ω＜1，
∴当k2﹣k1＝0时，ω=π5，
此时φ=4π5，f（x）＝cs（π5x+4π5），它的周期为10．
且f（1）＝﹣1，f（6）＝1，
则f（2021）＝f（2020+1）＝f（1）＝﹣1，
f（2018）＝f（2020﹣2）＝f（﹣2）∈（0，1），
则f（2021）﹣f（2018）＜0，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．
【典例6】设函数f（x）＝cs（2x−π3），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为π
B．f（x+π2）的一个零点为x=−π3
C．y＝f（x）的图象关于直线x=2π3对称
D．f（x）在[π3，π2]上单调递减
【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）＝cs（2x−π3），它的周期为2π2=π，故A正确；
当x=2π3时，f（x）＝﹣1，为最小值，故y＝f（x）的图象关于直线x=2π3对称，故C正确；
在在[π3，π2]上，2x−π3∈[π3，2π3]，故f（x）在[π3，π2]上单调递减，故D正确；
∵f（x+π2）＝cs（2x+2π3），当x=−π3时，f（x+π2）＝cs（2x+2π3）＝1≠0，故B错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
【典例7】已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在（0，π）上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A．[1，）B．（，）C．（，]D．[1，]
【分析】只要保证y＝sin（）在y轴右侧的最近三条对称轴，左边两条对称轴落在（0，π）内，第三条在（0，π）外即可，由此构造不等式组．
【解答】解：令ωx+＝，解得，分别为y＝f（x）的y轴右侧由左往右最近的三条对称轴．
要满足图象在（0，π）上有且仅有两条对称轴，只需，解得．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，注意结合正余弦函数的图象与性质解决yAsin（ωx+φ）的性质的基本路子，属于中档题．
【典例8】若函数f（x）＝3sin（x+π2）与g（x）＝8tanx的图象在区间（0，π2）上交点的横坐标为x0，则cs2x0的值为 79
【分析】由题意可得，∴8tanx0＝3sin（x0+π2）＝3csx0，再利用同角三角函数的基本关系，解方程求得sinx0 的值，再利用二倍角公式求得cs2x0的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝3sin（x+π2）与g（x）＝8tanx的图象在区间（0，π2）上交点的横坐标为x0，∴8tanx0＝3sin（x0+π2）＝3csx0，
即8sinx0＝3cs2x0＝3﹣3sin2x0，求得sinx0＝﹣3 （不合题意，舍去），或sinx0=13，∴cs2x0的＝1﹣2sin2x0=79，
故答案为：79．
【点评】本题主要考查正弦函数、正切函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用．
【典例9】已知函数f（x）＝asinx+csx的一条对称轴为x＝，则函数g（x）＝sinx﹣acsx的一条对称轴可以为（ ）
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝
【分析】利用辅助角公式分别将f（x）和g（x）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝（sinx+csx），
令csθ＝，sinθ＝，
则f（x）＝（sinxcsθ+csxsinθ）＝sin（x+θ），
∵f（x）的一条对称轴为x＝，
∴+θ＝kπ+，即θ＝kπ+，k∈Z，
g（x）＝sinx﹣acsx＝（sinx﹣csx）＝（sinxsinθ﹣csxcsθ＝﹣cs（x+θ），
由x+θ＝mπ，m∈Z，
得x＝mπ﹣θ＝mπ﹣kπ+＝（m﹣k）π﹣，m，k∈Z，
当m﹣k＝1时，对称轴为x＝π﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．
考点2：三角函数的图像变换
三角函数的几种变换：
1. 平移变换：函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像可以看做将函数y=sinx的图像上的所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平移φ个单位而得到．
2. 周期变换：函数y=sin(ωx+φ)（ω>0且ω≠1）的图像可以看做是把y=sin(x+φ)的图像上所有的点的横坐标缩短为（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到．
3. 振幅变换：函数y=Asin(ωx+φ)（A>0且A≠1）的图像可以看做是将y=sin(ωx+φ)的图像上所有的点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．
典例精讲
【典例1】已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，3)，且在(π12，5π12)上单调，把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈(2π3，4π3)且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（ ）
A．−3B．3C．﹣1D．1
【分析】利用正弦函数的周期性和单调性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得x1+x2的值，可得f（x1+x2）的值．
【解答】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，3)，∴2sinφ=3，∴φ=π3．
f（x）在(π12，5π12)上单调，∴12•2πω≥5π12−π12，∴0＜ω≤3．
把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，∴k•2πω=π，k∈Z，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+π3）．
当x1，x2∈(2π3，4π3)且x1≠x2时，2x+π3∈（5π3，3π），若 f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝2•5π2=5π，
f（x1+x2）＝2sin（10π+π3）＝2sinπ3=3，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．
【典例2】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，其图象相邻两条对称轴之间距离为π2，将函数y＝f（x）的向右平移π6个单位长度后，得到关于y轴对称，则（ ）
A．f（x）的关于点(π6，0)对称
B．f（x）的图象关于点(−π6，0)对称
C．f（x）在(−π6，π3)单调递增
D．f（x）在(−2π3，−π6)单调递增
【分析】由周期求出ω，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换、图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，其图象相邻两条对称轴之间距离为12⋅2πω=π2，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ）．
将函数y＝f（x）的向右平移π6个单位长度后，可得y＝sin（2x−π3+φ） 的图象，
根据得到的图象关于y轴对称，可得−π3+φ＝kπ+π2，k∈Z，∴φ=−π6，f（x）＝sin（2x−π6）．
当x=π6时，f（x）=12，故f（x）的图象不关于点(π6，0)对称，故A错误；
当x=−π6时，f（x）＝﹣1，故f（x）的图象关于直线x=−π6对称，不不关于点(π6，0)对称，故B错误；
在(−π6，π3)上，2x−π6∈[−π2，π2]，f（x）单调递增，故C正确；
在(−2π3，−π6)上，2x−π6∈[−3π2，−π2]，f（x）单调递减，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
【典例3】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则函数f(x−π4)图象的一个对称中心是（ ）
A．(−π3，0)B．(−π12，0)C．(7π12，0)D．(3π4，0)
【分析】由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得ω，利用顶点坐标求得φ，则函数解析式可求，进一步求得f(x−π4)=2sin（2x−π6），再由2x−π6=kπ，k∈Z求得x，则函数f(x−π4)图象的一个对称中心可求．
【解答】解：由图可知，T＝4（π3−π12）＝π，则ω＝2，
又2×π12+φ=π2，且|φ|＜π2，∴φ=π3．
又由图可知，A＝2，
∴f（x）＝2sin（2x+π3）．
则f(x−π4)=2sin[2（x−π4）+π3]＝2sin（2x−π6），
令2x−π6=kπ，k∈Z，则x=π12+kπ2，k∈Z，
当k＝1时，x=7π12，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．
【典例4】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）•e﹣|x|（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则Aω的可能取值为（ ）
A．π2B．πC．3π2D．2π
【分析】根据函数图象的对称性得函数为偶函数，可得φ=π2，由f（0）＝2可得A＝2，由f（1）＝f（3）＝0可得ω可取π2．
【解答】解：f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）为偶函数，∴φ＝kπ+π2，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=π2，
∴f（x）＝Acsωx•e﹣|x|，
∴f（0）＝A＝2，
∵f（1）＝f（3）＝0，∴csω⋅1e=cs3ω•1e3=0，∴csω＝cs3ω＝0，取ω=π2，则Aω＝π．
故选：B．
【点评】本题考查了y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，属中档题．
【典例5】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在(0，π3)上单调，且f(π3)=f(π2)=−f(0)，则φ＝（ ）
A．−π3B．−π6C．π6D．π3
【分析】根据函数f（x）在区间（0，π3）上单调求得0＜ω≤3，
再由f（π3）＝f（π2）＝﹣f（0）求得f（x）的一条对称轴与一个对称中心，
由此求得ω的值，再求φ的值．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜π2；
若f（x）在区间（0，π3）上单调，π3−0≤T2=πω，解得0＜ω≤3；
又f（π3）＝f（π2）＝﹣f（0），
∴x=π3+π22=5π12为f（x）＝sin（ωx+φ）的一条对称轴，
且（π3+02，0）即（π6，0）为f（x）＝sin（ωx+φ）的一个对称中心，
∴T4=π2ω=5π12−π6=π4，解得ω＝2∈（0，3]，
∴f（x）＝sin（2x+φ）；
∴f（π3）＝f（π2）＝﹣f（0），
∴sin（2π3+φ）＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，
∴φ=−π3．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
【典例6】已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数f（x）的图象向右平移1个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2019）＝ 2+1 ．
【分析】由题意可求函数的周期T，利用周期公式可求ω的值，求得f（x）的解析式，根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，利用正弦函数周期性即可计算求值得解．
【解答】解：依题意，T2=4，T=8=2πω，
所以：ω=π4，
故：f(x)=sin(π4x+π4)，
由题意可得：g(x)=f(x−1)=sin(π4x−π4+π4)=sinπ4x，
因为：g（1）+g（2）+g（3）+…+g（8）＝0，
所以：g(1)+g(2)+g(3)+⋯+g(2019)=g(1)+g(2)+g(3)=2+1．
故答案为：2+1．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象的性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
综合练习
一. 选择题（共6小题）
1.若函数f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（π6），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（ ）
A．[0，π6]与[π2，2π3]B．[π3，2π3]
C．[0，π6]与[2π3，π]D．[0，π6]与[π3，2π3]
【分析】根据题意得出f（π6）＝1，求出φ的值写出f（x）的解析式；
再求f（x）的单调增区间，即可得出f（x）在x∈[0，π]上的单调增区间．
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（π6），
∴f（π6）＝sin（2×π6+φ）＝1，
解得φ=π6+2kπ，k∈Z；
∴f（x）＝sin（2x+π6）；
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
当x∈[0，π]时，有[0，π6]，[2π3，π]满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题．
2.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）满足f（π4−x）＝﹣f（π4+x），f（−π2−x）＝f（x），且在（0，π8）上是单调函数，则ω的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据条件判断f（x）的图象关于点（π4，0）对称，同时关于x=−π4对称，结合函数的单调性分别进行讨论即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）满足f（π4−x）＝﹣f（π4+x），
∴f（x）的图象关于点（π4，0）对称，
∵f（−π2−x）＝f（x），∴函数关于−π2−x+x2=−π4对称，
∵f（x）在（0，π8）上是单调函数，∴12•2πω≥π8，∴ω≤8．
若对称中心（π4，0）和对称轴x=−π4得距离d=π4−（−π4）=π2，
①若d=π2=T4，即T＝2π，即T=2πω=2π，则ω＝1，此时f（x）＝sin（x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+3π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣1时，φ=−π4，此时f（x）＝sin（x−π4），满足条件，
②若d=π2=3T4，即T=23π，即T=2πω=23π，则ω＝3此时f（x）＝sin（3x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4×3+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+5π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣1时，φ=π4，此时f（x）＝sin（3x+π4），
当0＜x＜π8时，π4＜3x+π4＜5π8，此时函数不单调，不满足条件．
③若d=π2=5T4，即T=25π，即T=2πω=25π，则ω＝5此时f（x）＝sin（5x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4×5+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+7π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣2时，φ=−π4，此时f（x）＝sin（5x−π4），
当0＜x＜π8时，−π4＜5x−π4＜3π8，此时函数单调递增，满足条件．
③若d=π2=74T，即T=27π，即T=2πω=27π，则ω＝7此时f（x）＝sin（7x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4×7+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ−5π4，∵|φ|＜π2，∴k＝1时，φ=−π4，此时f（x）＝sin（7x−π4），
当0＜x＜π8时，−π4＜7x−π4＜5π8，此时函数不单调，不满足条件，
④若d=π2=94T，即T=29π，即T=2πω=29π，则ω＝9＞8不成立，
综上满足条件的ω＝1或ω＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的单调性，对称性和对称轴的应用，根据条件求出ω和φ的值是解决本题的关键．
3.如图，已知函数f（x）=3cs（ωx+φ）（ω＞0，−π2＜φ＜0）的部分图象与x轴的一个交点为A（−π6，0），与y轴交点为B（0，32），那么f（π2）＝（ ）
A．32B．12C．−12D．−32
【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质求得f（x）的解析式，可得f（π2）的值．
【解答】解：由题意可得ω×（−π6）+φ＝kπ+π2，3csφ=32，结合ω＞0，−π2＜φ＜0，
可得φ=−π6，∴−ωπ6=kπ+π2+π6，即ω＝﹣6k﹣4，∴ω＝2，f（x）=3cs（2x−π6），
∴f（π2）=3cs5π6=−32，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
4. 已知函数f（x）＝asinx+csx的一条对称轴为x＝，则函数g（x）＝sinx﹣acsx的一条对称轴可以为（ ）
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝
【分析】利用辅助角公式分别将f（x）和g（x）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝（sinx+csx），
令csθ＝，sinθ＝，
则f（x）＝（sinxcsθ+csxsinθ）＝sin（x+θ），
∵f（x）的一条对称轴为x＝，
∴+θ＝kπ+，即θ＝kπ+，k∈Z，
g（x）＝sinx﹣acsx＝（sinx﹣csx）＝（sinxsinθ﹣csxcsθ）＝﹣cs（x+θ），
由x+θ＝mπ，m∈Z，
得x＝mπ﹣θ＝mπ﹣kπ+＝（m﹣k）π﹣，m，k∈Z，
当m﹣k＝1时，对称轴为x＝π﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．
5. 若函数f（x）＝csx﹣sinωx在[0，2π]内恰有2个零点，则ω的值不可能为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】逐一代入四个选项的ω的值，结合辅助角公式和余弦函数的零点问题，分析函数f（x）在[0，2π]内的零点个数即可得解．
【解答】解：当ω＝﹣1时，f（x）＝csx+sinx＝，令，则，k∈Z，所以f（x）在[0，2π]内的零点为和，符合题意，即ω＝﹣1成立；
当ω＝0时，f（x）＝csx，由余弦函数的图象可知，f（x）在[0，2π]内的零点为和，符合题意，即ω＝0成立；
当ω＝1时，f（x）＝csx﹣sinx＝，令，则，k∈Z，所以f（x）在[0，2π]内的零点为和，符合题意，即ω＝1成立；
当ω＝2时，f（x）＝csx﹣sin2x＝csx﹣2sinxcsx＝csx（1﹣2sinx），令f（x）＝0，则csx＝0或sinx＝，所以f（x）在[0，2π]内的零点为、、和，共4个零点，不符合题意，即ω＝2不成立．
故选：D．
【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式、二倍角公式和余弦函数的零点问题是解题的关键，考查学生的数形结合思想、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
6.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2且f（x）的图象关于点（−π6，0）对称，则下列判断不正确的是（ ）
A．要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cs2x的图象向右平移π12个单位
B．函数f（x）的图象关于直线x=7π12对称
C．x∈[−π12，π6]时，函数f（x）的最小值为3
D．函数f（x）在[π6，5π12]上单调递减
【分析】由题意可求A，f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求φ，可得f（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解．
【解答】解：∵函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2），函数的最大值是2，
∴A＝2，
∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，
∴T=2πω=π，解得：ω＝2，
∵f（x）的图象关于点（−π6，0）对称，
∴2×（−π6）+φ＝kπ，k∈Z，解得：φ＝kπ+π3，k∈Z，
又∵|φ|＜π2，解得：φ=π3．可得：f（x）＝2sin（2x+π3）．
对于A，将y＝2cs2x的图象向右平移π12个单位，
可得：y＝2cs[2（x−π12）]＝2cs（2x−π6）＝2sin（2x+π3）的图象，故正确；
对于B，由于2sin（2×7π12+π3）＝﹣2，故正确；
对于C，x∈[−π12，π6]时，2x+π3∈[π6，2π3]，可得f（x）＝2sin（2x+π6）∈[1，2]，故错误；
对于D，由x∈[π6，5π12]，可得：2x+π3∈[2π3，7π6]，由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）单调递减，故正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合的方法，属于中档题．
二.填空题（共2小题）
7.若函数f（x）＝3sin（x+π2）与g（x）＝8tanx的图象在区间（0，π2）上交点的横坐标为x0，则cs2x0的值为 79
【分析】由题意可得，∴8tanx0＝3sin（x0+π2）＝3csx0，再利用同角三角函数的基本关系，解方程求得sinx0 的值，再利用二倍角公式求得cs2x0的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝3sin（x+π2）与g（x）＝8tanx的图象在区间（0，π2）上交点的横坐标为x0，∴8tanx0＝3sin（x0+π2）＝3csx0，
即8sinx0＝3cs2x0＝3﹣3sin2x0，求得sinx0＝﹣3 （不合题意，舍去），或sinx0=13，∴cs2x0的＝1﹣2sin2x0=79，
故答案为：79．
【点评】本题主要考查正弦函数、正切函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用．
8. 已知ω＞0，函数的图象在区间上
有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是 （，）∪（，]∪[，]
【分析】根据正弦函数的对称轴性质，可得ω•﹣＜kπ+＜ωπ﹣⇒＜ω＜，再结合其他限制条件即可求解实数ω的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象在（，π）内有且仅有一条对称轴，
根据正弦函数的对称轴性质，可得ω•﹣＜kπ+＜ωπ﹣⇒＜ω＜，k∈z，①
又因为：π﹣≤T＝⇒ω≤4；②
∵ω＞0；③
因为有且仅有一条对称轴；所以还需满足：ωπ﹣≤（k+1）且（k﹣1）π﹣≤ω﹣；
即≤ω≤④
联立①②③④解得：ω∈（，）∪（，]∪[，]．
故答案为：（，）∪（，]∪[，]．
【点评】本题给出三角函数图象在某区间上有且仅有一条对称轴，求参数的取值范围，着重考查了正弦曲线的对称性和y＝Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于中档题．
考点1：三角函数的图像性质
一、三角函数的图像和性质
1.正弦函数图像和性质
(1)图像：
(2)定义域：R
(3)值域：[−1，1]
(4)单调性：x∈[−π2+2kπ， π2+2kπ]（k∈Z）增函数
x∈[π2+2kπ，3π2+2kπ]（k∈Z）减函数
(5)奇偶性：奇函数
(6)最小正周期：2π
(7)对称性：对称轴x=π2+kπ， k∈Z；对称中心kπ，0，k∈Z．
2.余弦函数图像和性质
(1)图像
(2)定义域：R
(3)值域：[−1，1]
(4)单调性：x∈[−π+2kπ，2kπ]（k∈Z）增函数
x∈[2kπ，π+2kπ]（k∈Z）减函数
(5)奇偶性：偶函数
(6)最小正周期：2π
(7)对称性：对称轴x=kπ， k∈Z；对称中心π2+kπ，0，k∈Z．
3.正切函数图像和性质
(1)定义域：{x|x≠π2+kπ，k∈Z}
(2)值域：R
(3)单调性：在(−π2+kπ，π2+kπ)（k∈Z）增函数．
(4)奇偶性：奇函数
(5)最小正周期：π
(6)对称性：对称中心kπ2，0，k∈Z．
典例精讲
【典例1】若函数f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（π6），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（ ）
A．[0，π6]与[π2，2π3]B．[π3，2π3]
C．[0，π6]与[2π3，π]D．[0，π6]与[π3，2π3]
【分析】根据题意得出f（π6）＝1，求出φ的值写出f（x）的解析式；
再求f（x）的单调增区间，即可得出f（x）在x∈[0，π]上的单调增区间．
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（π6），
∴f（π6）＝sin（2×π6+φ）＝1，
解得φ=π6+2kπ，k∈Z；
∴f（x）＝sin（2x+π6）；
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
当x∈[0，π]时，有[0，π6]，[2π3，π]满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题．
【典例2】已知定义在上的函数（ω＞0）的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】先由x∈，求出的取值范围，然后分类讨论：①当即0＜ω＜4时，构造新函数，，然后结合正弦函数和一次函数的图象，找两个图象的交点个数即可；②当即ω≥4时，只能是ω＝5．
【解答】解：∵x∈，∴，
①当即0＜ω＜4时，
令，，如图，易知函数g（ω）和h（ω）有两个交点A，B，
而当0＜ω＜4时，只有唯一的交点A，也就是只有唯一解．
②当即ω≥4时，，∴ω＝5，只有一个值．
综上所述，正实数ω的取值个数最多为2个．
故选：C．
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题，还涉及构造新函数和分类讨论的思想，考查学生转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
【典例3】关于函数f（x）＝x﹣sinx，下列说法错误的是（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增
C．x＝0是f（x）的唯一零点
D．f（x）是周期函数
【分析】由题意利用根据正弦函数的性质，得出结论．
【解答】解：关于函数f（x）＝x﹣sinx，显然它是奇函数，故A正确；
由于f′（x）＝1﹣csx≥0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故B正确；
根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，f（0）＝0，可得x＝0是f（x）的唯一零点，故C正确；
根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故它一定不是周期函数，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
【典例4】如图，已知函数f（x）=3cs（ωx+φ）（ω＞0，−π2＜φ＜0）的部分图象与x轴的一个交点为A（−π6，0），与y轴交点为B（0，32），那么f（π2）＝（ ）
A．32B．12C．−12D．−32
【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质求得f（x）的解析式，可得f（π2）的值．
【解答】解：由题意可得ω×（−π6）+φ＝kπ+π2，3csφ=32，结合ω＞0，−π2＜φ＜0，
可得φ=−π6，∴−ωπ6=kπ+π2+π6，即ω＝﹣6k﹣4，∴ω＝2，f（x）=3cs（2x−π6），
∴f（π2）=3cs5π6=−32，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
【典例5】已知函数f（x）＝cs（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π）．若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6），则（ ）
A．f（2021）﹣f（2018）＜0B．f（2021）﹣f（2018）＝0
C．f（2021）+f（2018）＞0D．f（2021）+f（2018）＝0
【分析】根据余弦函数的图象和性质，判断函数的最值进行求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝cs（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π），
若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6），
则f（1）为最小值，f（6）为最大值，
∴ω+φ＝2k1π+π，6ω+φ＝2k2π+2π，k∈Z．
∴5ω＝2（k2﹣k1）π+π，
即ω=25（k2﹣k1）π+π5，
∵0＜ω＜1，
∴当k2﹣k1＝0时，ω=π5，
此时φ=4π5，f（x）＝cs（π5x+4π5），它的周期为10．
且f（1）＝﹣1，f（6）＝1，
则f（2021）＝f（2020+1）＝f（1）＝﹣1，
f（2018）＝f（2020﹣2）＝f（﹣2）∈（0，1），
则f（2021）﹣f（2018）＜0，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．
【典例6】设函数f（x）＝cs（2x−π3），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为π
B．f（x+π2）的一个零点为x=−π3
C．y＝f（x）的图象关于直线x=2π3对称
D．f（x）在[π3，π2]上单调递减
【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）＝cs（2x−π3），它的周期为2π2=π，故A正确；
当x=2π3时，f（x）＝﹣1，为最小值，故y＝f（x）的图象关于直线x=2π3对称，故C正确；
在在[π3，π2]上，2x−π3∈[π3，2π3]，故f（x）在[π3，π2]上单调递减，故D正确；
∵f（x+π2）＝cs（2x+2π3），当x=−π3时，f（x+π2）＝cs（2x+2π3）＝1≠0，故B错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
【典例7】已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在（0，π）上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A．[1，）B．（，）C．（，]D．[1，]
【分析】只要保证y＝sin（）在y轴右侧的最近三条对称轴，左边两条对称轴落在（0，π）内，第三条在（0，π）外即可，由此构造不等式组．
【解答】解：令ωx+＝，解得，分别为y＝f（x）的y轴右侧由左往右最近的三条对称轴．
要满足图象在（0，π）上有且仅有两条对称轴，只需，解得．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，注意结合正余弦函数的图象与性质解决yAsin（ωx+φ）的性质的基本路子，属于中档题．
【典例8】若函数f（x）＝3sin（x+π2）与g（x）＝8tanx的图象在区间（0，π2）上交点的横坐标为x0，则cs2x0的值为 79
【分析】由题意可得，∴8tanx0＝3sin（x0+π2）＝3csx0，再利用同角三角函数的基本关系，解方程求得sinx0 的值，再利用二倍角公式求得cs2x0的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝3sin（x+π2）与g（x）＝8tanx的图象在区间（0，π2）上交点的横坐标为x0，∴8tanx0＝3sin（x0+π2）＝3csx0，
即8sinx0＝3cs2x0＝3﹣3sin2x0，求得sinx0＝﹣3 （不合题意，舍去），或sinx0=13，∴cs2x0的＝1﹣2sin2x0=79，
故答案为：79．
【点评】本题主要考查正弦函数、正切函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用．
【典例9】已知函数f（x）＝asinx+csx的一条对称轴为x＝，则函数g（x）＝sinx﹣acsx的一条对称轴可以为（ ）
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝
【分析】利用辅助角公式分别将f（x）和g（x）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝（sinx+csx），
令csθ＝，sinθ＝，
则f（x）＝（sinxcsθ+csxsinθ）＝sin（x+θ），
∵f（x）的一条对称轴为x＝，
∴+θ＝kπ+，即θ＝kπ+，k∈Z，
g（x）＝sinx﹣acsx＝（sinx﹣csx）＝（sinxsinθ﹣csxcsθ＝﹣cs（x+θ），
由x+θ＝mπ，m∈Z，
得x＝mπ﹣θ＝mπ﹣kπ+＝（m﹣k）π﹣，m，k∈Z，
当m﹣k＝1时，对称轴为x＝π﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．
考点2：三角函数的图像变换
三角函数的几种变换：
1. 平移变换：函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像可以看做将函数y=sinx的图像上的所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平移φ个单位而得到．
2. 周期变换：函数y=sin(ωx+φ)（ω>0且ω≠1）的图像可以看做是把y=sin(x+φ)的图像上所有的点的横坐标缩短为（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到．
3. 振幅变换：函数y=Asin(ωx+φ)（A>0且A≠1）的图像可以看做是将y=sin(ωx+φ)的图像上所有的点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．
典例精讲
【典例1】已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，3)，且在(π12，5π12)上单调，把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈(2π3，4π3)且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（ ）
A．−3B．3C．﹣1D．1
【分析】利用正弦函数的周期性和单调性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得x1+x2的值，可得f（x1+x2）的值．
【解答】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，3)，∴2sinφ=3，∴φ=π3．
f（x）在(π12，5π12)上单调，∴12•2πω≥5π12−π12，∴0＜ω≤3．
把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，∴k•2πω=π，k∈Z，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+π3）．
当x1，x2∈(2π3，4π3)且x1≠x2时，2x+π3∈（5π3，3π），若 f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝2•5π2=5π，
f（x1+x2）＝2sin（10π+π3）＝2sinπ3=3，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．
【典例2】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，其图象相邻两条对称轴之间距离为π2，将函数y＝f（x）的向右平移π6个单位长度后，得到关于y轴对称，则（ ）
A．f（x）的关于点(π6，0)对称
B．f（x）的图象关于点(−π6，0)对称
C．f（x）在(−π6，π3)单调递增
D．f（x）在(−2π3，−π6)单调递增
【分析】由周期求出ω，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换、图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，其图象相邻两条对称轴之间距离为12⋅2πω=π2，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ）．
将函数y＝f（x）的向右平移π6个单位长度后，可得y＝sin（2x−π3+φ） 的图象，
根据得到的图象关于y轴对称，可得−π3+φ＝kπ+π2，k∈Z，∴φ=−π6，f（x）＝sin（2x−π6）．
当x=π6时，f（x）=12，故f（x）的图象不关于点(π6，0)对称，故A错误；
当x=−π6时，f（x）＝﹣1，故f（x）的图象关于直线x=−π6对称，不不关于点(π6，0)对称，故B错误；
在(−π6，π3)上，2x−π6∈[−π2，π2]，f（x）单调递增，故C正确；
在(−2π3，−π6)上，2x−π6∈[−3π2，−π2]，f（x）单调递减，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
【典例3】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则函数f(x−π4)图象的一个对称中心是（ ）
A．(−π3，0)B．(−π12，0)C．(7π12，0)D．(3π4，0)
【分析】由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得ω，利用顶点坐标求得φ，则函数解析式可求，进一步求得f(x−π4)=2sin（2x−π6），再由2x−π6=kπ，k∈Z求得x，则函数f(x−π4)图象的一个对称中心可求．
【解答】解：由图可知，T＝4（π3−π12）＝π，则ω＝2，
又2×π12+φ=π2，且|φ|＜π2，∴φ=π3．
又由图可知，A＝2，
∴f（x）＝2sin（2x+π3）．
则f(x−π4)=2sin[2（x−π4）+π3]＝2sin（2x−π6），
令2x−π6=kπ，k∈Z，则x=π12+kπ2，k∈Z，
当k＝1时，x=7π12，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．
【典例4】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）•e﹣|x|（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则Aω的可能取值为（ ）
A．π2B．πC．3π2D．2π
【分析】根据函数图象的对称性得函数为偶函数，可得φ=π2，由f（0）＝2可得A＝2，由f（1）＝f（3）＝0可得ω可取π2．
【解答】解：f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）为偶函数，∴φ＝kπ+π2，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=π2，
∴f（x）＝Acsωx•e﹣|x|，
∴f（0）＝A＝2，
∵f（1）＝f（3）＝0，∴csω⋅1e=cs3ω•1e3=0，∴csω＝cs3ω＝0，取ω=π2，则Aω＝π．
故选：B．
【点评】本题考查了y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，属中档题．
【典例5】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在(0，π3)上单调，且f(π3)=f(π2)=−f(0)，则φ＝（ ）
A．−π3B．−π6C．π6D．π3
【分析】根据函数f（x）在区间（0，π3）上单调求得0＜ω≤3，
再由f（π3）＝f（π2）＝﹣f（0）求得f（x）的一条对称轴与一个对称中心，
由此求得ω的值，再求φ的值．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜π2；
若f（x）在区间（0，π3）上单调，π3−0≤T2=πω，解得0＜ω≤3；
又f（π3）＝f（π2）＝﹣f（0），
∴x=π3+π22=5π12为f（x）＝sin（ωx+φ）的一条对称轴，
且（π3+02，0）即（π6，0）为f（x）＝sin（ωx+φ）的一个对称中心，
∴T4=π2ω=5π12−π6=π4，解得ω＝2∈（0，3]，
∴f（x）＝sin（2x+φ）；
∴f（π3）＝f（π2）＝﹣f（0），
∴sin（2π3+φ）＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，
∴φ=−π3．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
【典例6】已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数f（x）的图象向右平移1个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2019）＝ 2+1 ．
【分析】由题意可求函数的周期T，利用周期公式可求ω的值，求得f（x）的解析式，根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，利用正弦函数周期性即可计算求值得解．
【解答】解：依题意，T2=4，T=8=2πω，
所以：ω=π4，
故：f(x)=sin(π4x+π4)，
由题意可得：g(x)=f(x−1)=sin(π4x−π4+π4)=sinπ4x，
因为：g（1）+g（2）+g（3）+…+g（8）＝0，
所以：g(1)+g(2)+g(3)+⋯+g(2019)=g(1)+g(2)+g(3)=2+1．
故答案为：2+1．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象的性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
综合练习
一. 选择题（共6小题）
1.若函数f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（π6），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（ ）
A．[0，π6]与[π2，2π3]B．[π3，2π3]
C．[0，π6]与[2π3，π]D．[0，π6]与[π3，2π3]
【分析】根据题意得出f（π6）＝1，求出φ的值写出f（x）的解析式；
再求f（x）的单调增区间，即可得出f（x）在x∈[0，π]上的单调增区间．
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（π6），
∴f（π6）＝sin（2×π6+φ）＝1，
解得φ=π6+2kπ，k∈Z；
∴f（x）＝sin（2x+π6）；
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
当x∈[0，π]时，有[0，π6]，[2π3，π]满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题．
2.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）满足f（π4−x）＝﹣f（π4+x），f（−π2−x）＝f（x），且在（0，π8）上是单调函数，则ω的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据条件判断f（x）的图象关于点（π4，0）对称，同时关于x=−π4对称，结合函数的单调性分别进行讨论即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）满足f（π4−x）＝﹣f（π4+x），
∴f（x）的图象关于点（π4，0）对称，
∵f（−π2−x）＝f（x），∴函数关于−π2−x+x2=−π4对称，
∵f（x）在（0，π8）上是单调函数，∴12•2πω≥π8，∴ω≤8．
若对称中心（π4，0）和对称轴x=−π4得距离d=π4−（−π4）=π2，
①若d=π2=T4，即T＝2π，即T=2πω=2π，则ω＝1，此时f（x）＝sin（x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+3π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣1时，φ=−π4，此时f（x）＝sin（x−π4），满足条件，
②若d=π2=3T4，即T=23π，即T=2πω=23π，则ω＝3此时f（x）＝sin（3x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4×3+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+5π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣1时，φ=π4，此时f（x）＝sin（3x+π4），
当0＜x＜π8时，π4＜3x+π4＜5π8，此时函数不单调，不满足条件．
③若d=π2=5T4，即T=25π，即T=2πω=25π，则ω＝5此时f（x）＝sin（5x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4×5+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+7π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣2时，φ=−π4，此时f（x）＝sin（5x−π4），
当0＜x＜π8时，−π4＜5x−π4＜3π8，此时函数单调递增，满足条件．
③若d=π2=74T，即T=27π，即T=2πω=27π，则ω＝7此时f（x）＝sin（7x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4×7+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ−5π4，∵|φ|＜π2，∴k＝1时，φ=−π4，此时f（x）＝sin（7x−π4），
当0＜x＜π8时，−π4＜7x−π4＜5π8，此时函数不单调，不满足条件，
④若d=π2=94T，即T=29π，即T=2πω=29π，则ω＝9＞8不成立，
综上满足条件的ω＝1或ω＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的单调性，对称性和对称轴的应用，根据条件求出ω和φ的值是解决本题的关键．
3.如图，已知函数f（x）=3cs（ωx+φ）（ω＞0，−π2＜φ＜0）的部分图象与x轴的一个交点为A（−π6，0），与y轴交点为B（0，32），那么f（π2）＝（ ）
A．32B．12C．−12D．−32
【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质求得f（x）的解析式，可得f（π2）的值．
【解答】解：由题意可得ω×（−π6）+φ＝kπ+π2，3csφ=32，结合ω＞0，−π2＜φ＜0，
可得φ=−π6，∴−ωπ6=kπ+π2+π6，即ω＝﹣6k﹣4，∴ω＝2，f（x）=3cs（2x−π6），
∴f（π2）=3cs5π6=−32，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
4. 已知函数f（x）＝asinx+csx的一条对称轴为x＝，则函数g（x）＝sinx﹣acsx的一条对称轴可以为（ ）
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝
【分析】利用辅助角公式分别将f（x）和g（x）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝（sinx+csx），
令csθ＝，sinθ＝，
则f（x）＝（sinxcsθ+csxsinθ）＝sin（x+θ），
∵f（x）的一条对称轴为x＝，
∴+θ＝kπ+，即θ＝kπ+，k∈Z，
g（x）＝sinx﹣acsx＝（sinx﹣csx）＝（sinxsinθ﹣csxcsθ）＝﹣cs（x+θ），
由x+θ＝mπ，m∈Z，
得x＝mπ﹣θ＝mπ﹣kπ+＝（m﹣k）π﹣，m，k∈Z，
当m﹣k＝1时，对称轴为x＝π﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．
5. 若函数f（x）＝csx﹣sinωx在[0，2π]内恰有2个零点，则ω的值不可能为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】逐一代入四个选项的ω的值，结合辅助角公式和余弦函数的零点问题，分析函数f（x）在[0，2π]内的零点个数即可得解．
【解答】解：当ω＝﹣1时，f（x）＝csx+sinx＝，令，则，k∈Z，所以f（x）在[0，2π]内的零点为和，符合题意，即ω＝﹣1成立；
当ω＝0时，f（x）＝csx，由余弦函数的图象可知，f（x）在[0，2π]内的零点为和，符合题意，即ω＝0成立；
当ω＝1时，f（x）＝csx﹣sinx＝，令，则，k∈Z，所以f（x）在[0，2π]内的零点为和，符合题意，即ω＝1成立；
当ω＝2时，f（x）＝csx﹣sin2x＝csx﹣2sinxcsx＝csx（1﹣2sinx），令f（x）＝0，则csx＝0或sinx＝，所以f（x）在[0，2π]内的零点为、、和，共4个零点，不符合题意，即ω＝2不成立．
故选：D．
【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式、二倍角公式和余弦函数的零点问题是解题的关键，考查学生的数形结合思想、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
6.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2且f（x）的图象关于点（−π6，0）对称，则下列判断不正确的是（ ）
A．要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cs2x的图象向右平移π12个单位
B．函数f（x）的图象关于直线x=7π12对称
C．x∈[−π12，π6]时，函数f（x）的最小值为3
D．函数f（x）在[π6，5π12]上单调递减
【分析】由题意可求A，f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求φ，可得f（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解．
【解答】解：∵函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2），函数的最大值是2，
∴A＝2，
∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，
∴T=2πω=π，解得：ω＝2，
∵f（x）的图象关于点（−π6，0）对称，
∴2×（−π6）+φ＝kπ，k∈Z，解得：φ＝kπ+π3，k∈Z，
又∵|φ|＜π2，解得：φ=π3．可得：f（x）＝2sin（2x+π3）．
对于A，将y＝2cs2x的图象向右平移π12个单位，
可得：y＝2cs[2（x−π12）]＝2cs（2x−π6）＝2sin（2x+π3）的图象，故正确；
对于B，由于2sin（2×7π12+π3）＝﹣2，故正确；
对于C，x∈[−π12，π6]时，2x+π3∈[π6，2π3]，可得f（x）＝2sin（2x+π6）∈[1，2]，故错误；
对于D，由x∈[π6，5π12]，可得：2x+π3∈[2π3，7π6]，由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）单调递减，故正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合的方法，属于中档题．
二.填空题（共2小题）
7.若函数f（x）＝3sin（x+π2）与g（x）＝8tanx的图象在区间（0，π2）上交点的横坐标为x0，则cs2x0的值为 79
【分析】由题意可得，∴8tanx0＝3sin（x0+π2）＝3csx0，再利用同角三角函数的基本关系，解方程求得sinx0 的值，再利用二倍角公式求得cs2x0的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝3sin（x+π2）与g（x）＝8tanx的图象在区间（0，π2）上交点的横坐标为x0，∴8tanx0＝3sin（x0+π2）＝3csx0，
即8sinx0＝3cs2x0＝3﹣3sin2x0，求得sinx0＝﹣3 （不合题意，舍去），或sinx0=13，∴cs2x0的＝1﹣2sin2x0=79，
故答案为：79．
【点评】本题主要考查正弦函数、正切函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用．
8. 已知ω＞0，函数的图象在区间上
有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是 （，）∪（，]∪[，]
【分析】根据正弦函数的对称轴性质，可得ω•﹣＜kπ+＜ωπ﹣⇒＜ω＜，再结合其他限制条件即可求解实数ω的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象在（，π）内有且仅有一条对称轴，
根据正弦函数的对称轴性质，可得ω•﹣＜kπ+＜ωπ﹣⇒＜ω＜，k∈z，①
又因为：π﹣≤T＝⇒ω≤4；②
∵ω＞0；③
因为有且仅有一条对称轴；所以还需满足：ωπ﹣≤（k+1）且（k﹣1）π﹣≤ω﹣；
即≤ω≤④
联立①②③④解得：ω∈（，）∪（，]∪[，]．
故答案为：（，）∪（，]∪[，]．
【点评】本题给出三角函数图象在某区间上有且仅有一条对称轴，求参数的取值范围，着重考查了正弦曲线的对称性和y＝Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于中档题．
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