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专题02 函数基本性质-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全
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这是一份专题02 函数基本性质-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全，文件包含专题02函数基本性质原卷版docx、专题02函数基本性质解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共39页， 欢迎下载使用。
一、函数的概念
1. 映射
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)，于是
y=f(x)
x称为y的原象，映射f也可记为：
f:A→B
x→f(x)
其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域．通常记作f(A)．
将上述定义中集合A、B限制为非空数集，便可以得到函数的概念，如下：
2. 函数
设集合A是一个非空数集，对A中的任意的数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y=f(x)，x∈A
其中x叫做自变量．自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域．
如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)
所有函数值构成的集合{yy=f(x) ， x∈A}叫做这个函数的值域．
3. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则
4. 函数的表示法
(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
二、函数的定义域
1. 基本函数的定义域
(1)分式的分母不应为零；
(2)零次或负次指数次幂的底数不为零；
(3)偶次方根的被开方数大于或者等于零；
(4)对数式的真数大于零；
(5)底数大于0且不等于1；
(6)f(x)=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2 ， k∈Z}；
(7)应用题中要结合实际情况考察定义域．
2. 抽象函数的定义域
抽象函数的定义域：在同一对应法则f下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号内的部分同样作为函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集．
三、函数的解析式
1. 换元法求解析式
2. 解方程组法求解析式
3. 待定系数法求解析式
四、函数的值域
1. 利用函数单调性
2. 模型函数的应用
(1)二次型
(2)x+kxk＞0（对勾函数）模型
fx=x+kxk＞0的性质和图像：
①定义域：xx≠0
②值域：
③单调性：在上单调递增；在上单调递减
④奇偶性：奇函数
⑤图像：
(3)x−kxk＞0模型：
fx=x−kxk＞0的性质和图像：
①定义域：xx≠0
②值域：R
③单调性：在−∞,0和0，+∞上分别单调递增
④奇偶性：奇函数
⑤图像：
3. 分离常数
4. 换元（代数换元和三角换元）
5. 基本不等式
6. 几何法
典例精讲
【典例1】已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x+1，若对于任意实数x，不等式f（x2+a）+f（2ax）＞2恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1]B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（0，2）
【典例2】若函数的值域为，则的取值范围是
A．，B．C．，D．
【典例3】设f（x）＝ln（(x+1)2+1+x+1）﹣2，若f（a）＝1，f（b）＝﹣5，则a+b＝（ ）
A．2B．0C．1D．﹣2
【典例4】已知集合A＝N*，B＝{a|a＝2n﹣1，n∈Z}，映射f：A→B，使A中任一元素a与B中元素2a﹣1对应，则与B中元素17对应的A中元素是（ ）
A．3B．5C．17D．9
【典例5】函数f（x）＝（x2﹣4x+3）sin（x﹣2）+3x在区间[﹣1，5]的最大值和最小值分别为a，b，则a+b＝（ ）
A．0B．﹣12C．6D．12
【典例6】已知函数f（x）＝lg2x+1的定义域为[1，2]，g（x）＝f2（x）+f（x2）+m，若存在实数a，b，c∈{y|y＝g（x）}，使得a+b＜c，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜−74B．m＜2C．m＜3D．m＜14
【典例7】若函数f（x）=1ex−x+m的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
【典例8】设函数f（x）＝2−2x+4和函数g（x）＝ax+a﹣1，若对任意x1∈[0，+∞）都有x2∈（﹣∞，1]使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围为 ．
考点2：函数的性质
一、函数的单调性
1. 定义：设函数y=f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值，x1，x2，改变量△x=x2−x1>0，则当△y=y2−y1>0时，就称函数y=f(x)在区间M上是增函数．则当△y=y2−y1<0时，就称函数y=f(x)在区间M上是增函数．
2. 说明：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是其定义域的子区间；
3. 判断函数的单调性的方法有：
(1)定义法；
(2)利用已知函数的单调性；
(3)利用函数的导数判断函数的单调性；
(4)复合函数的单调性结论：“同增异减”；
(5)奇函数在其对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调性．
(6)在公共定义域内，增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增
函数f(x)−减函数g(x)是增函数；减函数f(x)−增函数g(x)是减函数．
(7)af(x)当a>0时候与g(x)的单调性相同，当a<0时候与g(x)的单调性相反．
(8)如果f(x)是单调函数且f(x)>0，则f(x)和1f(x)数的单调性是相反的，如果f(x)是单调函数且f(x)<0，f(x)和1f(x)的单调性是相反的．
二、函数的奇偶性
1. 定义
奇函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x都有f(−x)=−f(x)，则这个函数叫做奇函数．
偶函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x都有f(−x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．
2. 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
先求函数的定义域，若函数的定义域部关于原点对称，则此函数不具有奇、偶性；若函数定义域关于原点对称；在判断f(x)与f(−x)关系；若f(−x)=f(x)，则f(x)是偶函数；若f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数．
(2)图像法
函数图像关于y轴对称⇔函数是偶函数．函数图像关于原点对称⇔函数是奇函数．
3. 函数奇偶性的性质
(1)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0．
(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域D=D1∩D2上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶（例如y=xsinx是偶函数），偶×偶=偶，奇×偶=奇（例如y=xcsx是奇函数）．
三、函数的周期性
1. 判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：
一是对定义域中任意的x恒有f(x+T)=f(x)；二是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．
2. 具有周期性的抽象函数：
函数y=fx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），
(1)函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a−x)（a>0），若f(x)为奇函数，则其周期为T=4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T=2a．
(2)函数y=f(x) x∈R的图象关于直线x=a和x=ba(3)函数y=f(x) x∈R的图象关于两点Aa,y0，Bb,y0a2b−a为周期的周期函数．
(4)函数y=f(x) x∈R的图象关于Aa,y0和直线x=b a为周期的周期函数．
(5)关于函数的周期性有如下推广结论：
若函数y=fx满足如下关系，则fx的周期为2T
= 1 \* GB3 ①fx+T=−fx
= 2 \* GB3 ② fx+T=±1fx
= 3 \* GB3 ③fx+T2=±1+fx1−fx
= 4 \* GB3 ④fx+T2=±1−fx1+fx
四、函数的对称性
1. 一个函数fx的自对称问题：
(1)关于y轴对称⇔f(−x)=f(x)；
(2)关于原点对称⇔f(−x)=−f(x)；
(3)关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a−x)或f(x)=f(2a−x)；
(4)关于点(a,b)对称⇔f(x)=2b−f(2a−x)或f(a+x)−b=b−f(a−x)．
2. 两个函数的互对称问题：
(1)y=fx与y=−fx关于x轴对称．
(2)y=fx与y=f−x关于y轴对称．
(3)y=fx与y=−f−x关于原点对称．
(4)y=fx与y=2a−fx关于y=a轴对称．
(5)y=fx与y=f2a−x关于x=a轴对称．
(6)y=fx与y=2b−f2a−x关于a,b对称．
(7)函数y=f(a−x)与y=f(x−b)的图像关于直线x=a+b2对称．
典例精讲
【典例1】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）
A．f（lg314）＞f（2−32）＞f（2−23）
B．f（lg314）＞f（2−23）＞f（2−32）
C．f（2−32）＞f（2−23）＞f（lg314）
D．f（2−23）＞f（2−32）＞f（lg314）
【典例2】已知函数f（x）的定义域是[0，3]，g（x）与f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，若g（ax）在[13，12]上有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣3，4]B．[﹣3，6]C．[﹣2，4]D．[﹣2，6]
【典例3】已知偶函数满足：对任意的，，，都有成立，则满足的取值范围是
A．B．C．D．
【典例4】若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ．
①f（x）＝2﹣x②f（x）＝3﹣x③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2．
【典例5】若函数f(x)=asin(x+π6)+3sin(x−π3)是偶函数，则实数a的值为 ．
【典例6】设是定义在上以2为周期的偶函数，当，时，，则，时，的解析式为
A．B．C．D．
【典例7】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（−2），则a的取值范围是 ．
综合练习
1．函数f（x）=x+3+(2x+3)03−2x的定义域是（ ）
A．[﹣3，32]B．[﹣3，−32）∪（−32，32）
C．[﹣3，32）D．[﹣3，−32）∪（−32，32]
2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则
4．若函数y＝f（x）的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）所对应的函数解析式可以是（ ）
A．y=f(2x−12)B．y＝f（2x﹣1）
C．y=f(12x−12)D．y=f(12x−1)
5．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2，3，4}，f：x→y是集合A到B的映射，则下列对应法则可能成立的是（ ）
A．y＝3xB．y＝x2C．y=2xD．y＝2x+1
6．函数是定义在上的偶函数，且（2），对任意的，都有，则 1 ．
7．函数y=lg12(4x−2)的定义域是 ．
8．已知函数f(x)=(2−a)x，x＞12x−1，x≤1的值域为（﹣1，+∞），则a的取值范围是
9．设f为（0，+∞）→[0，+∞）的函数，对于任意正实数x，f（x）＝3f（3x），当1≤x≤3时，f（x）＝27﹣27|x﹣2|，则使得f(x)=23成立的最大实数x为 ．
一、函数的概念
1. 映射
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)，于是
y=f(x)
x称为y的原象，映射f也可记为：
f:A→B
x→f(x)
其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域．通常记作f(A)．
将上述定义中集合A、B限制为非空数集，便可以得到函数的概念，如下：
2. 函数
设集合A是一个非空数集，对A中的任意的数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y=f(x)，x∈A
其中x叫做自变量．自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域．
如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)
所有函数值构成的集合{yy=f(x) ， x∈A}叫做这个函数的值域．
3. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则
4. 函数的表示法
(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
二、函数的定义域
1. 基本函数的定义域
(1)分式的分母不应为零；
(2)零次或负次指数次幂的底数不为零；
(3)偶次方根的被开方数大于或者等于零；
(4)对数式的真数大于零；
(5)底数大于0且不等于1；
(6)f(x)=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2 ， k∈Z}；
(7)应用题中要结合实际情况考察定义域．
2. 抽象函数的定义域
抽象函数的定义域：在同一对应法则f下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号内的部分同样作为函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集．
三、函数的解析式
1. 换元法求解析式
2. 解方程组法求解析式
3. 待定系数法求解析式
四、函数的值域
1. 利用函数单调性
2. 模型函数的应用
(1)二次型
(2)x+kxk＞0（对勾函数）模型
fx=x+kxk＞0的性质和图像：
①定义域：xx≠0
②值域：
③单调性：在上单调递增；在上单调递减
④奇偶性：奇函数
⑤图像：
(3)x−kxk＞0模型：
fx=x−kxk＞0的性质和图像：
①定义域：xx≠0
②值域：R
③单调性：在−∞,0和0，+∞上分别单调递增
④奇偶性：奇函数
⑤图像：
3. 分离常数
4. 换元（代数换元和三角换元）
5. 基本不等式
6. 几何法
典例精讲
【典例1】已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x+1，若对于任意实数x，不等式f（x2+a）+f（2ax）＞2恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1]B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（0，2）
【典例2】若函数的值域为，则的取值范围是
A．，B．C．，D．
【典例3】设f（x）＝ln（(x+1)2+1+x+1）﹣2，若f（a）＝1，f（b）＝﹣5，则a+b＝（ ）
A．2B．0C．1D．﹣2
【典例4】已知集合A＝N*，B＝{a|a＝2n﹣1，n∈Z}，映射f：A→B，使A中任一元素a与B中元素2a﹣1对应，则与B中元素17对应的A中元素是（ ）
A．3B．5C．17D．9
【典例5】函数f（x）＝（x2﹣4x+3）sin（x﹣2）+3x在区间[﹣1，5]的最大值和最小值分别为a，b，则a+b＝（ ）
A．0B．﹣12C．6D．12
【典例6】已知函数f（x）＝lg2x+1的定义域为[1，2]，g（x）＝f2（x）+f（x2）+m，若存在实数a，b，c∈{y|y＝g（x）}，使得a+b＜c，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜−74B．m＜2C．m＜3D．m＜14
【典例7】若函数f（x）=1ex−x+m的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
【典例8】设函数f（x）＝2−2x+4和函数g（x）＝ax+a﹣1，若对任意x1∈[0，+∞）都有x2∈（﹣∞，1]使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围为 ．
考点2：函数的性质
一、函数的单调性
1. 定义：设函数y=f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值，x1，x2，改变量△x=x2−x1>0，则当△y=y2−y1>0时，就称函数y=f(x)在区间M上是增函数．则当△y=y2−y1<0时，就称函数y=f(x)在区间M上是增函数．
2. 说明：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是其定义域的子区间；
3. 判断函数的单调性的方法有：
(1)定义法；
(2)利用已知函数的单调性；
(3)利用函数的导数判断函数的单调性；
(4)复合函数的单调性结论：“同增异减”；
(5)奇函数在其对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调性．
(6)在公共定义域内，增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增
函数f(x)−减函数g(x)是增函数；减函数f(x)−增函数g(x)是减函数．
(7)af(x)当a>0时候与g(x)的单调性相同，当a<0时候与g(x)的单调性相反．
(8)如果f(x)是单调函数且f(x)>0，则f(x)和1f(x)数的单调性是相反的，如果f(x)是单调函数且f(x)<0，f(x)和1f(x)的单调性是相反的．
二、函数的奇偶性
1. 定义
奇函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x都有f(−x)=−f(x)，则这个函数叫做奇函数．
偶函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x都有f(−x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．
2. 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
先求函数的定义域，若函数的定义域部关于原点对称，则此函数不具有奇、偶性；若函数定义域关于原点对称；在判断f(x)与f(−x)关系；若f(−x)=f(x)，则f(x)是偶函数；若f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数．
(2)图像法
函数图像关于y轴对称⇔函数是偶函数．函数图像关于原点对称⇔函数是奇函数．
3. 函数奇偶性的性质
(1)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0．
(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域D=D1∩D2上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶（例如y=xsinx是偶函数），偶×偶=偶，奇×偶=奇（例如y=xcsx是奇函数）．
三、函数的周期性
1. 判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：
一是对定义域中任意的x恒有f(x+T)=f(x)；二是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．
2. 具有周期性的抽象函数：
函数y=fx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），
(1)函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a−x)（a>0），若f(x)为奇函数，则其周期为T=4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T=2a．
(2)函数y=f(x) x∈R的图象关于直线x=a和x=ba
(4)函数y=f(x) x∈R的图象关于Aa,y0和直线x=b a
(5)关于函数的周期性有如下推广结论：
若函数y=fx满足如下关系，则fx的周期为2T
= 1 \* GB3 ①fx+T=−fx
= 2 \* GB3 ② fx+T=±1fx
= 3 \* GB3 ③fx+T2=±1+fx1−fx
= 4 \* GB3 ④fx+T2=±1−fx1+fx
四、函数的对称性
1. 一个函数fx的自对称问题：
(1)关于y轴对称⇔f(−x)=f(x)；
(2)关于原点对称⇔f(−x)=−f(x)；
(3)关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a−x)或f(x)=f(2a−x)；
(4)关于点(a,b)对称⇔f(x)=2b−f(2a−x)或f(a+x)−b=b−f(a−x)．
2. 两个函数的互对称问题：
(1)y=fx与y=−fx关于x轴对称．
(2)y=fx与y=f−x关于y轴对称．
(3)y=fx与y=−f−x关于原点对称．
(4)y=fx与y=2a−fx关于y=a轴对称．
(5)y=fx与y=f2a−x关于x=a轴对称．
(6)y=fx与y=2b−f2a−x关于a,b对称．
(7)函数y=f(a−x)与y=f(x−b)的图像关于直线x=a+b2对称．
典例精讲
【典例1】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）
A．f（lg314）＞f（2−32）＞f（2−23）
B．f（lg314）＞f（2−23）＞f（2−32）
C．f（2−32）＞f（2−23）＞f（lg314）
D．f（2−23）＞f（2−32）＞f（lg314）
【典例2】已知函数f（x）的定义域是[0，3]，g（x）与f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，若g（ax）在[13，12]上有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣3，4]B．[﹣3，6]C．[﹣2，4]D．[﹣2，6]
【典例3】已知偶函数满足：对任意的，，，都有成立，则满足的取值范围是
A．B．C．D．
【典例4】若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ．
①f（x）＝2﹣x②f（x）＝3﹣x③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2．
【典例5】若函数f(x)=asin(x+π6)+3sin(x−π3)是偶函数，则实数a的值为 ．
【典例6】设是定义在上以2为周期的偶函数，当，时，，则，时，的解析式为
A．B．C．D．
【典例7】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（−2），则a的取值范围是 ．
综合练习
1．函数f（x）=x+3+(2x+3)03−2x的定义域是（ ）
A．[﹣3，32]B．[﹣3，−32）∪（−32，32）
C．[﹣3，32）D．[﹣3，−32）∪（−32，32]
2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则
4．若函数y＝f（x）的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）所对应的函数解析式可以是（ ）
A．y=f(2x−12)B．y＝f（2x﹣1）
C．y=f(12x−12)D．y=f(12x−1)
5．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2，3，4}，f：x→y是集合A到B的映射，则下列对应法则可能成立的是（ ）
A．y＝3xB．y＝x2C．y=2xD．y＝2x+1
6．函数是定义在上的偶函数，且（2），对任意的，都有，则 1 ．
7．函数y=lg12(4x−2)的定义域是 ．
8．已知函数f(x)=(2−a)x，x＞12x−1，x≤1的值域为（﹣1，+∞），则a的取值范围是
9．设f为（0，+∞）→[0，+∞）的函数，对于任意正实数x，f（x）＝3f（3x），当1≤x≤3时，f（x）＝27﹣27|x﹣2|，则使得f(x)=23成立的最大实数x为 ．
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