专题19 空间向量-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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空间向量的基本概念与运算
1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0．
3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a，AB．
4.模：表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作|a|
5.方向：有向线段的方向表示向量的方向．
6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线．
7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记为a∥b．
8.向量运算：与平面向量类似；
(二)、空间向量的基本定理
1.共线向量定理：对空间两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数x，使a=xb．
2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
3.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c=xa+yb．
4.空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc．表达式xa+yb+zc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．
注：上述定理中，a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a​​​，​​​​b​​​，​​​​c}，其中a​​​，​​​​b​​​，​​​​c都叫做基向量．
由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(三)、向量的数量积
1.两个向量的夹角
已知两个非零向量a​​​，​​​​b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作⟨a​​​，​​​​b⟩．通常规定0≤⟨a​​​，​​​​b⟩≤π．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且⟨a​​​，​​​​b⟩=⟨b​​​，​​​​a⟩．如果⟨a​​​，​​​​b⟩=90°，则称a与b互相垂直，记作a⊥b．
2.两个向量的数量积
已知空间两个向量a，b，定义它们的数量积（或内积）为：a⋅b=|a||b|cs⟨a​​​，​​​​b⟩
空间两个向量的数量积具有如下性质：
1）a⋅e=|a|cs⟨a​​​，​​​​e⟩；（2）a⊥b⇔a⋅b=0；（3）|a|2=a⋅a；（4）|a⋅b|≤|a||b|．
空间两个向量的数量积满足如下运算律：
1）(λa)⋅b=λ(a⋅b)；（2）a⋅b=b⋅a；（3）(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c．
(四)、空间向量的直角坐标运算
前提：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i​​​，​​​​j​​​，​​​​k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i​​​，​​​​j​​​，​​​​k}，这个基底叫做单位正交基底．
空间直角坐标系Oxyz，也常说成空间直角坐标系[O​​；​​​i​​​，​​​​j​​​，​​​​k]．
1.坐标
在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一数组(a1​​​，​​​​a2​​​，​​​​a3)，使a=a1i+a2j+a3k，a1i，a2j，a3k分别叫做向量a在i​​​，​​​​j​​​，​​​​k方向上的分量，有序实数组(a1​​​，​​​​a2​​​，​​​​a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作a=(a1​​​，​​​​a2​​​，​​​​a3)．
若a=(a1​​​，​​​​a2​​​，​​​​a3)，b=(b1​​​，​​​​b2​​​，​​​​b3)，
则：a+b=(a1+b1​​​，​​​​a2+b2​​​，​​​​a3+b3)；a−b=(a1−b1​​​，​​​​a2−b2​​​，​​​​a3−b3)；
λa=(λa1​​​，​​​​λa2​​​，​​​​λa3)；a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3．
注：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
空间向量的平行和垂直的条件：
设a=(a1​​​，​​​​b1​​​，​​​​c1)，b=(b1​​​，​​​​b2​​​，​​​​b3)，
a∥b（b≠0）⇔a=λb⇔&a1=λb1&a2=λb2&a3=λb3；
a⊥b⇔a⋅b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0．
两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：
|a|=a⋅a=a12+a22+a32，|b|=b⋅b=b12+b22+b32，
cs⟨a​​​，​​​​b⟩=a⋅b|a||b|=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32．
典例精讲
1．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足BE→=34BB1→，BF→=12BC→，BG→=12BA→，O是平面B1GF，平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设BO→=xBG→+yBF→+zBE→，则x+y+z＝（ ）
A．45B．65C．75D．85
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用向量的线性表示与共面定理列出方程组求出x+y和z的值，再求和．
【解答】解：如图所示，
正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BE→=34BB1→，BF→=12BC→，BG→=12BA→，
BO→=xBG→+yBF→+zBE→
=12xBA→+12yBC→+zBE→
＝xBG→+yBF→+34zBB1→，
∵O，A，C，E四点共面，O，D，E，B1四点共面，
∴12x+12y+z=1x+y+34z=1，
解得x+y=25，z=45；
∴x+y+z=65．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算与共面定理的应用问题，是中档题．
2．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（ ）
A．3B．3C．6D．6
【分析】由AC1→=AB→+AD→+AA1→，可得AC1→2=(AB→+AD→+AA1→)2=AB→2+AD→2+AA1→2+2AB→⋅AD→+2AB→⋅AA1→+2AD→⋅AA1→，即可得出．
【解答】解：AC1→=AB→+AD→+AA1→，
则AC1→2=(AB→+AD→+AA1→)2=AB→2+AD→2+AA1→2+2AB→⋅AD→+2AB→⋅AA1→+2AD→⋅AA1→
＝1+1+1+3×2×1×1×cs60°
＝6．
∴|AC1→|=6．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四面体法则、向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．在空间直角坐标系中，OA→=(2a，2b，0)，OB→=(c−1，d，1)，O为坐标原点，满足a2+b2＝1，c2+d2＝4，则下列结论中不正确的是（ ）
A．OA→⋅OB→的最小值为﹣6B．OA→⋅OB→的最大值为10
C．|AB|最大值为26D．|AB|最小值为1
【分析】设a＝csα，b＝sinα，c＝2sinβ，d＝2csβ，则OA→⋅OB→=2a（c﹣1）+2bd＝2ac+2bd﹣2a＝4sinβcsα+4csβsinα﹣2csα＝4sin（α+β）﹣2csα，从而OA→⋅OB→的最小值为﹣6，OA→⋅OB→的最大值为6；AB→=（c﹣2a﹣1，d﹣2b，1）＝（2sinβ﹣2csα﹣1，2csβ﹣2sinα，1），从而|AB→|=(2sinβ−2csα−1)2+(2csβ−2sinα)2+12=10−8sin(α+β)−4sinβ+4csα，从而|AB→|最大值为26，最小值为1．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
OA→=(2a，2b，0)，OB→=(c−1，d，1)，O为坐标原点，满足a2+b2＝1，c2+d2＝4，
设a＝csα，b＝sinα，c＝2sinβ，d＝2csβ，
在A中，OA→⋅OB→=2a（c﹣1）+2bd＝2ac+2bd﹣2a
＝4sinβcsα+4csβsinα﹣2csα＝4sin（α+β）﹣2csα，
∴当α＝0，β=−π2，OA→⋅OB→的最小值为﹣6，故A正确；
在B中，OA→⋅OB→=2a（c﹣1）+2bd＝2ac+2bd﹣2a
＝4sinβcsα+4csβsinα﹣2csα＝4sin（α+β）﹣2csα，
∴α＝π，β＝π+π2时，OA→⋅OB→的最大值为6，故B错误；
在C中，AB→=（c﹣2a﹣1，d﹣2b，1）＝（2sinβ﹣2csα﹣1，2csβ﹣2sinα，1），
∴|AB→|=(2sinβ−2csα−1)2+(2csβ−2sinα)2+12=10−8sin(α+β)−4sinβ+4csα，
∴α=0，β=3π2时，|AB→|的最大值为26，故C正确；
在C中，|AB→|=(2sinβ−2csα−1)2+(2csβ−2sinα)2+12
=10−8sin(α+β)−4sinβ+4csα
=10+4csα−4[(2csα+1)sinβ+2sinαcsβ]
≥10+4csα−4(2csα+1)2+(2sinα)2
=10+4csα−44csα+5，
令4csα+5=t，
则|AB→|=10+4csα−44csα+5=t2−4t+5≥1，
当csα=−14时取等号，
故|AB→|取最小值1．故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积、向量的模、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
4．已知A（3，5，﹣7），B（﹣1，3，3），且AB→=2CB→，则C点的坐标为 （1，4，﹣2） ．
【分析】只利用向量的坐标运算的应用求出结果．
【解答】解：已知A（3，5，﹣7），B（﹣1，3，3），
则：OA→=(3，5，−7)，OB→=(−1，3，3)，
由于：AB→=2CB→，
所以：2OB→−2OC→=OB→−OA→，
解得：OC→=(1，4，−2)，
故答案为：（1，4，﹣2）．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力．
5．若a→=（2，﹣3，1），b→=（2，0，3），c→=（0，2，2）则a→（b→+c→）＝ 3 ．
【分析】由已知中三个向量的坐标，先求出b→+c→，代入数量积公式，可得答案．
【解答】解：∵a→=（2，﹣3，1），b→=（2，0，3），c→=（0，2，2）
∴b→+c→=（2，2，5），
∴a→•（b→+c→）＝2×2+（﹣3）×2+1×5＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算．
6．已知空间四边形ABCD中，AB→=b→，AC→=c→，AD→=d→，若MD→=2CM→，且BM→=xb→+yc→+zd→（x，y，z∈R），则y＝ 23 ．
【分析】如图所示，BM→=BC→+CM→=AC→−AB→+13CD→=AC→−AB→+13(AD→−AC→)=−AB→+23AC→+13AD→=−b→+23c→+13d→．与BM→=xb→+yc→+zd→（x，y，z∈R），比较即可得出．
【解答】解：如图所示，
BM→=BC→+CM→=AC→−AB→+13CD→
=AC→−AB→+13(AD→−AC→)
=−AB→+23AC→+13AD→=−b→+23c→+13d→．
∵BM→=xb→+yc→+zd→（x，y，z∈R），
∴y=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
考点二 位置向量
(一)位置向量的基本概念和运算
定义：已知向量a，在空间固定一个基点O，再作向量OA=a，则点A在空间的位置就被向量a所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量．
由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．
1.给定一个定点A和一个向量a，O为空间中任一确定的点，B为直线l上的点，
则P在为过点A且平行于向量a的直线l上
⇔ AP=ta ①
⇔ OP=OA+ta ②
⇔ OP=(1−t)OA+tOB ③
这三个式子都称为直线l的向量参数方程．向量a称为该直线的方向向量．
2.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，l1∥l2（或l1与l2重合）⇔v1∥v2；l1⊥l2⇔v1⊥v2．
若向量v1和v2是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），
直线l的一个方向向量为v，则l∥α或l在α内⇔存在两个实数x​​​，​​​​y，使v=xv1+yv2．
六、异面直线所成的角
1.定义：过空间任意一点O分别做异面直线a与b的平行线a'与b'，那么直线a'与b'所成的不大于90°的角，叫做异面直线a与b所成的角．
2.异面直线所成角的向量公式：
两条异面直线a与b的方向向量m与n，当m与n的夹角不大于90°，异面直线a ​， b所成的角θ与m和n的夹角相等；当m与n的夹角大于90°，异面直线a ​， b所成的角与m和n的夹角互补．所以直线a ​， b所成的角θ的余弦值为m⋅nmn．
七、直线和平面所成的角
1.定义：平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线与平面所成的角．
2.直线与平面所成角的向量公式：
直线a的方向向量与平面α的法向量分别为m和n，若m与n的夹角不大于90°，直线a与平面α所成的角等于m与n夹角的余角，若m与n的夹角大于90°，直线a与平面所成的角等于m与n夹角的补角的余角，所以直线a与平面α所成的角θ的正弦值为m⋅nmn．
八、平面和平面所成的角
1.定义：过二面角α−l−β棱上任意一点O做垂直于棱l的夹角与平面α ​， β的交线分别为OA ​， OB，那么∠AOB叫做二面角α−l−β的平面角．
2.平面与平面所成角的向量公式：
平面α与β的法向量分别为m和n，则二面角与m ​， n的夹角θ相等或互补．当二面角α−l−β大于90°时，则二面角θ=π−arccsm⋅nmn；当二面角α−l−β不大于90°时，则二面角θ=arccsm⋅nmn；
典例精讲
1．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球体积为323π，且AA1＝BC＝2，则直线A1C与平面BB1C1C所成的角为 π4 ．
【分析】求出长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球半径为R＝2，从而A1C=AA12+BC2+AB2=2R=4，进而AB=22．由A1B1⊥平面BB1C1C，得A1C与平面BB1C1C所成的角为∠A1CB1，由此能求出直线A1C与平面BB1C1C所成的角．
【解答】解：设长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球半径为R，
因为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球体积为43πR3=323π，所以R＝2，
即A1C=AA12+BC2+AB2=2R=4，
因为AA1＝BC＝2，所以AB=22．
因为A1B1⊥平面BB1C1C，
所以A1C与平面BB1C1C所成的角为∠A1CB1，
在Rt△A1CB1中，因为AA1＝BC＝2，
所以B1C=22=A1B1，
所以∠A1CB1=π4．
故答案为：π4．
【点评】该题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
2．已知直线l的一个法向量是n→=(3，−1)，则l的倾斜角的大小是 π3 ．
【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为u→=（x，y），则u→⋅n→=0，可得tanθ=yx．
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．
设直线的方向向量为u→=（x，y），则u→⋅n→=3x﹣y＝0，
∴tanθ=yx=3，解得θ=π3．
故答案为：π3．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力．
3．已知四棱锥P﹣ABCD底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，则直线PB与平面PCD所成的角大小为 30° ．
【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成的角大小．
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
PB→=（2，0，﹣2），PC→=（2，2，﹣2），PD→=（0，2，﹣2），
设平面PCD的法向量n→=（x，y，z），
则n→⋅PC→=2x+2y−2z=0n→⋅PD→=2y−2z=0，取z＝1，得n→=（0，1，1），
设直线PB与平面PCD所成的角为θ，
则sinθ=|PB→⋅n→||PB→|⋅|n→|=28⋅2=12，
∴θ＝30°，
∴直线PB与平面PCD所成的角大小为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
4．已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B、C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围为 [63，32) ．
【分析】根据题意，作图，设正三角形的边长为1，设出B，C到面的距离分别为a，b，则DG的长度为两者和的一半，通过解直角三角形用a，b表示出DG，得出sinα的表达式后，再根据条件，利用函数、不等式知识研究其最值．
【解答】解：设正△ABC边长为1，则线段AD=32
设B，C到平面α距离分别为a＝BE，b＝CF，
则D到平面α距离为hDG=a+b2
射影三角形两直角边的平方分别为1﹣a2，1﹣b2，
设线段BC射影长为c，则1﹣a2+1﹣b2＝c2，（1）
又线段AD射影长为 c2，
所以（ c2）2+(a+b)24=AD2=34，（2）
由（1）（2）联立解得 ab=12，
所以sinα=ℎAD=a+b3=13(a+12a)≥23a⋅12a=23=63，当a＝b=22时等号成立．
此时BC与α平行．
令函数f（a）=a+12a，0＜a＜1，根据B，C关于D的对称性，不妨研究22≤a＜1的情形．
由于函数f′（a）＝1−12⋅1a2=a2−12a2
当22≤a＜1时，f′（a）＞0，
所以f（a）在（221）上单调递增，当a趋近于1时，f（a）趋近于1+12=32．，
sinα趋近于13⋅32=32
所以sinα的取值范围为[63，32)
故答案为：[63，32)
【点评】本题考查线面角的大小度量，考查空间想象、计算、推理论证能力．以及建立数学模型，解决数学模型的能力．
综合练习
1.已知空间向量OA→=(1，0，0)，OB→=(1，1，0)，OC→=(0，0，1)，向量OP→=xOA→+yOB→+zOC→，且4x+2y+z＝4，则|OP→|不可能是（ ）
A．12B．1C．32D．4
【分析】根据空间向量的坐标运算，写出OP→2，求出它的最小值即可．
【解答】解：OA→=(1，0，0)，OB→=(1，1，0)，OC→=(0，0，1)，
OP→=xOA→+yOB→+zOC→=（x+y，y，z），且4x+2y+z＝4，
∴OP→2=（x+y）2+y2+z2
＝（x+y）2+y2+（4﹣4x﹣2y）2
＝17x2+6y2+18xy﹣32x﹣16y+16
＝17(x−9y−1617)2+2117(y+821)2+1621≥1621；
∴|OP→|≥1621＞12，
∴|OP→|不可能是12．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与函数最值的应用问题，是中档题．
2．在四面体O﹣ABC中，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→．D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→=（ ）
A．12a+14b→+14c→B．12a→+13b→−12c→C．13a→+14b→+14c→D．13a→−14b→+14c→
【分析】直接表示OE→=OA→+12AD→，然后用OA→、OB→、OC→，表示AD→，化简即可．
【解答】解：OE→=OA→+12AD→=OA→+12×12（AB→+AC→）
=OA→+14×（OB→−OA→+OC→−OA→）PD→.CD→+BC→.AD→+CA→.BD→
=12OA→+14OB→+14OC→=12a+14b+14c．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的加减法，考查学生计算能力，是基础题．
3．如图，在四面体中，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
【分析】（Ⅰ）取中点，连结、，推导出，，从而平面，由此能证明．
（Ⅱ）由，，得是二面角的平面角，由此能求出二面角的大小．
【解答】解：（Ⅰ）证明：取中点，连结、，
在四面体中，，
，，
，平面，
平面，．
（Ⅱ）解：，，
是二面角的平面角，
在四面体中，，，．
是中点，
，
是等边三角形，，
二面角的大小为．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4．设向量u→=(a，b，0)，v→=(c，d，1)，其中a2+b2＝c2+d2＝1，则下列判断错误的是（ ）
A．向量v→与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关）
B．u→⋅v→的最大值为2
C．u→与v→的夹角的最大值为3π4
D．ad﹣bc的最大值为1．
【分析】在A中，取z轴的正方向向量t→=（0，0，t），求出n→与t→的夹角即可判断命题正确；在B中，计算u→⋅v→=ac+bd，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出u→与v→的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．
【解答】解：由向量u→=(a，b，0)，v→=(c，d，1)，其中a2+b2＝c2+d2＝1，知：
在A中，设z轴正方向的方向向量z→=（0，0，t），
向量v→与z轴正方向的夹角的余弦值：
csα=z⋅v→|z|⋅|v→|=tt⋅c2+d2+1=22，∴α＝45°，
∴向量v→与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；
在B中，u→⋅v→=ac+bd≤a2+c22+b2+d22=a2+b2+c2+d22=1，
且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u→⋅v→的最大值为1，故B错误；
在C中，由B可得：|u→⋅v→|≤1，∴﹣1≤u→⋅v→≤1，
∴cs＜u→⋅v→＞=u→⋅v→|u→|⋅|v→|=ac+bda2+b2⋅c2+d2+1≥−11×2=−22，
∴u→与v→的夹角的最大值为3π4，故C正确；
在D中，ad﹣bc≤a2+d22+b2+c22=a2+b2+c2+d22=1，
∴ad﹣bc的最大值为1．故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．
5．已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量d→可以是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．
【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），
故选：D．
【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量．
6．如图，在三棱锥中，，底面．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值．
【分析】（1）证明，，推出平面，然后证明平面平面．
（2）过点作，连结，说明是直线与平面所成的角，通过求解三角形得出结果即可．
【解答】解：（1）证明：在三棱锥中，
底面，．
又，即，，
平面，
平面平面平面．
（2）在平面内，过点作，连结，
平面平面，
平面，
是直线与平面所成的角．
在中，，，
为的中点，且，
又是的中点，在中，
平面，平面，，
在直角三角形中，．
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
7．在四棱锥M﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BMC为边长为2的等边三角形，且AM＝CD，E，F分别为AB，BM的中点，线段EF与直线AB，CF都垂直．
（1）证明：平面ABM⊥平面BMC；
（2）记MD的中点为Q，试求直线AQ与平面ABCD所成角的正弦值．
【分析】（1）推导出CF⊥BM，CF⊥EF，CF⊥平面ABM，由此能证明平面ABM⊥平面BMC．
（2）连结AF，以F为坐标原点，FM为x轴，FC为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AQ与平面ABCD所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：△BMC为正三角形，F为BM的中点，则CF⊥BM，
又CF⊥EF，且EF∩BM＝F，∴CF⊥平面ABM，
∵CF⊂平面BMC，∴平面ABM⊥平面BMC．
（2）解：连结AF，在△ABM中，由AB⊥EF，知AB⊥AM，
∵AM＝CD＝AB，∴△ABM为等腰三角形，∴AF⊥BM，
∵AM∩BM＝M，∴AF⊥平面BCM，∴AF⊥CF，
以F为坐标原点，FM为x轴，FC为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，1），B（﹣1，0，0），C（0，3，0），D（1，3，1），M（1，0，0），Q（1，32，12），
∴AB→=（﹣1，0，﹣1），BC→=（1，3，0），AQ→=（1，32，−12），
设平面ABCD的法向量n→=（x，y，z），
则n→⋅AB→=−x−z=0n→⋅BC→=x+3y=0，取y＝1，得n→=（−3，1，3），
设直线AQ与平面ABCD所成角为θ，
则sinθ=|AQ→⋅n→||AQ→|⋅|n→|=32×7=4214．
∴直线AQ与平面ABCD所成角的正弦值为4214．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．