专题21 圆锥曲线的定义性质与结论-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全
展开椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
2.椭圆的标准方程:
①x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点是F1(−c,0),F2(c,0),且c2=a2−b2.
②y2a2+x2b2=1(a>b>0),焦点是F1(0,−c),F2(0,c),且c2=a2−b2.
3.椭圆的几何性质(用标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)研究):
1)范围:−a≤x≤a,−b≤y≤b;
2)对称性:以x轴、y轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心;
3)椭圆的顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,如图中的A1,A2,B1,B2;
4)长轴与短轴:焦点所在的对称轴上,两个顶点间的线段称为椭圆的长轴,如图中线段的A1A2;另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴,如图中的线段B1B2.
5)椭圆的离心率:e=ca,焦距与长轴长之比,0
1.双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点的距离叫做双曲线的焦距.依定义,设P是双曲线上一点,则有PF1−PF2=2a且2a<2c
2.双曲线的标准方程:
①x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),焦点坐标为(−c,0),(c,0),c2=a2+b2;
②y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),焦点坐标为F1(0,−c),F2(0,c),c2=a2+b2;
3.双曲线的几何性质
1)范围:x≥a或x≤−a;如图.
2)对称性:以x轴、y轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,这个对称中心又叫做双曲线的中心.
3)顶点:双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点.
4)实轴与虚轴:两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴.如图中,A1,A2为顶点,线段A1A2为双曲线的实轴.在y轴上作点B1(0,−b),B2(0,b),线段B1B2叫做双曲线的虚轴.
5)渐近线:直线y=±bax;
6)离心率:e=ca叫做双曲线的离心率,e>1.双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔.
(三)抛物线及其标准方程
1.基本定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程:y2=2px(p>0),焦点在x轴正半轴上,坐标是(p2,0),准线方程是x=−p2,其中p是焦点到准线的距离.
3.抛物线的几何性质(根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)研究性质):
1)范围:抛物线在y轴的右侧,开口向右,向右上方和右下方无限延伸.
2)对称性:以x轴为对称轴的轴对称图形,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3)顶点:抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.此处为原点.
4)离心率:抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率,用e表示,e=1.
4.抛物线方程的四种形式如下
典例精讲
1.已知方程x2m2+y2m+2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A.m>2或m<﹣1B.m>﹣2
C.﹣1<m<2D.m>2或﹣2<m<﹣1
2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.(13,23)B.(12,1)
C.(23,1)D.(13,12)∪(12,1)
3.AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是( )
A.2B.12C.32D.52
4.抛物线的准线为x=﹣4,则抛物线的方程为( )
A.x2=16yB.x2=8yC.y2=16xD.y2=8x
5.若椭圆的右焦点为,且与直线交于,两点,则的周长为
A.B.C.6D.8
6.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,若,则
A.2B.4C.6D.8
7.已知抛物线y2=24ax(a>0)上的点M(3,y0)到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )
A.y2=8xB.y2=12xC.y2=16xD.y2=20x
8.与椭圆x249+y224=1有公共焦点,且离心率e=54的双曲线的方程为( )
A.x29−y216=1B.x216−y29=1
C.y29−x216=1D.y216−x29=1
9.已知双曲线的离心率为2,则双曲线的渐近线经过点
A.B.C.D.
考点二 圆锥曲线的性质与结论
直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系
位置关系:相交、相切、相离.
判定条件:设直线l:Ax+By+C=0,椭圆方程C:f(x,y)=0,由&Ax+By+C=0&f(x,y)=0
消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0.Δ=b2−4ac,
Δ>0⇔相交,直线与椭圆有两个交点;
Δ<0⇔相离,直线与椭圆无交点;
Δ=0⇔相切,直线与椭圆有一个交点.
2.直线与双曲线的位置关系
位置关系:相交、相切、相离;
对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切;
判定条件:设直线l:Ax+By+C=0,双曲线C:f(x,y)=0,由&Ax+By+C=0&f(x,y)=0
消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0.
若a≠0,Δ=b2−4ac,
Δ>0⇔相交,直线与双曲线有两个交点;
Δ<0⇔相离,直线与双曲线无交点;
Δ=0⇔相切.直线与双曲线有一个交点.
若a=0,得到一个一次方程,与双曲线相交,有一个交点,l与双曲线的渐近线平行.
3.直线与抛物线的位置关系
位置关系:相交、相切、相离.
对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;
判定条件:设直线l:Ax+By+C=0,抛物线C:f(x,y)=0,由&Ax+By+C=0&f(x,y)=0
消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0.
若a≠0,Δ=b2−4ac,
Δ>0⇔相交;
Δ<0⇔相离;
Δ=0⇔相切.
若a=0,得到一个一次方程,与抛物线相交,有一个交点,l与抛物线的对称轴平行.
4.圆锥曲线的弦:连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.
求弦长方法:
1)将直线方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求;
2)如果直线的斜率为k,被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则弦长公式为|AB|=1+k2x1−x2=1+1k2y1−y2.
两根差公式:如果x1,x2满足一元二次方程:ax2+bx+c=0,
则x1−x2=(x1+x2)2−4x1x2=−ba2−4⋅ca=b2−4aca=Δa(Δ>0).
注意:
(1)讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组,消元(x或y),若消去y得到ax2+bx+c=0,讨论根的个数得到相应的位置关系,这里要注意的是:
①二次项系数a可能有a=0或a≠0两种情况,只有当a≠0,才能用Δ判断根的个数;
②直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点,但有一个公共点不一定相切.
(2)在讨论直线与双曲线的交点时,要注意数形结合的方法,结合图象作出判断有时更方便快捷,要注意双曲线的渐近线的斜率,以及直线与渐近线的斜率比较.
(3)当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理”设而不求计算弦长;涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.
(二)圆锥曲线的常用结论
1.椭圆
1)点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2)PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3)以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
4)若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1上,则过P0的椭圆的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.
5)若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外 ,则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.
6)椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ,则椭圆的焦点角形的面积为SΔF1PF2=b2tanγ2.
7)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式:
|MF1|=a+ex0,|MF2|=a−ex0 (F1(−c,0) ,F2(c,0),M(x0,y0)).
8)AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOM⋅kAB=−b2a2,即KAB=−b2x0a2y0。
9)若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内,则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.
10)若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内,则过P0的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.
2.双曲线
1)点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2)PT平分△PF1F在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3)以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)
4)若P0(x0,y0)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上,则过P0的双曲线的切线方程是x0xa2−y0yb2=1.
5)若P0(x0,y0)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)外 ,则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2−y0yb2=1.
6)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ,则双曲线的焦点角形的面积为SΔF1PF2=b2tanγ2.
7)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦半径公式:(F1(−c,0) , F2(c,0))
当M(x0,y0)在右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0−a.
当M(x0,y0)在左支上时,|MF1|=−ex0−a,|MF2|=−ex0+a
8)AB是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则KOM⋅KAB=b2x0a2y0,即KAB=b2x0a2y0。
9)若P0(x0,y0)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)内,则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2.
10)若P0(x0,y0)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)内,则过P0的弦中点的轨迹方程是x2a2−y2b2=x0xa2−y0yb2.
3.抛物线
1)基本性质
标准方程:y2=2px(p>0)
焦点:p2,0
通径:AB=2p
准线:x=−p2;
焦半径:CF=x1+p2,
过焦点弦长:CD=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,x1x2=p24,y1y2=−p2
2)抛物线切线性质
性质1:过抛物线一弦AB的中点平行于对称轴的直线与抛物线交于点P,若过P的切线为PT,则PT//AB
性质2:过抛物线上一点P的切线交其对称轴于点T,则PF=TF
性质3:过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点在准线上
性质4:过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直
性质5:过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点
性质6:切线交点与弦中点连线平行于对称轴
性质7:过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线,则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切线平分
性质8:过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径
性质9:从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线,则其垂足必在抛物线顶点的切线上
性质10:过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直,则此直线与准线的交点和切线的连线必平行于此抛物线的对称轴
性质11:抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上
3)抛物线焦点弦性质
已知:AB过焦点,Q为AB的中点,A(x1,y1),B(x2,y2)
性质1:AQ'⊥BQ'⇔以AB为直径的圆与准线相切于Q'
性质2:A'F⊥B'F
性质3:Q'F⊥AB
性质4:Q'B垂直平分B'F,Q'A垂直平分A'F⇔AQ'平分∠A'AF,BQ'平分∠B'BF
性质5:Q'F2=AFBF
性质6:x1x2=p24,y1y2=−p2 性质7:S△Q'AB2min
性质8:以AF,BF为直径的圆分别与y轴相切
性质9:AB'过原点O,A'B过原点O
性质10:过A点作AO并延长交准线于B',则BB'平行于x轴
性质11:AF=p1−csα BF=p1+csα;(∠AFx=α) 1AF+1BF=2p;
AB=x1+x2+p=2psin2α S△ABC=p22sinα
性质12:A'B'2=4AFBF
典例精讲
1.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且交抛物线于A,B两点,交其准线于C点,已知|AF|=4,CB→=3BF→,则p=( )
A.2B.43C.83D.4
2.已知椭圆:x24+y2b2=1(0<b<2),左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2→|+|AF2→|的最大值为5,则b的值是( )
A.1B.2C.32D.3
3.已知双曲线C1:x24−y2k=1与双曲线C2:x2k−y29=1有相同的离心率,则双曲线C1的渐近线方程为( )
A.y=±32xB.y=±62xC.y=±34xD.y=±64x
4.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若△FAB的面积等于83,则双曲线的离心率为( )
A.3B.13C.2D.22
5.已知抛物线y2=8x的焦点和双曲线x2m−y2=1的右焦点重合,则m的值为( )
A.3B.3C.5D.5
6.已知F1,F2是双曲线x2﹣y2=1的焦点,以F1F2为直径的圆与一条渐近线交于P,Q两点,则△F1PQ的面积为( )
A.22B.1C.2D.2
7.椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2:x2a2−y2b2=1的离心率之积为1,则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为( )
A.π6,−π6B.π3,−π3C.π6,5π6D.π3,2π3
8.已知点F为抛物线y2=8x的焦点,则点F坐标为 ;若双曲线x2a2−y22=1(a>0)的一个焦点与点F重合,则该双曲线的渐近线方程是 .
9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A是抛物线y2=4x与双曲线x24−y2b2=1(b>0)一个交点,若抛物线的焦点为F,且FA=5,则双曲线的渐近线方程为 .
综合练习
1.若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足( )
A.a2>b2B.1a<1bC.0<a<bD.0<b<a
2.△ABC的周长是8,B(﹣1,0),C(1,0),则顶点A的轨迹方程是( )
A.x29+y28=1(x≠±3)B.x29+y28=1(x≠0)
C.x24+y23=1(y≠0)D.x23+y24=1(y≠0)
3.已知,是椭圆的左、右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为
A.B.C.D.
4.若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0 的距离小1,则P点的轨迹方程是( )
A.y2=﹣16xB.y2=﹣32xC.y2=16xD.y2=32x
5.对抛物线x2=4y,下列描述正确的是( )
A.开口向上,焦点为(0,1) B.开口向上,焦点为(0,116)
C.开口向右,焦点为(1,0) D.开口向右,焦点为(116,0)
6.直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率k1,k2满足k1k2=23,则直线l过定点( )
A.(﹣3,0)B.(3,0)C.(﹣1,3)D.(﹣2,0)
7.椭圆x24+y29=1的半焦距是 ,离心率是 .
8. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点,线段的延长线交抛物线的准线于点.若,,则
A.4B.5C.6D.7
9.抛物线y2=4x上的点(m,2)到其焦点的距离是 .
10.已知,分别是双曲线的左、右焦点,抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,点是两曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为 A. B.C. D.2
标准方程
图形
对称轴
焦点坐标
准线方程
y2=2px
(p>0)
x轴
(p2,0)
x=−p2
y2=−2px
(p>0)
(−p2,0)
x=p2
x2=2py
(p>0)
y轴
(0,p2)
y=−p2
x2=−2py
(p>0)
(0,−p2)
y=p2
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专题23 圆锥曲线定点定值问题-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全: 这是一份专题23 圆锥曲线定点定值问题-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全,文件包含专题23圆锥曲线定点定值问题原卷版docx、专题23圆锥曲线定点定值问题解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共22页, 欢迎下载使用。