专题09 导数的零点-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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零点问题
1. 零点的概念：
对于函数y=f(x)​​​(​x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x) (x∈D)的零点．
2. 函数y=f(x)有零点⇔f(x)=0有根⇔函数y=f(x)与轴有交点．
3. f(x)=k有几个根⇔函数y=f(x)与y=k图象有几个交点⇔函数g(x)=f(x)−k图象与x轴有几个交点．
4. 方程f(x)=g(x)有几个根⇔函数y=f(x)与函数y=g(x)图象有几个交点
⇔函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的图象与x轴有几个交点．
5. 三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a>0)的零点个数
y'=3ax2+2bx+c Δ=4b2−12ac
(1)当Δ ⩽ 0时，y' ⩾ 0且不恒为0，y=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上单调增
此时，y=ax3+bx2+cx+d(a>0)有且仅有1个零点．
(2)当Δ > 0时，f(x)有极大值和极小值；
①当f极大(x)<0或f极小(x)>0时，y=f(x)有且仅有1个零点；
②当f极大(x)=0或f极小(x)=0时，y=f(x)有2个零点；
③当f极小(x)​​​<0零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．
6.导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”（即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达），基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离函数（参数），技巧上反客为主.
典例精讲
【典例1】已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若函数有3个零点，求的取值范围．
【典例2】已知函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若曲线与直线只有一个公共点，求实数的取值范围．
【典例3】已知存在唯一零点，则实数的取值范围
A．B．C．D．
【典例4】已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若在内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【典例5】已知函数在无零点，则实数的取值范围为
A．B．，C．，D．，，
【典例6】已知；
（1）当时，求的单调区间；
（2）求证：当时，方程在上无解．
【典例7】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
【典例8】已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围
【典例9】若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 ．
【典例10】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）判断函数能否有3个零点？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由．
【典例11】已知函数，．为自然对数的底数．
（Ⅰ）求的值域；
（Ⅱ）设，若在区间内有零点，求实数的取值范围．
【典例12】已知函数，．
（1）证明：，都有；
（2）令，讨论的零点个数
【典例13】已知函数．
（Ⅰ）求的单调增区间和极值；
（Ⅱ）若函数有两个零点，，求实数的取值范围，并证明．
综合练习
1. 已知函数有两个零点，，且在区间上有且仅有一个正整数，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
2. 已知函数（其中，为参数）．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，，且函数有且只有2个零点，求实数的取值范围．
3．已知函数有两个零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．