专题11 三角函数的图像性质及变换-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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考点1：三角函数的图像性质
一、三角函数的图像和性质
1.正弦函数图像和性质
(1)图像：
(2)定义域：R
(3)值域：[−1，1]
(4)单调性：x∈[−π2+2kπ， π2+2kπ]（k∈Z）增函数
x∈[π2+2kπ，3π2+2kπ]（k∈Z）减函数
(5)奇偶性：奇函数
(6)最小正周期：2π
(7)对称性：对称轴x=π2+kπ， k∈Z；对称中心kπ，0，k∈Z．
2.余弦函数图像和性质
(1)图像
(2)定义域：R
(3)值域：[−1，1]
(4)单调性：x∈[−π+2kπ，2kπ]（k∈Z）增函数
x∈[2kπ，π+2kπ]（k∈Z）减函数
(5)奇偶性：偶函数
(6)最小正周期：2π
(7)对称性：对称轴x=kπ， k∈Z；对称中心π2+kπ，0，k∈Z．
3.正切函数图像和性质
(1)定义域：{x|x≠π2+kπ，k∈Z}
(2)值域：R
(3)单调性：在(−π2+kπ，π2+kπ)（k∈Z）增函数．
(4)奇偶性：奇函数
(5)最小正周期：π
(6)对称性：对称中心kπ2，0，k∈Z．
典例精讲
【典例1】若函数f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（π6），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（ ）
A．[0，π6]与[π2，2π3]B．[π3，2π3]
C．[0，π6]与[2π3，π]D．[0，π6]与[π3，2π3]
【分析】根据题意得出f（π6）＝1，求出φ的值写出f（x）的解析式；
再求f（x）的单调增区间，即可得出f（x）在x∈[0，π]上的单调增区间．
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（π6），
∴f（π6）＝sin（2×π6+φ）＝1，
解得φ=π6+2kπ，k∈Z；
∴f（x）＝sin（2x+π6）；
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
当x∈[0，π]时，有[0，π6]，[2π3，π]满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题．
【典例2】已知定义在上的函数（ω＞0）的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】先由x∈，求出的取值范围，然后分类讨论：①当即0＜ω＜4时，构造新函数，，然后结合正弦函数和一次函数的图象，找两个图象的交点个数即可；②当即ω≥4时，只能是ω＝5．
【解答】解：∵x∈，∴，
①当即0＜ω＜4时，
令，，如图，易知函数g（ω）和h（ω）有两个交点A，B，
而当0＜ω＜4时，只有唯一的交点A，也就是只有唯一解．
②当即ω≥4时，，∴ω＝5，只有一个值．
综上所述，正实数ω的取值个数最多为2个．
故选：C．
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题，还涉及构造新函数和分类讨论的思想，考查学生转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
【典例3】关于函数f（x）＝x﹣sinx，下列说法错误的是（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增
C．x＝0是f（x）的唯一零点
D．f（x）是周期函数
【分析】由题意利用根据正弦函数的性质，得出结论．
【解答】解：关于函数f（x）＝x﹣sinx，显然它是奇函数，故A正确；
由于f′（x）＝1﹣csx≥0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故B正确；
根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，f（0）＝0，可得x＝0是f（x）的唯一零点，故C正确；
根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故它一定不是周期函数，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
【典例4】如图，已知函数f（x）=3cs（ωx+φ）（ω＞0，−π2＜φ＜0）的部分图象与x轴的一个交点为A（−π6，0），与y轴交点为B（0，32），那么f（π2）＝（ ）
A．32B．12C．−12D．−32
【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质求得f（x）的解析式，可得f（π2）的值．
【解答】解：由题意可得ω×（−π6）+φ＝kπ+π2，3csφ=32，结合ω＞0，−π2＜φ＜0，
可得φ=−π6，∴−ωπ6=kπ+π2+π6，即ω＝﹣6k﹣4，∴ω＝2，f（x）=3cs（2x−π6），
∴f（π2）=3cs5π6=−32，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
【典例5】已知函数f（x）＝cs（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π）．若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6），则（ ）
A．f（2021）﹣f（2018）＜0B．f（2021）﹣f（2018）＝0
C．f（2021）+f（2018）＞0D．f（2021）+f（2018）＝0
【分析】根据余弦函数的图象和性质，判断函数的最值进行求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝cs（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π），
若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6），
则f（1）为最小值，f（6）为最大值，
∴ω+φ＝2k1π+π，6ω+φ＝2k2π+2π，k∈Z．
∴5ω＝2（k2﹣k1）π+π，
即ω=25（k2﹣k1）π+π5，
∵0＜ω＜1，
∴当k2﹣k1＝0时，ω=π5，
此时φ=4π5，f（x）＝cs（π5x+4π5），它的周期为10．
且f（1）＝﹣1，f（6）＝1，
则f（2021）＝f（2020+1）＝f（1）＝﹣1，
f（2018）＝f（2020﹣2）＝f（﹣2）∈（0，1），
则f（2021）﹣f（2018）＜0，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．
【典例6】设函数f（x）＝cs（2x−π3），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为π
B．f（x+π2）的一个零点为x=−π3
C．y＝f（x）的图象关于直线x=2π3对称
D．f（x）在[π3，π2]上单调递减
【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）＝cs（2x−π3），它的周期为2π2=π，故A正确；
当x=2π3时，f（x）＝﹣1，为最小值，故y＝f（x）的图象关于直线x=2π3对称，故C正确；
在在[π3，π2]上，2x−π3∈[π3，2π3]，故f（x）在[π3，π2]上单调递减，故D正确；
∵f（x+π2）＝cs（2x+2π3），当x=−π3时，f（x+π2）＝cs（2x+2π3）＝1≠0，故B错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
【典例7】已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在（0，π）上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A．[1，）B．（，）C．（，]D．[1，]
【分析】只要保证y＝sin（）在y轴右侧的最近三条对称轴，左边两条对称轴落在（0，π）内，第三条在（0，π）外即可，由此构造不等式组．
【解答】解：令ωx+＝，解得，分别为y＝f（x）的y轴右侧由左往右最近的三条对称轴．
要满足图象在（0，π）上有且仅有两条对称轴，只需，解得．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，注意结合正余弦函数的图象与性质解决yAsin（ωx+φ）的性质的基本路子，属于中档题．
【典例8】若函数f（x）＝3sin（x+π2）与g（x）＝8tanx的图象在区间（0，π2）上交点的横坐标为x0，则cs2x0的值为 79
【分析】由题意可得，∴8tanx0＝3sin（x0+π2）＝3csx0，再利用同角三角函数的基本关系，解方程求得sinx0 的值，再利用二倍角公式求得cs2x0的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝3sin（x+π2）与g（x）＝8tanx的图象在区间（0，π2）上交点的横坐标为x0，∴8tanx0＝3sin（x0+π2）＝3csx0，
即8sinx0＝3cs2x0＝3﹣3sin2x0，求得sinx0＝﹣3 （不合题意，舍去），或sinx0=13，∴cs2x0的＝1﹣2sin2x0=79，
故答案为：79．
【点评】本题主要考查正弦函数、正切函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用．
【典例9】已知函数f（x）＝asinx+csx的一条对称轴为x＝，则函数g（x）＝sinx﹣acsx的一条对称轴可以为（ ）
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝
【分析】利用辅助角公式分别将f（x）和g（x）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝（sinx+csx），
令csθ＝，sinθ＝，
则f（x）＝（sinxcsθ+csxsinθ）＝sin（x+θ），
∵f（x）的一条对称轴为x＝，
∴+θ＝kπ+，即θ＝kπ+，k∈Z，
g（x）＝sinx﹣acsx＝（sinx﹣csx）＝（sinxsinθ﹣csxcsθ＝﹣cs（x+θ），
由x+θ＝mπ，m∈Z，
得x＝mπ﹣θ＝mπ﹣kπ+＝（m﹣k）π﹣，m，k∈Z，
当m﹣k＝1时，对称轴为x＝π﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．
考点2：三角函数的图像变换
三角函数的几种变换：
1. 平移变换：函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像可以看做将函数y=sinx的图像上的所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ0且ω≠1）的图像可以看做是把y=sin(x+φ)的图像上所有的点的横坐标缩短为（当ω>1时）或伸长（当01时）或缩短（当A