专题03 函数的图像和零点-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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函数的图像变换
1. 平移变换
(1)水平平移：函数f(x+a)的图像可以把函数f(x)的图像沿轴方向向左（a>0）或向右（a<0）平移|a|个单位．
(2)竖直平移：函数f(x)+a的图像可以把函数f(x)的图像沿x轴方向向上（a>0）或向下（a<0）右平移|a|个单位．
2. 对称变换
(1)函数f(−x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于y轴对称得到；
(2)函数−f(x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于x轴对称得到；
(3)函数−f(−x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于原点对称得到；
(4)函数y=f(2m−x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于x=m对称得到；
(5)函数y=2n−f(x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于y=n对称得到；
(6)函数y=2n−f(2m−x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于点(m ， n)对称得到．
3. 翻折变换
(1)函数y=|f(x)|的图像可以将函数y=f(x)的图像的x轴的下半轴沿x轴翻折到x轴上方，去掉x轴下方部分，并保留y=f(x)的x轴上半部分即可得到．
(2)函数y=f(|x|)的图像可以将函数y=f(x)的图像沿y轴向右翻折到y轴的左边代替原y轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分即可得到．
4. 伸缩变换
(1)函数y=af(x)（a>0）的图像可以将函数y=f(x)的图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长（a>1）或压缩（0(2)函数y=f(ax)（a>0）的图像可以将函数y=f(x)的图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长（a>1）或压缩（0典例精讲
【典例1】已知函数f（x）＝ex+2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞，1e)B．（﹣∞，e）C．(−1e，e)D．(−e，1e)
【典例2】x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，f（x）＝x﹣[x]，若f（x）的图象上恰好存在一个点与g（x）＝（x+1）2﹣a（﹣2≤x≤0）的图象上某点关于y轴对称，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．(−1，−14)
C．(0，1)∪(−1，−14)D．(0，1]∪(−1，−14]
【典例3】函数的图象为
A．B．
C．D．
【典例4】函数y＝|tanx|，y＝tanx，y＝tan（﹣x），y＝tan|x|在（−3π2，3π2）上的大致图象依次是图中的（ ）
A．①②③④B．②①③④C．①②④③D．②①④③
【典例5】函数y＝2|1﹣x|的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【典例6】已知函数f（x+1）的图象关于x＝﹣1对称，当x≥0时，f（x）＝3﹣x，f（2）﹣f（2x﹣1）＜0的解为 ．
【典例7】若函数y＝f（x）的图象经过点（2，3），则函数y＝f（﹣x）+1的图象必定经过的点的坐标是 ．
考点2：函数零点
函数的零点
1. 零点的定义
对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．
2. 函数零点的等价关系
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与轴交点的横坐标．即方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点．
3. 零点存在性判定定理：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)⋅f(b)<0，则函y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根．
4. 对函数零点存在的判断中，必须强调：
(1)f(x)在[a，b]上连续；
(2)；
(3)在(a，b)内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不是必要条件．
5. 二次函数零点的判定
6. 一元二次方程ax2+bx+c=0根的分布（下面对a>0进行讨论）
典例精讲
【典例1】若函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+a+1对于x∈[﹣1，1]时恒有f（x）≥0，则实数a的取值范围是 ．
【典例2】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2ax+a+2，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，f（﹣1）＝ ；
（Ⅱ）若f（x）的值域是R，则a的取值范围为 ．
【典例3】若不等式（a+2）x2﹣2（a+2）x+4≥0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【典例4】已知函数f（x）＝x2+ax+2（a＞0）在区间[0，2]上的最大值等于8，则函数y＝f（x）（x∈[﹣2，1]）的值域为 ．
【典例5】二次函数f（x）的二次项系数为正数，且对任意的x∈R都有f（x）＝f（4﹣x）成立，若f（1﹣2x2）＜f（1+2x﹣x2），则x的取值范围为 ．
【典例6】若函数f（x）＝x2﹣mx+2在区间[1，2]上有零点，则实数m的取值范围是 ．
【典例7】对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）＝mx0成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．
（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有关于参数1两个不动点，求a的取值范围；
（3）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．
综合练习
1．已知函数f（x）＝ex+2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞，1e)B．（﹣∞，e）C．(−1e，e)D．(−e，1e)
2．对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．﹣1是f（x）的零点
B．1是f（x）的极值点
C．3是f（x）的极值
D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上
3．设函数f（x）=1ax2+bx+3x+b的图象关于y轴对称，且其定义域为[a﹣1，2a]（a，b∈R），则函数f（x）在x∈[a﹣1，2a]上的值域为 ．
4．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当，时，，则（1）（2）的值为
A．B．C．0D．1
5．已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（5）
A．3B．C．7D．
6．已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，5]上为减函数，则实数a的取值范围为 ．
7．若函数f（x）＝x2﹣2x+3在区间[0，m]上的最小值是2，最大值是3，则实数m的取值范围是 ．
8．作出函数f（x）＝|x2﹣2x|的图象并直接写出函数的值域和单调区间．
9．已知函数f（x）＝x2﹣2|x|﹣1（﹣3≤x≤3）．
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）画出这个函数的图象；
（3）求函数f（x）的值域．
判别式△=b2−4ac
函数y=ax2+bx+c（）的图像
方程ax2+bx+c=0（）的根
两个不相等的实根
x1=x2=−b2a
没有实根
函数y=ax2+bx+c（）的零点
x1 ， x2
−b2a
没有零点
不等式ax2+bx+c>0（）的解集
∅
∅
不等式ax2+bx+c<0（）的解集
{x|xx2}
{x|x≠−b2a}
R
根的分布
x1kx1图像
充要条件
&f(k)>0&−b2a0
&f(k)>0&−b2a>k&△>0
f(k)<0
根的分布
x1 ， x2∈(k1 ， k2)
k1 在(k1 ， k2)内有且只有一根
图像
充要条件
&f(k1)>0&f(k2)>0&k1<−b2a0
&f(k1)>0&f(k2)<0&f(k3)>0&△>0
f(k1)f(k2)<0
或△=0且−b2a∈(k1 ， k2)