专题14 等差、等比数列-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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一、等差数列的基本概念和公式
1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2. 等差中项：如果三个数x，A ，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，即A=x+y2．
3.通项公式：an=a1+(n−1)d=am+(n−m)d,(n∈N∗,m∈N∗,m≤n)⇒d=an−amn−m(n,m∈N∗,n≠m)
4. 前项和公式：Sn=n(a1+an)2=na1+n(n−1)2d，(n∈N∗)；
二、等差数列的性质：
1. am=an+(m−n)d，d=am−anm−n,(n∈N∗，m∈N∗);
2. 若p+q=m+n，则有ap+aq=am+an；若2m=p+q，则有2am=ap+aq（p，q，m，n∈N∗）；
3. an为等差数列，Sn为前n项和，则S2n−1=(2n−1)an；bn为等差数列，Sn'为前n项和，S2n−1'=(2n−1)bn；有anbn=S2n−1S2n−1'．
4. 若an，bn均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列pan，an+q，an±bn也为等差数列，且公差分别为pd1，d1，d1±d2．
5. 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an​​，​​​​an+m​​，​​​​an+2m，．．．．，为等差数列，公差为md．
6. 等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即Sn​​，​​​​S2n−Sn​​​，​​​​S3n−S2n，⋯⋯为等差数列，公差为n2d，(n∈N∗)；
三、等差数列的单调性以及前n项和的最值探讨
1. 在等差数列{an}中，若公差d>0，则等差数列{an}为递增数列；若公差d<0，则等差数列{an}为递减数列；若公差d=0，则等差数列{an}为常数列；
补充：更一般性的情况，研究任一数列的增减性可以利用逐项作差法，即构造fn=an+1−an，然后研究自变量变化时函数值fn的符号．
2. 有关等差数列{an}的前n项和为Sn的最值问题：
若a1>0，d<0，则前n项和为Sn存在最大值
若a1<0，d>0，则前n项和为Sn存在最小值
3. 如何求最值：
方法一：（任何数列都通用）通过&an≥0&an+1≤0解出n可求前n项和为Sn的最大值；通过&an≤0&an+1≥0解出n可求前n项和为Sn的最小值；
方法二：利用等差数列前n项和Sn的表达式为关于n的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n项和Sn不存在最值），利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：
若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n就取靠近对称轴的那个正整数；
四、等差数列的判断方法
1. 定义法：an−an−1=d（常数）(n∈N+，n≥2)⇔an为等差数列；
2. 等差中项法：2an=an−1+an+1n∈N+，n≥2⇔an为等差数列；
3. 通项公式法：an=kn+b（k，b是常数）⇔数列{an}是等差数列；
4. 前项和法：数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn，(A，B是常数，A2+B2≠0) ⇔数列{an}是等差数列；
若数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C(A，B是常数，C≠0)，则数列{an}从第二项起是等差数列．
典例精讲
【典例1】已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2+a5＝a6+a3，则S7＝（ ）
A．2B．7C．14D．28
【典例2】已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a10＝（ ）
A．26B．30C．34D．38
【典例3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，a10•S21＜0，则Sn最大时，n的值为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【典例4】．已知等差数列满足，则的最大值为
A．B．20C．25D．100
【典例5】．已知等差数列满足，，．其前项和为，则使成立时最大值为
A．2020B．2019C．4040D．4038
【典例6】．等差数列中，，，是数列的前项和，则
A．B．C．D．
【典例7】已知数列是等差数列，是等比数列，，，若，为正数，且，则
A．B．
C．D．，的大小关系不确定
【典例8】已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2+a6＝a8．若p﹣q＝10．则ap﹣aq＝
【典例9】设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4+a7＝60，a2+a5+a8＝51，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则正整数k的值为 ．
考点2：等比数列
一、等比数列的基本概念和基本公式
1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．等比数列中的项不为0．
2. 通项公式：an=a1qn−1=amqn−m(n∈N∗，n≥2) ；
3. 前n项和公式：Sn=&na1 (q=1)&a1(1−qn)1−q=a1−anq1−q(q≠1)．
二、等比数列的性质（其中公比为q）：
1. an=amqn−m，q=n−manam(n∈N∗，m∈N∗) ；
2. 若p+q=m+n，则有ap⋅aq=am⋅an；若2m=p+q，则有am2=ap⋅aq；
3. 等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+m，an+2m，⋯⋯为等比数列，公比为qm．
4. 若a，G，b成等比数列，则称G为a、b的等比中项，G2=ab，当且仅当两个数a和b同号
才存在等比中项．
5. 若数列{an}，{bn}都是等比数列且项数相同，则cn=ansbntst≠0仍为等比数列．
三、等比数列的判断方法
1.定义法：a1≠0，anan−1=q（常数）(n∈N∗，n≥2) ⇔an为等比数列．
2. 等比中项法：an2=an−1an+1，(n∈N∗，n≥2) ⇔an为等比数列．
3. 前n项和法：数列{an}的前n项和Sn=A−Aqn（A是常数，A≠0，q≠0，q≠1）⇔数列{an}为等比数列；
典例精讲
【典例1】已知数列{an}为等比数列，其中a5，a9为方程x2+2016x+9＝0的二根，则a7的值（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．9
【典例2】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是100−200(910)n万元，则n的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【典例3】各项为正数的等比数列{an}中，a2与a10的等比中项为33，则lg3a4+lg3a8＝ ．
【典例4】已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为 ．
【典例5】已知正项等比数列，向量，，，，若，则
A．12B．16C．18D．
【典例6】．在正项等比数列中，，数列的前9项之和为
A．11B．9C．15D．13
【典例7】.已知是等比数列的前项和，且，，成等差数列，，则 ．
【典例8】．已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则 ．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2019＝6057，则1a2+4a2018的最小值为（ ）
A．1B．23C．136D．32
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．6
3．在等差数列{an}中，Sn表示{an}的前n项和，若a3+a6＝3，则S8的值为（ ）
A．3B．8C．12D．24
4．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman＝16a12，则1m+9n的最小值为（ ）
A．32B．83C．114D．不存在
5．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝﹣24，a4=−89，则当Tn取最大值时，n的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
二．填空题（共1小题）
6．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则b2a1+a2的值为 ．
三．解答题（共2小题）
7．已知{an}为等差数列，且a1+a3＝8，a2+a4＝12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
8．已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn＝anlg12an，Sn＝b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．