专题27 推理与证明-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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合情推理与演绎推理
1.推理
概念：根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论．
2.合情推理
概念：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情理．
合情推理分类：
1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
3.演绎推理
概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
三段论包括：
1）大前提---已知的一般原理；
2）小前提---所研究的特殊情况；
3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
4.演绎法：
概念：如果一般的命题是已经证明了的，或者是未经证明而作为真理用的，那么以这个一般命题推出的每一个特殊命题也就是正确的．象这样由一般到特殊的推理方法，通常称为演绎推理或者演绎法
一般模式：
= 1 \* GB3 ①大前提——已知的一般原理；
= 2 \* GB3 ②小前提——所研究的特殊情况；
= 3 \* GB3 ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
典例精讲
1．观察下列一组数据
则从左到右第三个数是
A．380B．382C．384D．386
【分析】观察数列 中，各组和式的第一个数：2，4，8，14，找出其规律，从而得出从左到右第三个数为386．
【解答】解：观察数列 中，观察下列一组数据
各组和式的第一个数为：2，4，8，14，
即2，，，，，
其第项为：．
第20项为：．
从从左到右第三个数是386．
故选：．
【点评】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于中档题．
2．已知{an}为等差数列，a1010＝5，a1+a2+a3+…+a2019＝5×2019．若{bn}为等比数列，b1010＝5，则{bn}类似的结论是（ ）
A．b1+b2+b3+…+b2019＝5×2019
B．b1b2b3…b2019＝5×2019
C．b1+b2+b3+⋯+b2019=52019
D．b1b2b3⋯b2019=52019
【分析】根据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，由类比规律得出结论即可．
【解答】解：在等差数列{an}中，令S＝a1+a2+…+a2019，
则S＝a2019+a2018+…+a1
所以2S＝（a1+a2019）+（a2+a2018）+…+（a2019+a1）
＝2019（a1+a2019）
＝2019×2a1010
＝10×2019，
所以S＝a1+a2+a3+…+a2019＝5×2019．
故相应的在等比数列{bn}中，令T＝b1b2…bn＝b1b2…b2019．
则T＝b2019b2018…b1，
所以T2＝（b1b2019）（b2b2018）…（b2019b1）＝（b21010）2019，
所以T＝b1b2…bn＝b1b2…b2019＝（b1010）2019＝52019．
故选：D．
【点评】本题考查类比推理的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列与等比数列的通项公式的合理运用．
3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申，乙酉，丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2019年是“干支纪年法”中的（ ）
A．乙亥年B．戊戌年C．己亥年D．辛丑年
【分析】从2010到2019年经过10年，天干从庚到己，地支从寅到亥，故答案为己亥年．
【解答】解：天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，
若2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，
则2011年“干支纪年法”中的辛卯年，
则2012年“干支纪年法”中的壬辰年，
则2013年“干支纪年法”中的癸巳年，
则2014年“干支纪年法”中的甲午年，
则2015年“干支纪年法”中的乙未年，
则2016年“干支纪年法”中的丙申年，
则2017年“干支纪年法”中的丁酉年，
则2018年“干支纪年法”中的戊戌年，
则2019年“干支纪年法”中的己亥年，
故选：C．
【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．
4．2018年4月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：
爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（ ）
A．甲B．丁或戊C．乙D．丙
【分析】分别假设三个人的猜测是对的，另外两个的猜测是错的，分析可得．
【解答】解：假设爸爸的猜测是对的，则冠军是丙；
假设妈妈的猜测是对的，不合题意；
假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了简单的合情推理，属中档题．
5．杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律．设f（n）＝（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列．则称f（n）具有性质P．如f（7）＝（a+b）7的展开式中，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以f（7）具有性质P．若存在n≤25，使f（n）具有性质P，则n的最大值为（ ）
A．22B．23C．24D．25
【分析】假设存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使Cnk−1，Cnk，Cnk+1成等差数列，所以Cnk−1+Cnk+1=2Cnk，整理得：4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2＝0，即（2k﹣n）2＝n+2，根据n+2为完全平方数，且n≤25可得n的最大值为23．
【解答】解：若存在n≤25，使f（n）具有性质P，假设存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使Cnk−1，Cnk，Cnk+1成等差数列，
所以Cnk−1+Cnk+1=2Cnk，
利用组合数公式整理得：4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2＝0，即（2k﹣n）2＝n+2，
所以n+2为完全平方数，
又n≤25，25+2＝27不是完全平方数，24+2＝26也不是完全平方数，23+2＝25是完全平方数．
所以n的最大值为23．
故选：B．
【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．
6．如图所示的数阵中，第64行第2个数字是 12017 ．
【分析】观察这个数列每一行第二个数的倒数，观察发现连续两项的差成等差数列，然后利用叠加法求出第21行第2个数的倒数，从而求出所求．
【解答】解：不妨令a2＝2，a3＝4，a4＝7，
则由题意可得a3﹣a2＝2，a4﹣a3＝3，…a64﹣a63＝63，
将以上各式相加得a64﹣a2＝2+3+4+…+63，
解得：a64＝2017，
∴第64行的第2个数是12017，
故答案为：12017．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意观察，认真思考，注意寻找规律，属于中档题．
7．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作、、、，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有甲、乙、丙、丁四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：
甲说：或团队获得冠军；
乙说：团队获得冠军；
丙说：、两个团队均未获得冠军；
丁说：团队获得冠军．
若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是 ．
【分析】分别假设、、、为冠军，结合四人说法找到矛盾即可．
【解答】解：若获得冠军，则甲丁正确，乙丙也正确，与题意不符
若获得冠军，则甲正确，乙丙丁错误，与题意不符；
若获得冠军，则四人都错误，与题意不符；
若获得冠军，则乙丙正确，甲丁错误，符合题意，
综上，获得冠军的团队为，
故答案为：
【点评】本题考查学生合情推理的能力，属于中档题．
8．在直角坐标系xOy中，AB是圆O的弦，M是AB中点，若AB，OM都存在非零斜率kAB，kOM，则kAB•kOM＝﹣1．类比于圆，在直角坐标系xOy中，AB是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的弦，M是AB中点，若AB，OM都存在非零斜率kAB，kOM，则kAB•kOM＝ −b2a2 ．
【分析】对于圆O，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）圆的方程为x2+y2＝r2，则x12+y12=r2①x22+y22=r2②，且x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，则①﹣②得，(y1−y2)(y1+y2)(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)2y0(x1−x2)2x0=−1＝kAB•kOM，所以在椭圆中，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，又x12a2+y12b2=1①x22a2+y22b2=1②，所以(y1−y2)(y1+y2)(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)2y0(x1−x2)2x0=−b2a2．
【解答】解：依题意，对于圆O，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）
圆的方程为x2+y2＝r2，则x12+y12=r2①x22+y22=r2②，且x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，
则①﹣②得，(y1−y2)(y1+y2)(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)2y0(x1−x2)2x0=−1＝kAB•kOM，
所以在椭圆中，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，又x12a2+y12b2=1①x22a2+y22b2=1②，
所以(y1−y2)(y1+y2)(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)2y0(x1−x2)2x0=−b2a2=kAB•kOM．
故答案为：−b2a2．
【点评】本题考查了类比推理，考查了点差法求斜率的乘积．属于中档题．
9．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 乙 ．
【分析】先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的．然后再逐个去判断其他三个人的说法．最后看是否满足题意，不满足排除．
【解答】解：假设申请了北京大学自主招生考试的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四个人的说法都是错误的，不符合题意；
假设申请了北京大学自主招生考试的同学是乙，则甲、乙两人的说法错误，丙、丁两人的说法正确，符合题意；
假设申请了北京大学自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙三人的说法正确，丁的说法错误，不符合题意；
假设申请了北京大学自主招生考试的同学是丁，则甲的说法正确，乙、丙、丁的说法错误，不符合题意
故答案为：乙．
【点评】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．
考点二 证明
直接证明与间接证明
1.综合法
概念：综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．
2.分析法
概念：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法．
3.反证法
概念：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法．
证明的一般步骤：
1）假设命题的结论不成立；
2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 ；
3）断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立
(二)常见结论
结论：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：
多面体 多边形； 面 边； 体 积 面 积 ；
二面角 平面角； 面 积线段长；
典例精讲
1．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ）
A．①﹣分析法，②﹣反证法B．①﹣分析法，②﹣综合法
C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣综合法，②﹣分析法
【分析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．
【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：
∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，
由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，
故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：
①﹣综合法，②﹣分析法，
故选：D．
【点评】本题以结构图为载体，考查了证明方法的定义，正确理解综合法和分析法的定义，是解答的关键．
2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容应为 3a＜3b或3a=3b ．
【分析】用反证法证明数学命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，应假设它的否定
【解答】解：由于命题“3a＞3b”的否定为“3a＜3b或3a=3b”，故用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，
应假设3a＜3b或3a=3b，
故答案为：3a＜3b或3a=3b．
【点评】本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“3a＞3b”的否定为“3a＜3b或3a=3b”，是解题的关键．
3．用反证法证明命题：“若（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＞0，则a，b，c中至少有一个大于1”时，要做的假设是“假设a，b，c 都不大于1 ”．
【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．
【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．
而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于1”，或假设a，b，c全部小于等于1
故答案为：都不大于1．
【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．
4．计算：2−1≈0.414，3−2≈0.318；∴2−1＞3−2；又计算：5−2≈0.236，6−5≈0.213，7−6≈0.196，∴5−2＞6−5，6−5＞7−6．
（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题．
（2）判断该命题的真假，并给出证明．
【分析】（1）根据所给结论，可写出一个一般性的命题．
（2）利用综合法证明命题是真命题．
【解答】解：（1）一般性的命题n是正整数，则n+1−n＞n+2−n+1．
（2）命题是真命题．
∵n+1−n=1n+1+n，n+2−n+1=1n+2+n+1，1n+1+n＞1n+2+n+1，
∴n+1−n＞n+2−n+1．
【点评】本题考查归纳推理，考查综合法的运用．
5．已知数列{an}各项均为正数，且不是常数列．
（1）若数列{an}是等差数列，求证：a1+a3＜2a2；
（2）若数列{an}是等比数列，求证：1﹣an，1﹣an+1，1﹣an+2不可能成等比数列．
【分析】（1）利用分析法借助等差数列的性质即可证明，
（2）利用反证法借助等比数列的性质即可证明
【解答】证明：（1）要证a1+a3＜2a2，
只要证a1+a3+2a1a3＜4a2，
因为数列{an}是等差数列，
所以a1+a3＝2a2，
只要证a1a3＜a2，
只要证a1a3＜a22＝（a1+a32）2，
∵数列{an}各项均为正数，
∴a1a3＜a22＝（a1+a32）2成立，
∴a1+a3＜2a2；
（2）假设1﹣an，1﹣an+1，1﹣an+2可能成等比数列，
则（1﹣an+1）2＝（1﹣an）（1﹣an+2），
即1﹣2an+1+an+12＝1+anan+2﹣（an+an+2），
∵数列{an}是等比数列，
∴an+12＝1+anan+2，
∴2an+1＝an+an+2，
∴数列{an}是等差数列，
∴数列{an}是常数列，这与已知相矛盾，
故假设不成立，
∴1﹣an，1﹣an+1，1﹣an+2不可能成等比数列．
【点评】本题考查了分析法和反证法，考查推理论证能力，属于中档题．
6．（1）证明：1，3，5不可能成等差数列；
（2）证明：1，3，5不可能为同一等差数列中的三项．
【分析】（1）根据题意，用反证法证明：假设1，3，5成等差数列，由等差数列的性质可得1+5=23，分析易得矛盾，即可得结论；
（2）根据题意，用反证法证明：假设1，3，5为同一等差数列中的三项，由等差数列的通项公式可得3=1+md和5=1+nd，变形可得：（3−1）n＝（5−1）m，进而可得mn=3−15−1=3+15−5−14，由实数的运算性质分析可得矛盾，即可得结论．
【解答】证明：（1）假设1，3，5成等差数列，
则有1+5=23，
即5=3，
明显不成立，
故1，3，5不可能成等差数列；
（2）假设1，3，5为同一等差数列中的三项，
则有3=1+md，①
5=1+nd，②
变形可得：（3−1）n＝（5−1）m，
则有mn=3−15−1=3+15−5−14，
又由m、n为正整数，则mn为有理数，而3+15−5−14为无理数，
则mn=3−15−1明显不成立，
故1，3，5不可能为同一等差数列中的三项．
【点评】本题考查等差数列的定义以及判断，涉及反证法的应用，关键是掌握等差数列的定义．
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综合练习
一．选择题（共3小题）
1．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f（n）．由f（1）＝1，f（2）＝7，f（3）＝19，…，可推出f（10）＝（ ）
A．271B．72C．73D．74
【分析】根据图象的规律可得f（4）和f（5）的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式，即可求得f（10）的值．
【解答】解：由于：（1）f（4）＝37，f（5）＝61．
由于：f（2）﹣f（1）＝7﹣1＝6，
f（3）﹣f（2）＝19﹣7＝2×6，
f（4）﹣f（3）＝37﹣19＝3×6，
f（5）﹣f（4）＝61﹣37＝4×6，
因此：当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1），
所以：f（n）＝[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+…+[f（2）﹣f（1）]+f（1）＝6[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]+1＝3n2﹣3n+1．
又：f（1）＝1＝3×12﹣3×1+1，
所以：f（n）＝3n2﹣3n+1．
所以：f（10）＝3×102﹣3×10+1＝271．
故选：A．
【点评】本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和是数列的重要内容之一，出等差数列和等比数列外，大部分的数列求和都需要一定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和等．
2．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5−12（5−12≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5−12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm
【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．
【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，
说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5−12≈0.618，
可得咽喉至肚脐的长度小于260.618≈42cm，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5−12，
可得肚脐至足底的长度小于42+260.618=110，
即有该人的身高小于110+68＝178cm，
又肚脐至足底的长度大于105cm，
可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105＝170cm，
故选：B．
【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
3．一项针对都市熟男（三线以上城市30～50岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者、1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：
根据表格中数据判断，以下分析错误的是（ ）
A．都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品
B．从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前
C．80前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品
D．被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2：1
【分析】根据表中的数据逐项进行分析可得．
【解答】解：对于选项A，从表中的数据可得都是熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A正确；
对于选项B，从表中后两列的数据可以看出，前6项的比例均是80后得意愿高于80前的意愿，所以B正确；
对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中7类高价商品的比例为32.1%，约为3成，所以C正确；
对于选项D，根据表中数据不能得到被调查者的都是熟男中800后人数与80前人数的比例，所以D不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．
二．填空题（共4小题）
4．观察下列算式：
1＝13，
3+5＝23，
7+9+11＝33，
13+15+17+19＝43，
……
111+113+115++m＝n3，
则m+n＝ 142 ．
【分析】观察已知等式的规律，可猜想第n行左边第一个奇数为（n﹣1）n+1，后续奇数依次为：（n﹣1）n+3，（n﹣1）n+5，…，（n﹣1）n+（2n﹣1），由第n行第一个数为111，即：111＝（n﹣1）n+1，解得n＝11，可得：m＝（11﹣1）×11+（2×11﹣1）＝131，即可得解．
【解答】解：观察各个等式左侧，第n个奇数之和，分析各行的第一个奇数依次为1，3，7，13，21，…
进一步可写成0+1，2+1，6+1，12+1，20+1，…即0×1+1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…
故可猜想第n行左边第一个奇数为（n﹣1）n+1，进而后续奇数依次为：（n﹣1）n+3，（n﹣1）n+5，…，（n﹣1）n+（2n﹣1）．
由于第n行第一个数为111，即：111＝（n﹣1）n+1，解得n＝11，可得：m＝（11﹣1）×11+（2×11﹣1）＝131，
可得：m+n＝131+11＝142．
故答案为：142．
【点评】本题主要考查了归纳与推理，猜想第n行左边第一个奇数为（n﹣1）n+1，进而后续奇数依次为：（n﹣1）n+3，（n﹣1）n+5，…，（n﹣1）n+（2n﹣1）是解题的关键，属于中档题．
5．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 ，51，54，57， ．
【分析】甲最终的得分为54分，可得：甲答对了8道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲乙至少答对16道题，分情况讨论即可．
【解答】解：甲最终的得分为54分，
甲答对了20道题目中的19道，
甲和乙都解答了所有的试题，
甲必然有2道题目答错了，
甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，
他们至少有16道题目答案相同，
设剩下的4道题目正确答案为，甲的答案为，
则乙的答案可能为，，，，，
则乙的得分可能为，51，54，57，，
故答案为：，51，54，57，．
【点评】本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．
已知2017年为丁酉年，那么到改革开放100年时，即2078年为 戊戌 年．
【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．
【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
从2017年到2078年经过61年，且2017年为丁酉年，以2017年的天干和地支分别为首项，
则61÷10＝6余1，则2078的天干为戊，
61÷12＝5余1，则戊的地支为戌，
故答案为：戊戌
【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．
7．已知正三角形内切圆的半径r与它的高h的关系是：r=13h，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体高h的关系是 r=14ℎ ．
【分析】连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．
【解答】解：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×13S×r=13×S×h，
所以r=14ℎ（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）
故答案为：r=14ℎ．
【点评】本题考查类比推理，解题的关键是明确类比的方法，明确正三角形面积、正四面体体积的计算方法．
全体被调查者
80后被调查者
80前被调查者
电子产品
56.9%
66.0%
48.5%
服装
23.0%
24.9%
21.2%
手表
14.3%
19.4%
9.7%
运动、户外用品
10.4%
11.1%
9.7%
珠宝首饰
8.6%
10.8%
6.5%
箱包
8.1%
11.3%
5.1%
个护与化妆品
6.6%
6.0%
7.2%
以上皆无
25.3%
17.9%
32.1%