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高中苏教版 (2019)12.3 复数的几何意义一等奖ppt课件
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这是一份高中苏教版 (2019)12.3 复数的几何意义一等奖ppt课件，共57页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，复平面，z或a+bi，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
【思考】有些同学说,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗?提示:不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
2.复数的几何意义(1)对应关系:复数z=a+bi(a,b∈R) ___________________.复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量 .因此,复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量 之间的关系可用下图表示.
复平面内的点Z(a,b)
为方便起见,常把复数z=a+bi说成点Z或向量 ,并且规定相等的向量表示同一个复数.(2)本质:建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系.(3)应用:通过两种对应关系的建立,可以直观、有效地表示复数,便于理解复数的意义.
3.复数的模(1)定义:向量 的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模;(2)记法:复数z=a+bi的模记作____________;(3)公式:|z|=|a+bi|= (a,b∈R).
4.复数加、减法的几何意义(1)如图所示, 设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 ,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是 ,与z1-z2对应的向量是 ;
(2)实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算 (数形结合);(3)应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目.
【思考】|z1-z2|的几何意义是什么?提示:表示复数z1,z2对应的两点Z1与Z2间的距离.即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( )(2)复数的模一定是正实数.( )(3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.( )
提示:(1) √.根据实轴的定义,x轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2) ×.复数的模一定是实数但不一定是正实数,如:0也是复数,它的模为0不是正实数.(3) ×.如-1>-2,但|-1|<|-2|.
2.(2020·北京高考)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=( )A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i【解析】选B.z=1+2i,i·z=i(1+2i)=-2+i.
3.(教材二次开发:例题改编)在复平面内,复数z1=1+i与z2=1+3i分别对应向量 和 ,其中O为坐标原点,则| |等于( )A. B.2C. D.4【解析】选B. = - =(1,3)-(1,1)=(0,2),所以| |=2.
类型一 复数与复平面上点的对应关系(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.复数z=cs θ+isin θ(i为虚数单位)其中θ∈ ,则复数z在复平面上所对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
2.复数z1=1+ i和z2=1- i在复平面内的对应点关于( )A.实轴对称B.一、三象限的角平分线对称C.虚轴对称D.二、四象限的角平分线对称
3.已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).(1)在实轴上;(2)在第三象限.
【解析】1.选C.因为θ∈ ,所以cs θ<0且sin θ<0,所以该复数所对应的点位于复平面上的第三象限.2.选A.复数z1=1+ i在复平面内的对应点Z1为(1, ).复数z2=1- i在复平面内的对应点Z2为(1,- ).点Z1与Z2关于实轴对称.
3.复数z=(a2-1)+(2a-1)i的实部为a2-1,虚部为2a-1,在复平面内对应的点为(a2-1,2a-1).(1)若z对应的点在实轴上,则有2a-1=0,解得a= .(2)若z对应的点在第三象限,则有 解得-1
【补偿训练】 求当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件:(1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.
【解析】(1)由题意,知 解得 即-7
类型二 复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义(数学抽象、直观想象) 角度1 复数与向量的对应 【典例】(1)在复平面内,O为原点,向量 表示的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量 表示的复数为( ) A.-2-iB.1+2iC.-2+i D.-1+2i
(2)在复平面内,把复数3- i对应的向量按顺时针方向旋转 ,所得向量对应的复数是( )A.2 B.-2 iC. -3iD.3+ i
【思路导引】(1)根据向量 的坐标,求出点A的坐标,再根据点的对称性求点B的坐标,最后根据点B的坐标求出 的坐标.(2)根据复数求出复数对应向量的坐标,再根据角的旋转求终边向量对应的复数.
【解析】(1)选C.由题意得A(-1,2),则B(-2,1),所以向量 表示的复数为-2+i.(2)选B.复数对应的向量的坐标为(3,- ),按顺时针方向旋转 后得到新向量的坐标为(0,-2 ),所得向量对应的复数为-2 i.
【解题策略】复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
角度2 复数加减运算的几何意义 【典例】如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:(1) 所表示的复数, 所表示的复数;(2) 所表示的复数;(3) 所表示的复数及 的长度.
【思路导引】(1)根据点O,A,C的坐标,应用求向量坐标的方法求出 , , 的坐标,然后转化为复数.(2)根据复数与向量的关系,利用向量法求向量 的坐标.
【解析】(1) =- ,所以 所表示的复数为-3-2i.因为 = ,所以 所表示的复数为-3-2i.(2)因为 = - ,所以 所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3) = + ,它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,| |=注意书写的规范性:手写向量时必须加箭头,注意向量的相等与相反之间的关系.
【解题策略】用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
【题组训练】1.在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点为B,则向量 对应的复数为( )A.-2-iB.2+iC.1+2iD.-1+2i【解析】选D.由题意可知,点A的坐标为(-1,-2),则点B的坐标为(-1,2),故向量 对应的复数为-1+2i.
2.(2020·泰安高一检测)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若 =x +y (x,y∈R),则x+y=__________. 【解析】由条件可知 若 =x +y (x,y∈R),则(3,－2)=(－x+y,2x－y),所以 解得x=1,y=4,所以x+y=5.答案:5
类型三 复数的模(直观想象、数学运算) 角度1 复数模的计算 【典例】已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=______. 【思路导引】设z=a+bi(a,b∈R)代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a,b.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则|z|= ,代入方程得a+bi+ =2+8i,所以 解得 所以z=-15+8i.答案:-15+8i
【变式探究】设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)
【解析】选B.因为 所以 ,即a2+4<5,所以a2<1,即-1
【解析】选A.设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2, |Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.
【解题策略】复数几何意义的应用|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
【题组训练】1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,则|z|=( )A.0B.1C. D.2【解析】选C.因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|= .
2.(2020·泉州高一检测)若复数z满足z(-1+2i)= (i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为z= ,所以该复数在复平面内对应的点位于第三象限.
3.已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
【解析】方法一:因为z=3+ai(a∈R),所以|z|= ,由已知得32+a2<42,所以a2<7,所以a∈(- , ).
方法二:利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界), 由z=3+ai知z对应的点Z在直线x=3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知:-
【解析】由题意知,复数z对应点的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆,|z-i|表示圆上的动点与点(0,1)的距离,由数形结合易知,最大值为3.答案:3
【解题策略】(1)复数的模为实数,求复数模的步骤为:步骤一:将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式;步骤二:代入公式|z|= 求复数的模.(2)在复平面内,两点Z1,Z2间的距离 =|z1-z2|是复数几何意义的基础,模的几何意义常与不等式、最值、解析几何等知识相结合,综合考查数学问题,利用几何意义转化条件和结论往往可取得事半功倍的效果.
【跟踪训练】(2020·高台高二检测)若复数z满足|z|=2,则 的取值范围是________.
【解析】由于复数z满足|z|=2,故复数z对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上,设圆上任意一点的坐标为(2cs θ,2sin θ),θ∈[0,2π). 表示圆上的点到(3,0)和(-3,0)两点距离之和,即 ,①式平方得26+2 ,由于cs2θ∈[0.1],所以169-144cs2θ∈[25,169],所以 ∈[5.13],所以26+2 ∈[36,52],所以 答案:
1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|=( ) A.0B.1C. D.2【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.
2.(2020·成都高二检测)已知复数z= ,则|z|=( )A. B.1C. D.2【解析】选A.依题意z= ,所以
3.(教材二次开发:练习改编)在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-3i,则该平行四边形的对角线AC的长度为( )A. B.5C.2 D.10【解析】选B.依题意知, 对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5.
4.若复数z=x+yi(x,y∈R)满足y=2x,且|z|= ,则复数z=________. 【解析】依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由|z|= ,得 ,解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.答案:1+2i或-1-2i
5.已知z是复数,i是虚数单位,且z=-2+ai, ,则|z|=________,复数 在复平面内对应的点位于第________象限.
【思考】有些同学说,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗?提示:不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
2.复数的几何意义(1)对应关系:复数z=a+bi(a,b∈R) ___________________.复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量 .因此,复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量 之间的关系可用下图表示.
复平面内的点Z(a,b)
为方便起见,常把复数z=a+bi说成点Z或向量 ,并且规定相等的向量表示同一个复数.(2)本质:建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系.(3)应用:通过两种对应关系的建立,可以直观、有效地表示复数,便于理解复数的意义.
3.复数的模(1)定义:向量 的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模;(2)记法:复数z=a+bi的模记作____________;(3)公式:|z|=|a+bi|= (a,b∈R).
4.复数加、减法的几何意义(1)如图所示, 设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 ,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是 ,与z1-z2对应的向量是 ;
(2)实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算 (数形结合);(3)应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目.
【思考】|z1-z2|的几何意义是什么?提示:表示复数z1,z2对应的两点Z1与Z2间的距离.即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( )(2)复数的模一定是正实数.( )(3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.( )
提示:(1) √.根据实轴的定义,x轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2) ×.复数的模一定是实数但不一定是正实数,如:0也是复数,它的模为0不是正实数.(3) ×.如-1>-2,但|-1|<|-2|.
2.(2020·北京高考)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=( )A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i【解析】选B.z=1+2i,i·z=i(1+2i)=-2+i.
3.(教材二次开发:例题改编)在复平面内,复数z1=1+i与z2=1+3i分别对应向量 和 ,其中O为坐标原点,则| |等于( )A. B.2C. D.4【解析】选B. = - =(1,3)-(1,1)=(0,2),所以| |=2.
类型一 复数与复平面上点的对应关系(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.复数z=cs θ+isin θ(i为虚数单位)其中θ∈ ,则复数z在复平面上所对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
2.复数z1=1+ i和z2=1- i在复平面内的对应点关于( )A.实轴对称B.一、三象限的角平分线对称C.虚轴对称D.二、四象限的角平分线对称
3.已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).(1)在实轴上;(2)在第三象限.
【解析】1.选C.因为θ∈ ,所以cs θ<0且sin θ<0,所以该复数所对应的点位于复平面上的第三象限.2.选A.复数z1=1+ i在复平面内的对应点Z1为(1, ).复数z2=1- i在复平面内的对应点Z2为(1,- ).点Z1与Z2关于实轴对称.
3.复数z=(a2-1)+(2a-1)i的实部为a2-1,虚部为2a-1,在复平面内对应的点为(a2-1,2a-1).(1)若z对应的点在实轴上,则有2a-1=0,解得a= .(2)若z对应的点在第三象限,则有 解得-1
【补偿训练】 求当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件:(1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.
【解析】(1)由题意,知 解得 即-7
类型二 复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义(数学抽象、直观想象) 角度1 复数与向量的对应 【典例】(1)在复平面内,O为原点,向量 表示的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量 表示的复数为( ) A.-2-iB.1+2iC.-2+i D.-1+2i
(2)在复平面内,把复数3- i对应的向量按顺时针方向旋转 ,所得向量对应的复数是( )A.2 B.-2 iC. -3iD.3+ i
【思路导引】(1)根据向量 的坐标,求出点A的坐标,再根据点的对称性求点B的坐标,最后根据点B的坐标求出 的坐标.(2)根据复数求出复数对应向量的坐标,再根据角的旋转求终边向量对应的复数.
【解析】(1)选C.由题意得A(-1,2),则B(-2,1),所以向量 表示的复数为-2+i.(2)选B.复数对应的向量的坐标为(3,- ),按顺时针方向旋转 后得到新向量的坐标为(0,-2 ),所得向量对应的复数为-2 i.
【解题策略】复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
角度2 复数加减运算的几何意义 【典例】如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:(1) 所表示的复数, 所表示的复数;(2) 所表示的复数;(3) 所表示的复数及 的长度.
【思路导引】(1)根据点O,A,C的坐标,应用求向量坐标的方法求出 , , 的坐标,然后转化为复数.(2)根据复数与向量的关系,利用向量法求向量 的坐标.
【解析】(1) =- ,所以 所表示的复数为-3-2i.因为 = ,所以 所表示的复数为-3-2i.(2)因为 = - ,所以 所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3) = + ,它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,| |=注意书写的规范性:手写向量时必须加箭头,注意向量的相等与相反之间的关系.
【解题策略】用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
【题组训练】1.在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点为B,则向量 对应的复数为( )A.-2-iB.2+iC.1+2iD.-1+2i【解析】选D.由题意可知,点A的坐标为(-1,-2),则点B的坐标为(-1,2),故向量 对应的复数为-1+2i.
2.(2020·泰安高一检测)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若 =x +y (x,y∈R),则x+y=__________. 【解析】由条件可知 若 =x +y (x,y∈R),则(3,－2)=(－x+y,2x－y),所以 解得x=1,y=4,所以x+y=5.答案:5
类型三 复数的模(直观想象、数学运算) 角度1 复数模的计算 【典例】已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=______. 【思路导引】设z=a+bi(a,b∈R)代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a,b.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则|z|= ,代入方程得a+bi+ =2+8i,所以 解得 所以z=-15+8i.答案:-15+8i
【变式探究】设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)
【解析】选B.因为 所以 ,即a2+4<5,所以a2<1,即-1
【解析】选A.设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2, |Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.
【解题策略】复数几何意义的应用|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
【题组训练】1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,则|z|=( )A.0B.1C. D.2【解析】选C.因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|= .
2.(2020·泉州高一检测)若复数z满足z(-1+2i)= (i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为z= ,所以该复数在复平面内对应的点位于第三象限.
3.已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
【解析】方法一:因为z=3+ai(a∈R),所以|z|= ,由已知得32+a2<42,所以a2<7,所以a∈(- , ).
方法二:利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界), 由z=3+ai知z对应的点Z在直线x=3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知:-
【解析】由题意知,复数z对应点的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆,|z-i|表示圆上的动点与点(0,1)的距离,由数形结合易知,最大值为3.答案:3
【解题策略】(1)复数的模为实数,求复数模的步骤为:步骤一:将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式;步骤二:代入公式|z|= 求复数的模.(2)在复平面内,两点Z1,Z2间的距离 =|z1-z2|是复数几何意义的基础,模的几何意义常与不等式、最值、解析几何等知识相结合,综合考查数学问题,利用几何意义转化条件和结论往往可取得事半功倍的效果.
【跟踪训练】(2020·高台高二检测)若复数z满足|z|=2,则 的取值范围是________.
【解析】由于复数z满足|z|=2,故复数z对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上,设圆上任意一点的坐标为(2cs θ,2sin θ),θ∈[0,2π). 表示圆上的点到(3,0)和(-3,0)两点距离之和,即 ,①式平方得26+2 ,由于cs2θ∈[0.1],所以169-144cs2θ∈[25,169],所以 ∈[5.13],所以26+2 ∈[36,52],所以 答案:
1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|=( ) A.0B.1C. D.2【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.
2.(2020·成都高二检测)已知复数z= ,则|z|=( )A. B.1C. D.2【解析】选A.依题意z= ,所以
3.(教材二次开发:练习改编)在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-3i,则该平行四边形的对角线AC的长度为( )A. B.5C.2 D.10【解析】选B.依题意知, 对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5.
4.若复数z=x+yi(x,y∈R)满足y=2x,且|z|= ,则复数z=________. 【解析】依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由|z|= ,得 ,解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.答案:1+2i或-1-2i
5.已知z是复数,i是虚数单位,且z=-2+ai, ,则|z|=________,复数 在复平面内对应的点位于第________象限.
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