苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义同步训练题

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知识点01 复数的几何意义
1、复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴
知识点诠释：
实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2、复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义．
3、复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数．
设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．
复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
复数平面向量
这是复数的另一种几何意义．
4、复数的模
设，则向量的长度叫做复数的模，记作．
知识点诠释：
①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等．
【即学即练1】（2024·高一·辽宁大连·期中）复数对应的点在第四象限，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
知识点02 复数的加减运算的几何意义
1、复数的表示形式：
代数形式：（）
几何表示：
①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；
②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数．
知识点诠释：
复数复平面内的点平面向量
2、复数加、减法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量．
设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是，
由于，所以和的和就是与复数对应的向量．
知识点诠释：
要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理
【即学即练2】（2024·高一·福建龙岩·期中）已知复数及复数．
(1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义；
(2)求．
题型一：复数与复平面内的点的关系
【典例1-1】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【典例1-2】（2024·高二·内蒙古兴安盟·期中）若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·高一·广西河池·阶段练习）在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（21-22高一·全国·课时练习）在复平面内，复数， （i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为（ ）
A．B．1C．iD．i
【变式1-3】（2024·高一·山东滨州·期末）已知复数的共轭复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【方法技巧与总结】
利用复数与点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据．
（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．
题型二：复数与复平面内的向量的关系
【典例2-1】（2024·高一·全国·课时练习）设复数对应的向量为，复数对应的复数为，则（ ）
A．按逆时针旋转，再拉伸2倍得到
B．按顺时针旋转，再拉伸2倍得到
C．按逆时针旋转，再压缩倍得到
D．按顺时针旋转，再压缩倍得到
【典例2-2】（2024·高三·北京大兴·期末）已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·高三·江苏常州·期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（ ）
A．1B．C．D．
【变式2-2】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2024·高一·全国·课时练习）向量对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
复数与平面向量的对应关系
（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
题型三：复数加减法的几何意义
【典例3-1】（20-21高一·全国·课时练习）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：
(1)；
(2)．
【典例3-2】（20-21高一·全国·课时练习）如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．
【变式3-1】（20-21高一·全国·课后作业）设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来
【变式3-2】（19-20高一·全国·课时练习）已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.
（1）求对应的复数；
（2）求对应的复数；
（3）求△APB的面积.
【方法技巧与总结】
复数与向量的对应关系的两个关注点
（1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的．
（2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．
题型四：复数的模及其应用
【典例4-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）为虚数单位，若，则（ ）
A．5B．7C．9D．25
【典例4-2】（2024·高三·河北·期末）已知，若为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2024·高一·陕西安康·期末）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（多选题）（2024·高三·江苏南通·期中）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则或
C．D．若，则或
【变式4-3】（2024·高一·北京石景山·期末）已知纯虚数满足，则 ．
【变式4-4】（2024·高一·全国·单元测试）若复数满足，则 ．
【变式4-5】（22-23高一·全国·课时练习）满足的复数为 ．
【变式4-6】（2024·高一·福建莆田·阶段练习）若，且，则 .
【变式4-7】（2024·高二·福建三明·期末）设复数满足，且，则= ．
【变式4-8】（2024·高一·山东济南·期中）设复数，满足，，，则 ．
【方法技巧与总结】
复数模的计算
（1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
（2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
题型五：复数模的几何意义
【典例5-1】（2024·全国·高一专题练习）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______.
【典例5-2】（多选题）（2024·高一课时练习）在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2024·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）平行四边形OABC中，顶点O、A、C在复平面内分别与复数0，，对应，则顶点B对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2024·全国·高一假期作业）已知平行四边形的三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养．
题型六：复数的轨迹与最值问题
【典例6-1】（2024·高一·江西景德镇·期末）已知复数满足，则的最小值为 .
【典例6-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期中）在复平面内，复数满足，i为虚数单位，则的最小值为 ．
【变式6-1】（2024·高一·湖南长沙·期中）已知复数满足，则的最小值是 .
【变式6-2】（2024·高一·辽宁沈阳·期中）已知复数满足，求的最小值 ．
【变式6-3】（2024·高二·上海闵行·期中）如果复数满足，那么的最小值是 ．
【变式6-4】（2024·高一·辽宁·期末）已知复数z满足，则的最大值为 ．
【变式6-5】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）若，且满足，则的最大值为 .
【方法技巧与总结】
利用几何意义进行转化．
一、单选题
1．（2024·高三·安徽·开学考试）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四像限
2．（2024·高一·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．2C．D．1
3．（2024·高二·福建福州·期末）若在复平面上的一个点A对应复数为，其中复数满足，则点A在复平面内对应坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）已知复数满足：，则（ ）
A．1B．2C．D．3
5．（2024·高二·湖南岳阳·期末）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2024·高三·江苏盐城·阶段练习）已知复数满足，当的虚部取最小值时，（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·上海宝山·一模）已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A．B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第一象限D．若是关于的方程的一个根，则
8．（2024·高三·安徽·阶段练习）在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、多选题
9．（2024·高一·湖南常德·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第二象限
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．若复数为纯虚数，则，
D．复数的虚部为
10．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）设，是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则=
11．（2024·高一·吉林·期末）设复数，满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．的共轭复数为
B．
C．若是方程的根，则
D．
三、填空题
12．（2024·高三·陕西铜川·期末）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点坐标为 ．
13．（2024·高一·陕西榆林·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第 象限.
14．（2024·高一·广东东莞·阶段练习）已知是复数，均为实数（i为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，则实数的值是 ．
四、解答题
15．（2024·高一·江苏连云港·期中）若复数，当实数m为何值时
(1)z是实数；
(2)z对应的点在第二象限．
16．（2024·高三·河北张家口·阶段练习）已知复数满足（是虚数单位）.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
17．（2024·高一·江苏·专题练习）在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.
(1)，计算与；
(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.
18．（2024·高一·江苏·专题练习）已知z是复数，与均为实数.
(1)求复数z；
(2)复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
19．（2024高三·全国·专题练习）下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值.
解法一：∵，
又∵是纯虚数，令（且），
∴.
故当时，即当时，所求式有最大值为.
解法二：∵，∴.
故所求式有最大值为.
解法三：∵，
又∵为纯虚数，∴，
∴.
故所求式有最大值为.
课程标准
学习目标
（1）能类比平面向量加、减运算的几何意义，探索复数加、减运算的几何意义，能用自己的语言解释复数加、减运算的几何意义．
（1）了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.
（2）掌握实轴、虚轴、模等概念.
（3）理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题．