高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题06 数列、不等式（第02期）（解析版）

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)

                             专题06　数列、不等式

一、选择题

1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】等差数列的前项和为，若，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于是等差数列，故成等差数列，所以，即，解得.

故选：B.

2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】设为等比数列，为等差数列，且为数列的前项和若，，且，则（    ）

A．20 B．30 C．44 D．88

【答案】C

【解析】为等比数列，且，，

又 为等差数列，.

故选：C.

3. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】定义为个正数、、…、的“均倒数”，若已知正整数列的前项的“均倒数”为，又，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知得，

，

当时，，验证知

当时也成立，

，

，

故选：C

4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ）

A．ab有最小值 B．有最小值

C．有最小值4 D．有最小值

【答案】C

【解析】，，且；；；

有最大值，选项A错误；

，，

即有最大值，B项错误

，有最小值4，C正确；

， 的最小值是，不是，D错误．

故选：C

5. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】等差数列的前项和为，已知.则等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，又，

所以，解得，

所以，故选C.

6. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得：，

，则：.

本题选择C选项.

7. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】已知等差数列的公差不为零，其前项和为，若，，成等比数列，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，知，，成等比数列，所以，

即，

整理得，所以，解得，

所以＝，

故选C.

8. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】已知是等比数列，且，，那么的值等于（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】A

【解析】由于是等比数列，，，

又.故选A.

9. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，若a2，a4是关于x的一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个根，则S5＝（    ）

A．5 B．10 C．12 D．15

【答案】B

【解析】∵是关于的一元二次方程的两个根，

∴由韦达定理得，

由等差数列的性质得，

，

∴，

故选：B．

10. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】设，为正数，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，

，

当且仅当时，即取等号，

.

故选：D

11. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】已知函数若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出函数的图象，以及函数|的图象，

由的图象关于直线对称，

对任意的恒成立，

即为的图象在的图象的下方，

由图象可得时，的图象在的图象的下方，

故选：A．

12. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】设数列满足，且，，设的和为，则的取值在哪两个相邻整数之间(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，

可得，

即有，

则

，

又，，，

，即为单调递增数列，

又，，，，，

，

，

，

故选：C.

13. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】等差数列，，，的第四项等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题得.

所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，

所以等差数列的第四项为9.

故选：B

二、填空题

1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】在数列{an}中，若函数f（x）＝sin2x+2cos2x的最大值是a1，且an＝（an+1﹣an﹣2）n﹣2n2，则an＝_____．

【答案】an＝2n2+n

【解析】，

当，，取得最大值3，

．，

，，

是以为首项，为公差的等差数列，

，

故答案为：．

2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】如图，曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，，，设正三角形的边长为（记为），.数列的通项公式=______.

【答案】

【解析】设数列的前项和为，则点的坐标为，

易知直线的方程为，

与曲线的方程联立，解得，；

当时，点、，所以，点，

直线的斜率为，则，即，

等式两边平方并整理得，可得，

以上两式相减得，即，

易知，所以，即，

所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，.

故答案为：。

3. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知实数满足，则的最大值是________.

【答案】2

【解析】作出可行域，如图所示：

表示可行域内的点与定点连线斜率的值，由图可知均为正数，故要求的最大值，只需求的最大值，

显然当直线过点时，最大，且，所以的最大值为2.

故答案为：2.

4. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知实数，满足约束条件则的最大值是______．

【答案】1

【解析】作出可行域，如图所示：由，得，

故要求的最大值，只需求直线的纵截距的最小值，

由图可知，当直线过点时，取得最大值，且.

故答案为：1.

5. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则______.

【答案】1

【解析】由数列的构造方法可知，，，，可得：

即：

本题正确结果：

6. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知实数，满足约束条件，则的最大值为______．

【答案】13

【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示：

联立，解得则点，

平移直线，当直线经过可行域的顶点时，

直线在轴上的截距最大，此时，取最大值，

即．

故答案为：13.

7. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】设，满足约束条件，则的最小值是______.

【答案】-3

【解析】设，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

则取最小值时，在轴截距最大

由图象可知，当过时，截距最大

由得：

，即

本题正确结果：

8. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知数列,满足,的前项和为,对任意的,当时,都有,则的取值范围为______.

【答案】

【解析】 由,

当,得.

——①

可得——②

由①②得:,故为等差数列.

又,最大,则,,,

即,

又,可得

故答案为:.

9. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】记等差数列的前n项和为，若，，则的前n项和______．

【答案】

【解析】因为是等数差数列，，而，

所以，解得，，则，；

数列构成首项为9，公差为9的等差数列；

若n为偶数，则，

若n为奇数，则T

故.

故答案为：

10. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】已知等差数列的前项和是，，且成等比数列，则______.

【答案】

【解析】设公差为，则有解得

从而，故.

故答案为：

三、解答题

1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知单调等比数列中，首项为 ，其前n项和是，且成等差数列,数列满足条件

(Ⅰ) 求数列、的通项公式；

(Ⅱ) 设 ,记数列的前项和 .

①求 ;②求正整数，使得对任意，均有 .

【答案】(Ⅰ) ；；

(Ⅱ)①见解析；②见解析.

【解析】(Ⅰ)设. 由已知得   即

进而有.  所以，即  ，则，

由已知数列是单调等比数列，且 所以取，

数列的通项公式为.

∵ ，  ∴ 则.

数列的通项公式为.

 (Ⅱ)由(Ⅰ)得

①设，的前项和为.则.

又设，的前项和为.

则.

所以

②令 .

由于比变化快，所以令得.

即递增，而递减.所以，最大.

即当时，.

2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】设是等差数列，公差为，前项和为.

（1）设，，求的最大值.

（2）设，，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围.

【答案】（1）2020（2）

【解析】（1）a1＝40，a6＝38，可得d，

可得Sn＝40nn（n﹣1）（n）2，

由n为正整数，可得n＝100或101时，Sn取得最大值2020；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，

可得an＝1+（n﹣1）d，数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，

若d＝0，可得bn＝2；d＞0，可得{bn}为递增数列，无最大值；

当d＜0时，Tn，

对任意的n∈N*，都有Tn≤20，可得20，且d＜0，

解得d≤．

3. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考数学（文)】已知数列满足，且.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】（1）由，得，∴，又，

∴是首项为3，公比为3的等比数列.   

（2），∴.

（3）.

4. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】在公差为的等差数列中，.

（1）求的取值范围；

（2）已知，试问：是否存在等差数列，使得数列的前项和为？若存在，求的通项公式；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在，通项公式为

【解析】（1），，

整理得，

则，

解得，则的取值范围为.

（2），，即，

则.

假设存在等差数列，则，即，解得，

从而.

此时，

，

故存在等差数列，且，使得数列的前项和为.

5. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）5或.

【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.

（1）∵，结合得，

∴.

（2）∵，解得或3，

当时，，此时；

当时，，此时.

6. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前项和，求.

【答案】（1），（2）

【解析】（1）对任意，有，①

当时，有，解得或.

当时，有.②

①-②并整理得.

而数列的各项均为正数，.

当时，，

此时成立；

当时，，此时，不成立，舍去.

，.

（2）

.

7. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】已知等差数列满足：，数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）设等差数列的公差为d,

∵,,

∴,解得,,

∴;

.

（2）,

∴.

8. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知{an}是等比数列，，且成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案】（1）an＝（）n（2）

【解析】（1）设是公比为的等比数列，，且成等差数列，

可得，，即，

解得，

则；

（2），

∴．

9. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】设数列的前项和，满足，且．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【解析】（1）因为，，

两式相减，得．

又，且，

解得，

，

．

．

又，

数列是首项为2，公比为2的等比数列．

（2）由（1）知，，，

则

①．

②

由①-②，得

，

故．

10. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知数列,是一个等差数列,且,,数列是各项均为正数的等比数列,且满足:,.

（1）求数列与的通项公式;

（2）求证:.

【答案】（1），（2）证明见解析

【解析】（1） 为等差数列,设公差为,

.

为等比数列,,设公比为,则,

,,

,.

（2）令,

——①

可得: ——②

由①-②得:,

.

故.

11. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】设函数，过点作轴的垂线交函数图象于点，以为切点作函数图象的切线交轴于点，再过作轴的垂线交函数图象于点，，以此类推得点，记的横坐标为，．

（1）证明数列为等比数列并求出通项公式；

（2）设直线与函数的图象相交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析，；（2）．

【解析】（1）证明：函数，，

以点为切点的切线方程为：，

当时，，即，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列,.

（2）解：由题意得：，

，

…①，

则…②，

①②得：，

.

12. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】数列中，，（为常数）.

（1）若，，成等差数列，求的值；

（2）是否存在，使得为等比数列？并说明理由.

【答案】（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数，使得{an}为等比数列

【解析】（Ⅰ）由a1=2，，得，，

则，，

，．

由，，a4成等差数列，得a2=a4-a1，

即，解得：p=1；

（Ⅱ）假设存在p，使得{an}为等比数列，

则，即，则2p=p+2，即p=2．

此时，

，∴，

而，又，所以，

而，且，

∴存在实数，使得{an}为以2为首项，以2为公比的等比数列．

13. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】已知等比数列是递减数列，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）等比数列是递减数列，，

即有，解得，（舍去），或，

可得公比.

（2），

则前项和.