高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题02 函数（第02期）（解析版）

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高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)
专题02　函数
一、选择题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.
2. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】函数的部分图象大致是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B，D错误，
当时，，所以C错误.
故选：A.
3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设函数满足，则的图像可能是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．
由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．
4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知，则与的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】要求与的交点，则令，
设，即求的零点个数，
所以，
当时，，解得，（舍），
所以时，有且仅有一个零点；
当，，
，所以在上单调递增，
而，，
由零点存在定理可知在上有且仅有一个零点；
综上所述，有且仅有两个零点，
所以与的交点个数为.
故选：B.
5. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数为偶函数，且时，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数函数为偶函数，
所以可得关于成轴对称，
所以，
当时，，
所以
设，则，
当，，单调递减，
，
即，所以在上单调递减，
在上单调递增，
所以不等式的解集为.
故选：B.
6. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
又因为，，
所以.
又因为，
因，故，
所以即.
又，
因，故，
所以.即
所以
故.
故选：B.
7. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设定义在上的奇函数满足：对任意的，总有，且当时，．则函数在区间上的零点个数是 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．13
【答案】C
【解析】因为函数为上的奇函数，所以必有f（0）=0．
由 ，易得： ，故函数周期为8，
∴f（0）=f（-8）=f（8）=0
当时，，有唯一零点.
又函数为奇函数且周期为8，易得：f（）=f（- ）=f(-8)=f(+8)=f(- +8)=f(- +16)
当x=-4时，由 知 ，又f（x）为奇函数，可得f(4)=0,从而可知f(4)=f（-4）=f（12）.
所以共有12个零点．
故选C ．
8. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个，都有成立，若现在已知函数是定义域在的“互倒函数”，且当时，成立.若函数（）都恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数是定义域在的“互倒函数”
当，则，
因为，且当时，，
所以，
所以，
函数都恰有两个不同的零点，
等价于有两个不等的实根，
作出的大致图像，如图所示，
可得，，
，.
设，则
①当时，有两个解，，
其中，，
无解，有两个解，符合题意；
②当时，由得，，
由图可知此时有四个解，不符合题意；
③当时，有两个解，，
其中，，
由图可知此时有四个解，不符合题意；
④当时，由，得，
由图可知有两个解，符合题意；
⑤当时，由，得无解，不符合题意.
综上所述，或符合题意，
而，所以解得或.
即实数的取值范围为.
故选：A.

9. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
又因为，，
所以.
又因为，
因，故，
所以即.
又，
因，故，
所以.即
所以
故.
故选：B.
10. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由于为幂函数，则，解得：，
函数，且，当时， ，故 的图像所经过的定点为，
所以，即，解得：,
故答案选B
11. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】画出函数与的图像如下图所示，其中,由图可知，当时，两个函数图像有两个不同的交点.，故.注意到，即时，两个函数图像只有一个交点，不符合题意，由此排除B,C,D三个选项.故本小题选A.

12. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】设为奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意.
故选：A.
13. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，即
函数单调递减，则，即，
由于，结合函数的单调性可得：，即，
由于，故，结合函数的单调性可得：，即，
综上可得：的大小关系为 .
本题选择B选项.
14. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】函数图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以函数是奇函数，可排除A、C；
又当，，可排除D；
故选：B.
15. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

，原式可化为，
令时递增，
故，令，
故，
故在上递减，在上递增，在上递减，
而，
要使总存在三个不同的实数，使得成立，
即，故，
故，实数的取值范围是，故选B.
16. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知，设函数的零点为m，的零点为n，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的零点为函数与图像的交点A的横坐标，函数的零点为函数与图像的交点B的横坐标

由于指数函数与对数函数互为反函数，
其图像关于对称，
直线与垂直
故两直线的交点即是A，B的中点，


当且仅当：时等号成立
而，故
故选：A
17. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
设，定义域
，所以为奇函数，
，
所以单调递增，
不等式




解得
故选C项.
18. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】设函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的最小正周期，
与正切函数类比可知，在上单调递增，
，，
由，得，而，且，
于是得，
所以，即.
故选：D.
19. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】当为实数时，表示不超过的最大整数，如.已知函数（其中），函数满足，，且时，则方程的实根的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由，，得函数的图象关于直线及直线对称，且，
令，则，即为周期函数，且最小正周期为4.
对于，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；…；
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；….
结合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数及的图象，
由图可知，函数与函数共有6个交点，即方程的根的个数为6.
故选：C.

20. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】设函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数在上单调递减，
，，由，得，
，于是得，所以，
即.
故选：C.
21. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，
有，
又由在上单调递增，则有，故选C.
22. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，排除，B，C，
当时，，
则时，，，排除A，
故选：D．
23. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据偶函数的定义，可得A，B，D是偶函数，B在上单调递减，D在上有增有减，A在上单调递增，
故选A．
24. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】存在函数满足，对任意都有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A：取，可知，即，再取，可知
，即，矛盾，∴A错误；同理可知B错误，C：取，可知
，再取，可知，矛盾，∴C错误，D：令，
∴，符合题意，故选D.
25. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则即．
函数定义域为，所以定义域关于原点对称．
因为
，
所以是奇函数，排除B，D；
又排除A.
故选：C．
26. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】设函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，易知函数为增函数，
因为，且由零点存在定理，可知．
由，易知函数为增函数
因为，．且
由零点存在定理，可知．
，
因此，
故选：B.
27. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知对任意等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，两边取对数则，因为定义域为，故，令，
则，令则有 ，所以在区间上，单调递增；在区间上，单调递减。所以，故，又恒成立，所以，故选A。
28. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知是定义在的函数，满足，当时，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】，，
，
故选：D.
29. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知函数，关于的方程恰有5个解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意函数的图象与的图象有5个交点．

作出的图象，根据函数解析式，其图象在区间（）上的图象与上相同，如图，若，则是增函数，它与的图象只有一个交点，不合题意，
当时是减函数，要有5个交点，
因此有，解得．
故选：B.
30. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知函数有4个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 由,
得,
可得:,,
设,则,
当时,
当时,
在上单调递增,在上单调递减,
故,,
当,.
,,,.要使方程有4个不同的零点,
则,可得,,
故选:D.
31. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】函数的图象不可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】,∴.
(1)当时,,图象为A;
(2)当时,,∴在上单调递增,
令得,
∴当时,,
当时,,
∴在上单调递减,在上单调递增,图象为D;
(3)当时,,∴在上单调递减,
令得,
∴当时,,
当时,,
∴在上单调递减,在上单调递增,图象为B;
故选：C.
32. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】设，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为
令
则


将式子变形可得，
因为
所以
由对数函数的图像与性质可知
综上可得
故选：A.
33. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，
所以，，
由，得，
所以在上是增函数，
由，
解得.
故选：B
34. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可知：函数的定义域为

所以可知函数为偶函数
又
所以选项D正确
故选：D
35. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知函数是上的奇函数．当时，，且，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，，
为上的奇函数，，
，
在上单调递增，在上单调递增，且当时，，在上单调递增，
由得：，即，解得：，
实数的取值范围为.
故选：.
36. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知函数，函数与的图象关于点对称，若，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设函数上的动点为,则其关于点对称的点在函数的图象上,所以,即,
所以,
由得,即,
所以,
令,
则,
由,得 ;
由,得,
所以在上递减,在上递增,
所以时,取得最小值,
即的最小值为.
故选:D
37. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，
当时，，排除B.
故选：A．
38. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B，
故选：A
39. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】已知函数，若存在使得，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．，
【答案】D
【解析】根据题意，函数，其图象如图：

直线恒过定点
若存在使得，则函数的图象在直线下方有图象或有交点，则直线与函数的图象必定有交点
分析可得：当时，直线经过第一三四象限，与函数的图象必有交点，符合题意；
当时，直线经过第二三四象限，若直线与有交点，必然相交于第二象限
则有，即，变形可得
令，解得或（舍）
则有
综合可得：的取值范围为
本题正确选项：
40. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】已知函数的两个零点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】如图，作出函数的图象，函数的两个零点就是方程的解，也就是是函数的图象与直线交点的横坐标，
由得，∴ ，又，
所以，，．
故选：A.


二、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知指数函数在上为减函数；，.则使“且”为真命题的实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由函数在上为减函数，故，即
所以命题
由，，得有解，故，即
所以命题
因为“且”为真命题
所以、都是真命题
所以
故答案为.
2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知指数函数在上为减函数；，.则使“且”为真命题的实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由函数在上为减函数，故，即
所以命题
由，，得有解，故，即
所以命题
因为“且”为真命题
所以、都是真命题
所以
故答案为.
3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知，，若对，，，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为对，，，所以只需即可，因为，，所以，，由故答案为.
4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知方程恰有四个不同实数根，当函数时，实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】，令，解得或，易得在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，
作出的大致函数图象如图所示：

令，则当或时，关于x的方程只有1解；
当时，关于x的方程有2解；
当时，关于x的方程有3解；
因为恰有四个零点，
所以关于t的方程在上有1解，
在上有1解，
显然不是方程的解，
所以关于t的方程在和上各有1解，
所以，解得，即.
故答案为：
5. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】是定义域为的偶函数，对，都有，当时，，则________.
【答案】
【解析】因为是定义域为的偶函数,所以 ,所以周期,
所以,
,
所以.
故答案为:.
6. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】已知函数，则______.
【答案】-4
【解析】因为函数，
则
.故答案为-4.
三、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？
（取）.
【答案】（1） （2）当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元
【解析】（1）产品售价为元，则万件产品销售收入为万元.
依题意得，当时，，
当时，，
；
（2）当时，，
当时，的最大值为（万元），
当时，，
当时，单调递增，当单调递减，
当时，取最大值（万元），
当时，取得最大值万元，
即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元.
2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？
（取）.
【答案】（1） （2）当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元
【解析】（1）产品售价为元，则万件产品销售收入为万元.
依题意得，当时，，
当时，，
；
（2）当时，，
当时，的最大值为（万元），
当时，，
当时，单调递增，当单调递减，
当时，取最大值（万元），
当时，取得最大值万元，
即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元.