高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题09 概率统计（解析版）

这是一份高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题09 概率统计（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)
专题09 　概率统计
一、选择题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】
现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】四名学生从四个地方任选一个共有种选法，
恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，
考虑先分堆在排序共有种，
所以恰有一个地方未被选中的概率为.
故选：B
2.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】
如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图知,7月,8月,11月的利润不低于40万元,故所求概率为,故选D.
3. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】
如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为.故选C.
法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为，故选C.
4. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条

A．40 B．60 C．80 D．120
【答案】B
【解析】
试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B.
5. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为（ ）
A．72 B．56 C．57 D．63
【答案】A
【解析】先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有种，然后将新的4个语文老师分给两个学校种，同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校 种，所以共有=72种分配方法。
6. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
设， 为的展开式的第一项（为自然对数的底数），，若任取，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，s=，
∴m==e，则A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，
任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，
如图所示：

计算阴影部分的面积为
S阴影==（x﹣）=e﹣1﹣+ln1=e﹣2．
所求的概率为P=，
故选：C．
7. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
已知随机变量服从正态分布，且，，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于对称，且，结合题意得到的值.
详解：

随机变量服从正态分布，
曲线关于对称，且，
由，可知，故选B.
8. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】
若,,，的平均数为3，方差为4,且,，则新数据, 的平均数和标准差分别为（ ）
A．-4 -4 B．-4 16 C．2 8 D．-2 4
【答案】D
【解析】∵,,，的平均数为3，方差为4，
∴，
．
又，
∴，



，
∴新数据, 的平均数和标准差分别为．
故选D．
9. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】
如图所示的5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）

A．相关系数变大 B．残差平和变大
C．变大 D．解释变量与预报变量的相关性变强
【答案】B
【解析】由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，
所以r变大，变大，残差平方和变小．故选B．
10. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】
已知随机变量服从正态分布，且，，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

随机变量服从正态分布，
曲线关于对称，且，
由，可知，故选B.
11. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】
在如图所示的正方向中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附： ），则， .

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 ，
则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为 .
本题选择B选项.
12. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】
已知件产品中有件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， 的可能取值为2,3,4,其概率分别为， ， ，所以，故选B．
13.【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】
赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，，由余弦定理，得，
所以.
所以所求概率为.
故选A.
14. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】
如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）

A．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B．2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%，在3月底最高
C．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
【答案】D
【解析】对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，
差值为，接近2000万件，所以A是正确的；
对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；
对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；
对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.
本题选择D选项.
二、填空题
1. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】
若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积不小于的概率为_____________．
【答案】2
【解析】设，由，得，所以所求概率．
三、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】
在2018、2019每高考数学全国Ⅰ卷中，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲.2018年髙考结束后，某校经统计发现:选择第22题的考生较多并且得分率也较高.为研究2019年选做题得分情况，该校高三质量检测的命题完全采用2019年高考选做题模式，在测试结束后，该校数学教师对全校高三学生的选做题得分进行抽样统计，得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只选做—道题):
第22题的得分统计表
得分
0
3
5
8
10
理科人数
50
50
75
125
200
文科人数
25
25
125
0
25
第23题的得分统计表
得分
0
3
5
8
10
理科人数
30
52
58
60
200
文科人数
5
10
10
5
70
(1)完成如下2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；

选做22题
选做23题
总计
理科人数



文科人数



总计



(2)若以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，如果你是考生，根据上面统计数据，你会选做哪道题，并说明理由.
附:

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【答案】(1) 列联表见解析；有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2) 选做第题，理由见解析
【解析】（1）由数据表可得列联表如下：

选做题
选做题
总计
理科人数



文科人数



总计



则的观测值
有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关.
(2)全体高三学生第题的平均得分分别为:
；
；
以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，应选做第题.
2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】
某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.
（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率(两人同时答对同一个题目视为答对两个）；
（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.
【答案】(1);(2)50.
【解析】（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率
.
（2）的所有取值有1，2，3.
，，，故.
由题意可知，故.而，所以.
3.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】
春节过后，某市教育局从全市高中生中抽去了100人，调查了他们的压岁钱收入情况，按照金额（单位：百元）分成了以下几组：，，，，，.统计结果如下表所示：

该市高中生压岁钱收入可以认为服从正态分布，用样本平均数（每组数据取区间的中点值）作为的估计值.
（1）求样本平均数；
（2）求；
（3）某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动，并针对该市的高中生制定了赠送“读书卡”的活动，赠送方式为：压岁钱低于的获赠两次读书卡，压岁钱不低于的获赠一次读书卡.已知每次赠送的读书卡张数及对应的概率如下表所示：

现从该市高中生中随机抽取一人，记（单位：张）为该名高中生获赠的读书卡的张数，求的分布列及数学期望.
参考数据：若，则，.
【答案】(1)68.5(2)0.8185（3）
【解析】（1），
（2）由（1）得，.
∴
.
（3）易知.
∴的所有可能取值为1,2,3,4.
；
；
；
.
∴的分布列为

∴.
4. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】
随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：

(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于的函数表达式；
(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

①先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收入在[3000，5000)元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000)元的人数，随机变量，求Z的分布列与数学期望；
②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）调整前y关于x的表达式为.
调整后y关于x的表达式为,
（2）①由频数分布表可知从[3000，5000）及[5000，7000）的人群中抽取7人，其中[3000，5000）中占3人，[5000，7000）的人中占4人，再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4，（5分）
，
,
,
所以其分布列为
Z
0
2
4
P



所以
②由于小李的工资、薪金等收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295元；
按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75元，
比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，
即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元。
5. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：

（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.
（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.
（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）
【答案】(1)240人(2)见解析（3）
【解析】
（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人.
∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为： 人.
（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为， ， ， ， .
由题意可得 ；
；
；
；
.
所以随机变量的分布列为












∴均值 .
（3）由折线图可得.
6. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.
全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）
年份




时间代号




年销量（亿包/桶）




(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；
(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
参考公式：回归方程：，其中，.
参考数据：.
【答案】(1)356;(2)见解析.
【解析】
（1），，
，，，
所以
当时，
（2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有人，的可能值为，，，，
所以；；；，










.
7. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】
在测试中,客观题难题的计算公式为,其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错)：
学生 编号
题号
1
2
3
4
5
1
×
√
√
√
√
2
√
√
√
√
×
3
√
√
√
√
×
4
√
√
√
×
×
5
√
√
√
√
√
6
√
×
×
√
×
7
×
√
√
√
×
8
√
×
×
×
×
9
√
√
×
×
×
10
√
√
√
√
×
（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数





实测难度





（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；
（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度().规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】
（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
8
8
7
7
2
实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
所以,估计120人中有人答对第5题.
（2）记编号为的学生为，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种.其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，，，，，，共6种.
所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为.
（3）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度.

因为,所以,该次测试的难度预估是合理的.
8. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】
2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.
方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元.
（1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1）（2）顾客选择第一种抽奖方案更合算.
【解析】
（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为.
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0，600，700，1000. ， ， ， ，
故的分布列为，

所以 （元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以 （元）.
因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
9. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】
某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.

（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；
（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）元.
【解析】
（Ⅰ）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为

保险公司期望收益为
根据规则
解得元，
设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元，
设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元.
（Ⅱ）购买类产品的份数为份，
购买类产品的份数为份，
购买类产品的份数为份，
企业支付的总保费为 元，
保险公司在这宗交易中的期望利润为元.
10.【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】
某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：

（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；
（2）若等级、、、、分别对应分、分、分、分、分，学校要求平均分达分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？
（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取个学生样本，再从中任意选取个学生样本分析，求这个样本为级的个数的分布列与数学期望.
【答案】(1) 等级为的概率为,成绩为的人数约有;(2)见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，
所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，
则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.
（2）这100名学生成绩的平均分为 ，
因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.
（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中级4个，级7个，从而任意选取3个，这3个为级的个数的可能值为0，1，2，3.
则，，
，.
因此可得的分布列为：

则 .