高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题02 函数（解析版）

这是一份高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题02 函数（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)
专题02 　函数
一、选择题
1.【2020届河北省衡水中学高三上学期五调】
函数的部分图象大致是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为，所以，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B，D错误，
当时，，所以C错误.
故选：A.
2.【2020届河北省衡水中学高三上学五调考试】
已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.
3. 【2020届河北省衡水中学全国高三上学期期末大联考】
已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图可知，该函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，
所以选项C不符合；又因为，所以选项A，B不符合.
故选:D.
4. 【河北省衡水市衡水中学2019—2020学年高三上学期二调考试】
设函数，则函数的零点的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】，转化为如图，画出函数和的图像，
当时，有一个交点，
当时，，，此时，是函数的一个零点，
，，满足，所以在有两个交点，
同理，所以在有两个交点，
，所以在内没有交点，
当时，恒有，所以两个函数没有交点
所以，共有6个．

5. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】
设定义在上的奇函数满足：对任意的，总有，且当时，．则函数在区间上的零点个数是 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．13
【答案】C
【解析】因为函数为上的奇函数，所以必有f（0）=0．
由 ，易得： ，故函数周期为8，
∴f（0）=f（-8）=f（8）=0
当时，，有唯一零点.
又函数为奇函数且周期为8，易得：f（）=f（- ）=f(-8)=f(+8)=f(- +8)=f(- +16)
当x=-4时，由 知 ，又f（x）为奇函数，可得f(4)=0,从而可知f(4)=f（-4）=f（12）.
所以共有12个零点．
故选C ．
6．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】
“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个，都有成立，若现在已知函数是定义域在的“互倒函数”，且当时，成立.若函数（）都恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数是定义域在的“互倒函数”
当，则，
因为，且当时，，
所以，
所以，
函数都恰有两个不同的零点，
等价于有两个不等的实根，
作出的大致图像，如图所示，
可得，，
，.
设，则
①当时，有两个解，，
其中，，
无解，有两个解，符合题意；
②当时，由得，，
由图可知此时有四个解，不符合题意；
③当时，有两个解，，
其中，，
由图可知此时有四个解，不符合题意；
④当时，由，得，
由图可知有两个解，符合题意；
⑤当时，由，得无解，不符合题意.
综上所述，或符合题意，
而，所以解得或.
即实数的取值范围为.
故选：A.

7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】
已知定义在R上的函数满足：(1) ；(2) 为奇函数；(3)当时，图象连续且恒成立，则的大小关系正确的为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以函数是周期为2的周期函数.又由为奇函数，所以有，所以函数为奇函数，又由当时，图象连续，且恒成立，得函数在区间（-1，1）内单调递增，而.所以.故选C.
8. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，则是偶函数，又
故选
9. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
已知是减函数，且有三个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当，单调递减，可得在恒成立。当，恒成立，可得，而，所以，当，恒成立，可得，而，所以，故.由题意知：与图象有三个交点，当时，只有一个交点，不合题意，当时，由题意知，和为两个图象交点，只需在有唯一零点。时，，即有唯一解。令，.令得，所以，单调递减；时，，单调递增。
，时，，时，，所以要使在有唯一解，只需或.故选D.
10. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数y=是偶函数，排除B．当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，
当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知x=是函数的一个极值点，排除C．故选：D．
11. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
设函数为定义域为R的奇函数，且，当 时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A．6 B．7 C．13 D．14
【答案】A
【解析】由题意，函数，，则，可得，即函数的周期为4，且的图象关于直线对称．在区间上的零点，即方程的零点，分别画与的函数图象，两个函数的图象都关于直线对称，方程的零点关于直线对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．
12. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
已知函数，其中为函数的导数，求 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意易得： ，∴函数的图象关于点中心对称，∴，由可得，∴为奇函数，∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，∴∴
故选：A
13. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
已知函数，若对任意的,总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得对任意的恒成立，所以，令，得，当时， ；当时， ；所以当时， ，从而，因为，所以当时， ；当时， ；因此当时， ，选C.
14. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】偶函数满足，，的周期为，且的图象关于直线对称，由于上含有个周期，且在每个周期内都是对称轴图形，关于的不等式在上有个正整数解，当时，，中上单调递增，在上单调递减，，当时，，当时， 在上有个正整数，不符合题意， ，由可得或，
显然在上无正整数解，故而在上有个正整数，分别为，，，故选D.
15. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】
对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，，满足与互为“零点相邻函数”， ，又因为函数图像恒过定点，要想函数在区间上有零点，需，解得，故选D．
16. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】
定义在上的函数满足，且当时， ，对，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为 ．故本题答案选．
17. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】
函数的图象大致为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.
18. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】
已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：由偶函数满足，可得函数周期为，利用导数研究函数的单调性，画出函数图象，在上有个周期，且有个整数解，每个周期内有个解， 由可得结果.
详解：

由，可知函数的对称轴为，
由于函数是偶函数，,
所以函数是周期为的周期函数，
当时，，
函数在上递增，在上递减，
最大值，且，
由选项可知 ，解得或，
根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，没有整数解，
根据函数为偶函数，在上有个周期，且有个整数解，
也即每个周期内有个解，，
故，解得，故选D.
19. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】
函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.
详解：设，
当 时，，
当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；
由当时，，排除D；
因为，
所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.
20. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】
已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.
21. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】
已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

画出函数的图像如图所示，若关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线 有两个不同交点，由图可知，所以.
故选C.
22. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】
已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意，；③当时，；④函数，，若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点，则直线斜率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴函数f（x）是偶函数，
由f（2+x）﹣f（2﹣x）=0得f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），
即f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
若x∈[﹣2，0]，则x∈[0，2]，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=x，
∴当﹣x∈[0，2]时，f（﹣x）=﹣x，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣x=f（x），
即f（x）=﹣x，x∈[﹣2，0]，
则函数f（x）在一个周期[﹣2，2]上的表达式为f（x）=，
∵f（n）（x）=f（2n﹣1•x），n∈N*，
∴数f（4）（x）=f（23•x）=f（8x），n∈N*，
故f（4）（x）的周期为，其图象可由f（x）的图象压缩为原来的得到，
作出f（4）（x）的图象如图：
易知过M（﹣1，0）的斜率存在，
设过点（﹣1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设h（x）=k（x+1），
则要使f（4）（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点，
则0＜k＜kMA，
∵A（，0），
∴kMA==，
故0＜k＜，
故选：A．

23. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
设函数，若，则实数a的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】因为，所以所以
选B.
24. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
设、，已知， ，且（， ），则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】， ，当且仅当时取等号，故选A.
25. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
是定义在上的偶函数，
，即，
则函数的定义域为
函数在上为增函数，

故两边同时平方解得，
故选
26. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x∈[0,1]时，f(x)=-2x+1，设函数，则函数f(x)与g(x)的图象交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴f（x）的周期为2．
∴f（1-x）=f（x-1）=f（x+1），
故f（x）的图象关于直线x=1对称．
又的图象关于直线x=1对称，
作出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象在（-1，3）上共有4个交点，
故选B.
27. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
已知f(x)是定义在上的单调函数，且对任意的x∈都有，则方程的一个根所在的区间是（ ）
A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）
【答案】D
【解析】由题意，可知f（x）-x3是定值，不妨令t=f（x）-x3，则f（x）=x3+t
又f（t）=t3+t=2，整理得（t-1）（t2+t+2）=0，解得t=1
所以有f（x）=x3+1
所以f（x）-f′（x）=x3+1-3x2=2，令F（x）=x3-3x2-1
可得F（3）=-1＜0，F（4）=8＞0，即F（x）=x3-3x2-1零点在区间（3，4）内
所以f（x）-f′（x）=2的解所在的区间是（3，4）
故选：D．
28. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
，若方程无实根，则方程（ ）
A．有四个相异实根 B．有两个相异实根
C．有一个实根 D．无实数根
【答案】D
【解析】因为抛物线开口向上，
由方程无实数根可知，抛物线必在直线上方，
即对任意的，，
所以方程没有实根，故选D.
29. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】
函数的图象大致为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，则，
由于恒成立，故，函数在区间上单调递增，据此排除选项D；
当时，，则，
由于恒成立，故，函数在区间上单调递减，据此排除选项AB；
本题选择C选项.
30. 【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】
函数的图象是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令y=（2x﹣1）ex=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D，
当x→﹣∞时，ex→0，所以y→0，故排除B，
故选：A．
二、填空题
1. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】
定义在R上的函数满足，又当时，成立，若，则实数t的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由，令，则，所以为奇函数.因为当时，成立，所以当时，成立，所以在上单调递增，所以在R上单调递增.因为，即为，所以，所以，所以.
故答案为：
2. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数m的取值范围为_______.
【答案】[1，2)
【解析】命题p：∀x∈R，x2+1＞m，解得：m＜1；
命题q：指数函数f（x）=（3-m）x是增函数，
则3-m＞1，解得：m＜2，
若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，
则p，q一真一假，
p真q假时： 无解，
p假q真时： ，解得：1≤m＜2，
故答案为：[1，2）．
3. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
若直角坐标平面内不同两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；
②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是______________．
【答案】
【解析】设点是函数的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点必在该函数图象上，故，消去，整理得.若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得，解得，即实数的取值范围是，故答案为.
4. 【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】
已知函数（0≤x≤），若函数的所有零点依次记为，则 =_____.
【答案】
【解析】令2x+=+kπ得x=+，k∈Z，
即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．
∵f（x）的最小正周期为T=π，0≤x≤，
∴f（x）在（0，）上有30条对称轴，
∴x1+x2=2×，x2+x3=2×，x3+x4=2×，…，xn﹣1+xn=2×，
将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=2×（+++…+）=2××30=445π．
故答案为：445π．
三、解答题
1. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间上的值域为，求，的值.
【答案】(1);(2)且.
【解析】
（1）函数的定义域为，
，
所以恒成立，所以.
（2）由题（1）得，
所以，所以在函数上为单调减函数.
因为，所以，
所以，是方程的两根，
又因为，所以且.