高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题03 导数与应用（解析版）

这是一份高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题03 导数与应用（解析版），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)
专题03　导数及应用
一、选择题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】
不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，
设，.
由.
可知在上为减函数，在上为增函数，
的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如下，
若有且只有两个整数，，使得，且，则，
即，解得，故选C.

2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】
已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
令，则，
在上单调递增，
，故选A.
3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】
已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则：，
，
设，，
故，
由可得，
在上，，为减函数，
在上，，为增函数，
的图像恒过点，
在同一坐标系中作出，的图像，

如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，
则，即，
解得：.
故选：D.
4.【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】
已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】, ,故函数在区间上递增, ,,故函数在上递减.所以,解得,故选B.
5. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】
已知函数，若对任意的,总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得对任意的恒成立，所以，令，得，当时， ；当时， ；所以当时， ，从而，因为，所以当时， ；当时， ；因此当时， ，选C.
6. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】
已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】很明显 ，由题意可得： ，
则由 可得 ，
由题意得不等式： ，
即： ，
综上可得的取值范围是 .
本题选择D选项.
7. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】
已知是方程的实根，则下列关于实数的判断正确有______.
① ② ③ ④
【答案】③.
【解析】令 ，则 ，函数 在定义域内单调递增，
方程即： ，即 ，
结合函数的单调性有： .
本题选择C选项.
8.【衡水中学2019届高三开学二调考试】
已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

令，则，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
则,
所以，令，
则，，
则在区间上，，则单调递减，
又，所以在单调递增，单调递减，
所以，
所以，故选A。
9. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
已知函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．1 【答案】A
【解析】函数f（x）=ex-1+e1-x，则f（x-1）=ex-2+e2-x，
令g（x）=f（x-1）=ex-2+e2-x-（e+e-1），
g′（x）=ex-2-e2-x，令g′（x）=0，解得x=2．
可得：函数g（x）在（-∞，2）上单调递减，（2，+∞）上单调递增．
g（x）min=g（2）=2-（e+e-1）＜0，
又g（1）=g（3）=0．
∴1＜x＜3．
故选：A．
二、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】
已知定义域为的函数，，若存在唯一实数，使得，则实数的值是__________.
【答案】0
【解析】，，
所以时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以.
，，
所以时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以.
所以，当且仅当时，等号成立.
而存在唯一实数，使得，
所以可得，所以.
故答案为：.
2．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】
已知方程恰有四个不同的实数根，当函数时，实数的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】
求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，将方程根的个数转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．
【详解】
函数，
由得，得或，此时为增函数，
由得，得，此时为减函数，
即当时，函数取得极小值，极小值为，
当时，函数取得极大值，极大值为，
当，，且，
作出函数的图象如图：
设，则当时 方程有3个根，当时 方程有2个根，
当或时 方程有1个根，
则方程等价为，
若恰有四个不同的实数根，
等价为有两个不同的根，
当，方程不成立，即，
其中或，
设，
则满足，得，
即，即，
即实数的取值范围是，
故答案为

3. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调】
设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是________.
【答案】
【解析】由题意得，f′（x），f（x0）（x＞0），
即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞），
所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：
y﹣（）＝（）（x﹣x0），
则g（x）＝（）（x﹣x0）+（），
设F（x）＝f（x）﹣g（x）lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，
则F（x0）＝0，
所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）（）

当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，
∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时，
当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；
∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时，
∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．
若x0＝e，0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，
故，
即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”，
综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，
又f（e），所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，
故答案为：．
4.【衡水中学2019届高三开学二调考试】
已知且对任意的恒成立，则的最小值为_____．
【答案】1
【解析】设，则由得： ，当当时， ，当时， ，所以当时， 有唯一极值，也是最小值，所以由对任意的恒成立，得，可得，因为 ，故成立，
令（），，当时， ，当时， ，所以当时， ，所以，故填．
三、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】
已知函数．
（1）若，证明：．
（2）若函数在处有极大值，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）若，，
，由得，由由得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以恒成立；
（2），，
，，
函数在处有极大值，
即，
在处左正右负，且在处连续，
必存在，，
必有，，，
记，
若恒成立，
则在定义域单调递增，
，不合题意，舍去；
若
，在上单调递增，
即，不合题意，舍去；
当单调递增，
，必存在，使得当时，，
此时在单调递减，
必有，，，
即函数在递增，在递减，即函数在处有极大值，
综上所述：
2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】
若函数，，为常数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若有两个极值点分别为，，不等式恒成立，求的最小值.
【答案】(1)①时，的单调增区间为，无单调减区间； ②时，的单调增区间为，，单调递减区间为；(2).
【解析】（1）的定义域为，
①当，，所以，的单调增区间为，无单调减区间；
②当时，，解得，，
所以的单调增区间为，，单调递减区间为
（2）因为有两个极值点为，，
不等式恒成立，
所以，且，，
，
故

所以，
设函数，，
，所以单调递减，
所以，
所以得到，
的最小值为
3．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】
若定义在上的函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，满足，则称比更接近.当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由.
【答案】（1）当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；（2）比更接近，理由见解析.
【解析】（1）函数，
求导得到，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得到，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述，当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）设，
所以，所以在时单调递减，
又因为
所以当时，当时，.
而，设，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
而，所以时，，
所以在时单调递增，且，
所以.
①当时，
设，则
所以在单调递减，.
又因为，所以，
所以
所以比更接近.
②当时，， ，
设，则，
设，，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以
所以在上单调递减，
所以，即，
所以比更接近.
综上所述，当且时，比更接近.
4．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】
已知函数，.
（1）若，求实数取值的集合；
（2）证明：
【答案】（1）.（2）见证明
【解析】（1）由已知，有.
当时，，与条件矛盾；
当时，若，则，单调递减；
若，则，单调递增.
∴在上有最小值
由题意，∴.
令.∴.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∴在上有最大值.∴.
∴.
∴，∴，
综上，当时，实数取值的集合为.
（2）由（1），可知当时，，即在恒成立.
要证，
只需证当时，.
令.则.
令.则.
由，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
即在上单调递减，在上单调递增.
而，，
∴，使得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，，
∴对，恒成立，即.
综上所述，成立.
5．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】
已知函数（）.
（1）若，证明：当时，；
（2）若对于任意的且，都有，求的取值集合.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）当时，，
要证当时，，
即证当时，
令，

当时，，在内单调递减
当时，，在内单调递增，
故.证毕.
(2)先分析端值，当时，，，
要使，需有，即；
当时，，，
要使，需有；
故必须有.
由知其分子恒正，
令，
于是问题等价于当时，；
当时，.
注意到.

①当时，
此时当时，，在单调递减，
于是，这不符合题意；
②当时，，得，.
（i）当时，，，在单调递增，
结合可知符合题意；
（ii）当时，，此时当时，
于是在在单调递减，
故在内，这不符合题意；
（iii）当时，，此时当时，
于是在在单调递减，
故在内，这不符合题意；
综上：符合题意的取值集合为.
6. 【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】
已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）讨论函数的零点个数.
【答案】（1）增区间为，减区间为，极大值为，无极小值，（2）当时，函数没有零点；当或时.函数有1个零点；当时，函数有2个零点.
【解析】由题得，函数的定义域为.
（1）当时，，
所以，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
所以当时，有极大值，
且极大值为，无极小值.
（2）由，得.
当时，恒成立，函数单调递增，
当时，，
又，所以函数有且只有一个零点；
当时，令，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以的极大值为
，
①当，即得时，
解得，此时函数没有零点；
②当，即时，函数有1个零点；
③当，即时，
.
当时，令，
则在上恒成立，
所以，即，
所以，
故当且时，.
当时，有，
所以函数有2个零点.
综上所述：当时，函数没有零点；
当或时.函数有1个零点；
当时，函数有2个零点.
7. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】
设函数．
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）如果恒成立，求实数的最小值．
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）1.
【解析】（Ⅰ）因为，所以 .
当时，恒成立，所以 在区间上单调递增，
所以.
（Ⅱ）因为，
所以.
①当时，由（Ⅰ）知，对恒成立；
②当时，因为，所以.
因此在区间上单调递增，
所以对恒成立；
③当时，令，则，
因为，所以恒成立，
因此在区间上单调递增，
且，
所以存在唯一使得，即.
所以任意时，，所以在上单调递减.
所以，不合题意.
综上可知，的最小值为1.
8．【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】
已知函数，.
（1）若在区间内单调递增，求的取值范围；
（2）若在区间内存在极大值，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得在区间内恒成立，
即在区间内恒成立，
令，则.
当时，，在区间内单调递减；
当时，，在区间内单调递增，故，
所以，所以的取值范围为；
（2）由（1）知当时，在区间内单调递增，则不存在极大值.
当时，，.
，令，则.
令，则，
则易知函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.
又，，
（易证明），
故存在，使得，
存在，使得，
则当时，；当时；当时，，
故在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以当时，取得极大值，即.
由，得，，
由，得，
故，所以.
9．【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】
已知函数的图像与轴相切，.
（1）求证：；
（2）若，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）由题得，设的图像与轴相切于点，则
，即，解得，
所以，则，即为.
设，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，即，
所以；
（2）先证，设，则，
由（1）可知，当时，，从而有，所以单调递增.
又，从而有，即，
所以，即.
再证，因为
，
又由（1）知，，故在单调递增，
则，即，所以.
又，所以.
综上可知，.
10.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】
已知函数.
（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
（2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】（1）由题意知的定义域为，
且.
①当时，，在区间上单调递增，
又，，
∴，即函数在区间有唯一零点；
②当时，，
令，得.
又易知函数在区间上单调递增，
∴恰有一个零点.
③当时，令，得，
在区间上，，函数单调递增；
在区间上，，函数单调递减，
故当时，取得极大值，
且极大值为，无极小值.
若恰有一个零点，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）记函数，，
则函数的两个相异零点为
不妨设，
∵，，
∴，，
两式相减得，
两式相加得.
∵，
∴要证，即证，
只需证，
只需证，
即证，
设，则上式转化为，
设，，
∴在区间上单调递增，
∴，∴，
即，即.
11. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
已知函数的图象的一条切线为轴.
（1）求实数的值；
（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.
【解析】
（Ⅰ），，
设切点坐标为，由题意得
解得
（Ⅱ），令，
则，当时，，，
又可以写成，当时，，．
因此在上大于0，在上单调递增，又，
因此在上小于0，在上大于0，
且在上单调递减，在上单调递增，．
当时，，
记，
记函数的导函数为，则
，
故在上单调递增，
所以，所以，
不妨设，则，
而，，有单调性知，即．
12. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直．
（1）求的单调区间；
（2）设，对任意，证明：．
【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）证明见解析.
【解析】
（1）因为，由已知得，∴．
所以，
设，则，在上恒成立，即在上是减函数，
由知，当时，从而，当时，从而．
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）因为，要证原式成立即证成立，
现证明：对任意恒成立，
当时，由（1）知成立；
当时，，且由（1）知，∴．
设，则，
当时，，当时，，所以当时，取得最大值．所以，即时，．
综上所述，对任意．①
令，则恒成立，所以在上递增，
恒成立，即，即．②
当时，有；当时，由①②式，，
综上所述，时，成立，故原不等式成立
13. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，增区间为，当时，递增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
（1）∵，
∴．
①当时，则，所以在上单调递增；
②当时，则由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意得，
∵当时，函数的图象恒不在轴的上方，
∴在上恒成立．
设，
则.
令，
则，
①若，则，故在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，
∴，
从而，不符合题意．
②若，当时，，在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，
∴,
从而在上，不符合题意；
③若，则在上恒成立，
∴在上单调递减，
∴，
∴在上单调递减，
∴，
从而恒成立．
综上可得实数的取值范围是.
14. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】
已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：

【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时， 恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得，此时单调递减.
综上所述，当时， 在内单调递增；当时， 在内单调递减，在， 内单调递增.
（2）由（1）知， ，所以的两根， 即为方程的两根.因为，所以， ， .又因为， 为的零点，
所以， ，两式相减得，得.而，所以 .
令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，
即的最小值为.
所以.
15. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】
已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直．
（1）求的单调区间；
（2）设，对任意，证明：．
【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）证明见解析.
【解析】
（1）因为，由已知得，∴．
所以，
设，则，在上恒成立，即在上是减函数，
由知，当时，从而，当时，从而．
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）因为，要证原式成立即证成立，
现证明：对任意恒成立，
当时，由（1）知成立；
当时，，且由（1）知，∴．
设，则，
当时，，当时，，所以当时，取得最大值．所以，即时，．
综上所述，对任意．①
令，则恒成立，所以在上递增，
恒成立，即，即．②
当时，有；当时，由①②式，，
综上所述，时，成立，故原不等式成立
16. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】
设函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）由，可知 .
因为函数的定义域为，所以，
①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；
②若时，当在内恒成立，函数单调递增；
③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.
（2）证明：由题可知 ，
所以 .
所以当时，；当时，；当时，.
欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.
设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，
则
两式相减并整理得 ，
从而，
故只需证明，
即.
因为，
所以（*）式可化为，
即.
因为，所以，
不妨令，所以得到，.
记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.
又，
因此，，
故，得证，
从而得证.
17. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】
已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）讨论函数的零点的个数。
【答案】(1)见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）证明：当时，，则.
由.得.
当时，；当时，，
所以函数在区间内是减函数.在区间内是增函数，
所以是的极小值点，也是最小值点.且，
故当时.恒成立.
（2）解：据题意，得.
①当时，恒成立.则函数在上是减函数。
又，所以函数有且只有一个零点.
②当时.由，得.
当时，；
当时，，
所以在区间内是减函数，在区间内是增函数.
所以是函数的极小值点，也是最小值点，
即.
令，
则，
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数在区间内是增函数，在区间内是减函数，
从而是函数的极大值点.也是最大值点，所以，
即（当且仅当时取等号）
当，即时，函数只有一个零点
当，即，且时，分和两种情况讨论：
（i）当时，，因为，所以在区间内有一个零点；又，因此有两个零点.
（ii）当时，；
由（1），得.即，亦即.
令.则得，即，
所以，
所以在区间内有一个等点.
又，
因此函数有两个零点.
由（i）和（ii），得当或时，函数有两个零点.
综上，当或时，函数只有一个零点；
当.且时，函数有两个零点。
18. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】
设函数.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值.
【答案】（1）（2） （3）
【解析】
(1)依题意，知的定义域为，
当时，，
，
令，解得.(∵)
因为 有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以的极大值为，此即为最大值.
(2)，，则有，在上恒成立，
所以，.
当时，取得最大值，所以.
(3)因为方程有唯一实数解，
所以有唯一实数解，
设，
则，令，，
因为，，所以(舍去)，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，取最小值.
则，即，
所以，因为，所以(*)
设函数，因为当时，
是增函数，所以至多有一解，
因为，所以方程(*)的解为，即，解得.
19. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
已知函数（）．　
（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且有两个极值点， （），求取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）的定义域为， 在定义域内单调递增，
，即在上恒成立，
由于，所以，实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时有两个极值点，此时， ，∴，
因为，解得，
由于，于是
.
令，则，
∴在上单调递减，
.
即.
故的取值范围为.
20. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】
已知函数，其中a∈R.
（1）若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）的结论下，若关于x的不等式，当x≥1时恒成立，
求t的值.
【答案】(1) ； (2).
【解析】
（1），
当x=1时，，解得a=1.
经验证a=1满足条件.
（2）当a=1时，，
整理得t<(x+2)ln(x+1)-x.
令h(x)=(x+2)ln(x+1)-x，
则
所以，即t<3ln2-1∈(0,2).又因为
所以t=1.