高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题03 导数与应用（第02期）（解析版）

这是一份高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题03 导数与应用（第02期）（解析版），共54页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)
专题03　导数与应用
一、选择题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，
设，.
由.
可知在上为减函数，在上为增函数，
的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如下，
若有且只有两个整数，，使得，且，则，
即，解得，故选C.

2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数在处的切线方程为，则，的值为( )
A．2,1 B．-2，-1 C．3,1 D．-3，-1
【答案】C
【解析】将代入切线，
得到切点坐标为，
将代入到函数解析式中，得到，
所以，
求导得，
代入得，
所以，得.
故选：C.
3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数，则定积分的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以

的几何意义为以为圆心，以为半径的圆，在x轴上方的部分
因而
所以
所以选A
4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
令，则，
在上单调递增，
，故选A.
5. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则：，，
设，，
故，由可得，
在上，，为减函数，在上，，为增函数，
的图像恒过点，在同一坐标系中作出，的图像，

如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，
则，即，
解得：.
故选D.
6. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数在处的切线方程为，则，的值为( )
A．2,1 B．-2，-1 C．3,1 D．-3，-1
【答案】C
【解析】将代入切线，
得到切点坐标为，
将代入到函数解析式中，得到，
所以，
求导得，
代入得，
所以，得.
故选：C.
7. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数在上单调递减，则的最小值是（ ）
A． B．-1 C． D．
【答案】A
【解析】由，又在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立.又当时，，故，所以的最小值为.
故答案选A
8. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数为偶函数，且时，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数函数为偶函数，
所以可得关于成轴对称，
所以，
当时，，
所以
设，则，
当，，单调递减，
，
即，所以在上单调递减，
在上单调递增，
所以不等式的解集为.
故选：B.
9. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
令，则，
在上单调递增，
，故选A.
10. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则：，，
设，，
故，由可得，
在上，，为减函数，在上，，为增函数，
的图像恒过点，在同一坐标系中作出，的图像，

如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，
则，即，
解得：.
故选D.
11. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数，对于任意，，不等式恒成立，则整数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
设，则有且，即恒成立，
即，令，
则在上单调递增，即恒成立，
即，，得，
下证成立：
，易证当时，，
考查函数：，则，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，函数的最小值为，
据此可得：，
当时，，
故成立.
故选C.
12. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数是定义在上的函数，所以有，
不等式可变形为： ，
构造函数 ， ，所以在上单增，由 ，可得 ，故选A.
13. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得恒成立，
令，则，
若，，单调递增，当时，不合题意；
若，当时，，单调递减，当时，
，单调递增，所以最小值为.
，
，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
即的最大值为.
故选：B.
14. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知定义在上的函数，恒为正数的符合，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，，，，选D．
15. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，即，即.又为奇函数，.，.，.由点斜式得曲线在点处的切线方程为.
16. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由已知有，两边同时除以，化简有，而，构造函数，令 令 ，所以函数在上为增函数，在上为减函数，由对于恒成立，即在为增函数，则，故 的最大值为1，选C.
17. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（　　）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
【答案】C
【解析】由题意，，，则曲线在点处的切线斜率为4，由于切线与直线垂直，则，解得.
故选C.
18. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知函数，若当 时，有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，则导数，
所以函数在上递减，在上递增，
当时，，又由，，，
当 时，有解，即函数和的图象有交点，如图所示，
又因为在点的切线的斜率为，所以．

19. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】函数为上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为
A．等腰锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
【答案】D
【解析】函数的导数，
则，
则，则，
则，
，
，
，即，
则，得，
，即，
则，则，
则，
则，
即是等腰钝角三角形，
故选D．
20. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】若f（x）＝ex+ae﹣x是定义在R上的奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝x C．y＝﹣2x D．y＝2x
【答案】D
【解析】∵函数是定义在上的奇函数，
∴，得，
∴，
∴，
∴，，
∴曲线在点处的切线方程为，
故选：D．
21. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
所以在，上是增函数，在上是减函数，
结合的图象

可得，又，
设，则，
所以在上是减函数，在上是增函数，
由，，，
可得的取值范围是
故选：A
22. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】已知函数的最小值分别为，则（ ）
A． B． C． D．的大小关系不确定
【答案】A
【解析】由题意得：，
易得，设，可得，可得，由与图像可知存在，使得，可得当，，当，，可得得最小值为，即；
同理：，
设，可得或者，由与得图像可知，存在，使得，可得当时，，当时，，当时，，可得即为得最小值，可得，故，
故选：A.
23. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知函数的定义域为，
.
因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.
令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.
故选：C
二、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知定义域为的函数，，若存在唯一实数，使得，则实数的值是__________.
【答案】0
【解析】，，
所以时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以.
，，
所以时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以.
所以，当且仅当时，等号成立.
而存在唯一实数，使得，
所以可得，所以.
故答案为：.
2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知方程恰有四个不同的实数根，当函数时，实数的取值范围是____.
【答案】
【解析】函数，
由得，得或，此时为增函数，
由得，得，此时为减函数，
即当时，函数取得极小值，极小值为，
当时，函数取得极大值，极大值为，
当，，且，
作出函数的图象如图：
设，则当时 方程有3个根，当时 方程有2个根，
当或时 方程有1个根，
则方程等价为，
若恰有四个不同的实数根，
等价为有两个不同的根，
当，方程不成立，即，
其中或，
设，
则满足，得，
即，即，
即实数的取值范围是，
故答案为

3. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是________.
【答案】
【解析】由题意得，f′（x），f（x0）（x＞0），
即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞），
所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：
y﹣（）＝（）（x﹣x0），
则g（x）＝（）（x﹣x0）+（），
设F（x）＝f（x）﹣g（x）lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，
则F（x0）＝0，
所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）（）

当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，
∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时，
当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；
∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时，
∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．
若x0＝e，0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，
故，
即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”，
综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，
又f（e），所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，
故答案为：．
4. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知曲线y＝|lnx|与直线y＝m有两个不同的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1＜x2），设直线l1，l2分别是曲线y＝|lnx|在点P1，P2处的切线，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B．△P2AB为等边三角形，则实数m的值为_____．
【答案】
【解析】由曲线与直线有两个不同的交点，可得，即有，，
由的导数为，可得切线的斜率为，切线的方程为，
令得，即，
由的导数为，可得切线的斜率为，切线的方程为，
令得，即，则，
由△为等边三角形，可得，
则，
故答案为：．
5. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】对于三次函数，定义：设是的导数，若方程有实数解，则称为函数的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则______；______.
【答案】
【解析】，，，
令，得，又，
所以，三次函数图象的对称中心坐标为，即，
所以，，
，
因此，.
故答案为：；.
6. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】函数和有相同的公切线，则实数a的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线，
y＝x2﹣1的导数y′＝2x，y＝alnx﹣1的导数为y′，
设y＝x2﹣1相切的切点为（n，n2﹣1）与曲线y＝alnx﹣1相切的切点为（m，alnm﹣1），
y﹣（n2﹣1）＝2n（x﹣n），即y＝2nx﹣n2﹣1，
y﹣（alnm﹣1）（x﹣m），即：y
∴
∴，
∴
即有解即可，
令g（x）＝x2（1﹣lnx），
y′＝2x（1﹣lnx）x（1﹣2lnx）＝0，可得x，
∴g（x）在（0，）是增函数；（，+∞）是减函数，
g（x）的最大值为：g（），
又g（0）＝0，
∴，∴a≤2e．
故答案为：（﹣∞，2e]．
7. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】函数的图象在点处的切线方程为_____．
【答案】
【解析】当时，函数的导数为，
可得切线的斜率为，切点为，
则切线的方程为，即为．
故答案为：．
8. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】若函数只有一个极值点，则k的取值范围为___________.
【答案】
【解析】函数只有一个极值点，
，
若函数只有一个极值点，只有一个实数解，
则：，
从而得到：，
当 时，成立．
当时，设，，
当两函数相切时，，此时得到的最大值，但时不成立．
故的取值范围为：，
综上：的取值范围为：.
故答案为：．

三、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知函数．
（1）若，证明：．
（2）若函数在处有极大值，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）若，，
，由得，由由得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以恒成立；
（2），，
，，
函数在处有极大值，
即，
在处左正右负，且在处连续，
必存在，，
必有，，，
记，
若恒成立，
则在定义域单调递增，
，不合题意，舍去；
若
，在上单调递增，
即，不合题意，舍去；
当单调递增，
，必存在，使得当时，，
此时在单调递减，
必有，，，
即函数在递增，在递减，即函数在处有极大值，
综上所述：
2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）因为，所以函数，
所以，即切点为
所以，
代入，得到，
故所求的切线方程为，
即.
（2）对任意的，，恒成立，
可得，对任意的，恒成立，
，令得或，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
而，，所以，
所以，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
设，，则
，
设，
因为，所以，所以单调递增，
即单调递增，而，
所以当，，单调递减，
当，,单调递增，
所以时，取得最小值，为，
所以.
3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数，，为常数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若有两个极值点分别为，，不等式恒成立，求的最小值.
【答案】(1)①时，的单调增区间为，无单调减区间； ②时，的单调增区间为，，单调递减区间为；(2).
【解析】（1）的定义域为，
①当，，所以，的单调增区间为，无单调减区间；
②当时，，解得，，
所以的单调增区间为，，单调递减区间为
（2）因为有两个极值点为，，
不等式恒成立，
所以，且，，
，
故

所以，
设函数，，
，所以单调递减，
所以，
所以得到，
的最小值为
4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若定义在上的函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，满足，则称比更接近.当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由.
【答案】（1）当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；（2）比更接近，理由见解析.
【解析】（1）函数，
求导得到，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得到，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述，当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）设，
所以，所以在时单调递减，
又因为
所以当时，当时，.
而，设，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
而，所以时，，
所以在时单调递增，且，
所以.
①当时，
设，则
所以在单调递减，.
又因为，所以，
所以
所以比更接近.
②当时，， ，
设，则，
设，，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以
所以在上单调递减，
所以，即，
所以比更接近.
综上所述，当且时，比更接近.
5. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数，.
（1）若，求实数取值的集合；
（2）证明：
【答案】（1）.（2）见证明
【解析】（1）由已知，有.
当时，，与条件矛盾；
当时，若，则，单调递减；
若，则，单调递增.
∴在上有最小值
由题意，∴.
令.∴.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∴在上有最大值.∴.
∴.
∴，∴，
综上，当时，实数取值的集合为.
（2）由（1），可知当时，，即在恒成立.
要证，
只需证当时，.
令.则.
令.则.
由，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
即在上单调递减，在上单调递增.
而，，
∴，使得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，，
∴对，恒成立，即.
综上所述，成立.
6. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数（）.
（1）若，证明：当时，；
（2）若对于任意的且，都有，求的取值集合.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）当时，，
要证当时，，
即证当时，
令，

当时，，在内单调递减
当时，，在内单调递增，
故.证毕.
(2)先分析端值，当时，，，
要使，需有，即；
当时，，，
要使，需有；
故必须有.
由知其分子恒正，
令，
于是问题等价于当时，；
当时，.
注意到.

①当时，
此时当时，，在单调递减，
于是，这不符合题意；
②当时，，得，.
（i）当时，，，在单调递增，
结合可知符合题意；
（ii）当时，，此时当时，
于是在在单调递减，
故在内，这不符合题意；
（iii）当时，，此时当时，
于是在在单调递减，
故在内，这不符合题意；
综上：符合题意的取值集合为.
7. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）因为，所以函数，
所以，即切点为
所以，
代入，得到，
故所求的切线方程为，
即.
（2）对任意的，，恒成立，
可得，对任意的，恒成立，
，令得或，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
而，，所以，
所以，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
设，，则
，
设，
因为，所以，所以单调递增，
即单调递增，而，
所以当，，单调递减，
当，,单调递增，
所以时，取得最小值，为，
所以.
8. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数.
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）令，若对任意的x＞0，a＞0，恒有f（x）≥g（a）成立，求实数k的最大整数.
【答案】（1）见解析（2）7
【解析】（1）此函数的定义域为，
（1）当时， 在上单调递增，
（2）当时， 单调递减， 单调增
综上所述：当时，在上单调递增
当时， 单调递减， 单调递增.
（2）由（Ⅰ）知
恒成立，则只需恒成立，
则
，
令则只需
则 单调递减，
单调递增，
即的最大整数为
9. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数.
（Ⅰ）若，求实数取值的集合；
（Ⅱ）证明：.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ）由已知，有
当时，，与条件矛盾,
当时，若，则，单调递减,若，则，则单调递增.
所以在上有最小值，
由题意，所以.
令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在上有最大值，所以，，，，
综上，当时，实数取值的集合为；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：时，，即在时恒成立.
要证，只需证当时，
令
，令，
则，令，解得，
所以，函数在内单调递减，在上单调递增.
即函数在内单调递减，在上单调递增.
而.
存在，使得
当时，单调递增；当时，单调递减.
当时，单调递增，
又，
对恒成立，即，
综上可得：成立.
10. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数，.
（1）求在区间上的值域；
（2）是否存在实数，对任意给定的，在存在两个不同的使得，若存在，求出的范围，若不存在，说出理由.
【答案】（1）（2）满足条件的不存在，详见解析
【解析】（1），时，，单调递增，
时，，单调递减，
，，，
∴在上值域为.
（2）由已知得，且，
当时，，在上单调递增，不合题意．
当时，，在上单调递减，不合题意．
当时，得．
当时，单调递减，
当时，，单调递增，∴.
由（1）知在上值域为，而，
所以对任意，在区间上总有两个不同的，使得.
当且仅当，即，
由（1）得.
设，，
，
当，，单调递减，∴.
∴无解.
综上，满足条件的不存在.
11. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；
（Ⅱ）若在处取得极大值，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，若函数有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为．．
因为曲线在点处的切线与x轴平行，
所以，解得．此时，所以的值为．
（Ⅱ）因为，
①若，
则当时，，所以；
当时，，所以．
所以在处取得极大值．
②若，则当时，，
所以．所以不是的极大值点．
综上可知，的取值范围为．
（Ⅲ）当时，，
，
当时，函数，不可能3个零点；
①当时，令，解得：，
令，得，则在区间上单调递增；
令，解得：或，则在区间和上单调递减；
由于当时，恒成立，， ，则当时， 恒成立，所以函数最多只有两个零点，即不满足题意；
②当时，令，解得：，
令，得：或，则在区间和上单调递增；
令，解得：，则在区间上单调递减；
要使函数有3个零点，则 ，解得：
综上所述的取值范围为 ．
12. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知函数.
（1）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；
（2）已知函数，，若是的极大值点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）若不等式在上有解，则.
因为，
所以.
令，，则易知在上单调递减，且，.故存在，使得在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以，当时，，
故实数的取值范围为.
（2）由题意知，
所以，.
记，
则，
所以，仅在在区间上单调递减.
若是的极大值点，则，
且，
所以，
记，
则.
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，易知，，，
所以，当时，，
所以，，
即的取值范围为.
13. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知函数，其中，为自然对数的底数.
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
【答案】（Ⅰ）当时，；当时，；
当时，.（Ⅱ）的范围为.
【解析】（Ⅰ）
①当时，，所以.
②当时，由得.
若，则；若，则.
所以当时，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，所以.
（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，
在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则不可能恒为正，也不可能恒为负.
故在区间内存在零点.
同理在区间内存在零点.
所以在区间内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.
当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.
所以.
此时，在上单调递减，在上单调递增，
因此，必有
.
由得：，有
.
解得.
当时，在区间内有最小值.
若，则，
从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.
又，
故此时在和内各只有一个零点和.
由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以，，
故在内有零点.
综上可知，的取值范围是.
14. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知函数，其中为常数.
（1）若时，求函数在点处的切线方程；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2x-y+1=0；（2）.
【解析】（1），，，又因为切点（0,1）
所以切线为2x-y+1=0
(2) 令，由题得在恒成立， ，所以
①若，则时，所以函数在上递增，所以
则，得
②若，则当时，当时，所以函数在上递减，在上递增，所以，又因为，所以不合题意.
综合得.
15. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知函数f(x)＝mx-lnx-1（m为常数）．
（1）若函数f(x)恰有1个零点，求实数m的取值范围；
（2）若不等式mx-ex≤f(x)+a对正数x恒成立，求实数a的最小整数值．
【答案】（1）{m|m≤0或m=1}（2）实数a的最小整数值为-1
【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
函数f（x）恰有1个零点⇔方程f（x）=0仅有一个正实数解，
由f（x）=0，得，
设g（x），则，
令g′（x）＞0．得0＜x＜1，
令g′（x）＜0，得x＞1，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=1处取得唯一的极大值，即为最大值，
故g（x）的最大值为g（1）=1．
当x趋近于0时，lnx+1趋近于-∞，
所以g（x）为负数，
当x趋近于+∞时，x的增长速度大于lnx+1的增长速度，
且当x＞1时，
故g（x）趋近于0，
由图可知，当m≤0或者m=1时，方程m=g（x）仅有一个实数解，
∴m的取值范围为{m|m≤0或m=1}；
（2）∵mx-ex≤f（x）+a，
∴lnx-ex≤a-1，
设h（x）=lnx-ex，
∴
又∵在（0，+∞）上为减函数，h′（1）=1-e＜0，，
∴存在唯一的零点，
此时h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
且=0，
∴，x0=-lnx0，
由单调性知=-（x0+），
又，故，
∴mx-ex≤f（x）+a对任意正数x恒成立时，a-1≥-2，
∴a≥-1，
∴实数a的最小整数值为-1．

16. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考数学（文)】设函数.
（1）讨论函数的极值;
（2）若为整数,,且,不等式成立，求的最大值.
【答案】（1）当时，函数无极值；当时，有极大值，无极小值；（2）2
【解析】（1）因为，所以，
当时，恒成立，因此在上单调递减，此时无极值；
当时，由得；由得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此有极大值；
综上所示，当时，函数无极值；当时，有极大值，无极小值；
（2）当时，，
所以不等式可化为，
因此,不等式成立，可化为恒成立；
令，，
则，
令，
则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即；
所以当时，，即，单调递减；
当时，，，单调递增；
所以，
因此只需，即的最大值为
17. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)的定义域为，
对于函数，
①当时，即时，在恒成立.
在恒成立.
在为增函数；
②当，即或时，
当时，由，得或，，
在为增函数，减函数.
为增函数，
当时，由在恒成立，
在为增函数。
综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数。
（2），
存在不动点，方程有实数根，即有解，
令，，
令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
，
当时，有不动点，
的范围为.
18. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知函数,.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）令两个零点，证明：.
【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）见证明
【解析】（Ⅰ）由题意，函数，则，且，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）由有两个零点可知
由且可知，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调增；
即的最小值为，
因此当时，，
可知在上存在一个零点；
当时，，
可知在上也存在一个零点，
因此，即.
19. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】设，.已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：在处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.
【答案】（I）单调递增区间为，，单调递减区间为.（II）（i）见解析.（ii）.
【解析】（I）由，可得
，
令，解得，或.由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：












所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（II）（i）因为，由题意知，
所以，解得.
所以，在处的导数等于0.
（ii）因为，，由，可得.
又因为，，故为的极大值点，由（I）知.
另一方面，由于，故，
由（I）知在内单调递增，在内单调递减，
故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.
由，得，.
令，，所以，
令，解得（舍去），或.
因为，，，故的值域为.
所以，的取值范围是.
20. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）试问是否存在，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析；(2) 存在；的取值范围为.
【解析】（1），.
当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，在上单调递增
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增.
（2）假设存在，使得对恒成立.
则，即，
设，则存在，使得，
因为，所以在上单调递增，
因为，所以时即.
又因为对恒成立时，需，
所以由（1）得：
当时，在上单调递增，所以，
且成立，从而满足题意.
当时，在上单调递减，在，上单调递增，
所以
所以（*）
设，，则在上单调递增，
因为，
所以的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为，
所以即.
综上，存在，使得对恒成立，且的取值范围为.
21. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知函数（为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)问：是否存在实数,使得有两个相异零点？若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ①当时，函数无极值.②当时,函数有极小值为,无极大值；(2)存在,
【解析】(1)因为,所以.
①当时，，
所以时,,所以函数在上单调递减.
此时，函数无极值.
②当时,令，得,
当时,,所以函数在上单调递减；
当时,,所以函数在上单调递增.
此时,函数有极小值为,无极大值.
(2)存在实数,使得有两个相异零点.
由(1)知：①当时,函数在上单调递减；
又,所以此时函数仅有一个零点；
②当时，.
因为,则由（1）知；
取,令,
易得,所以在单调递减,
所以,所以.
此时,函数在上也有一个零点.
所以,当时,函数有两个相异零点.
③当时,,，
此时函数仅有一个零点.
④当时,,因为,则由(1)知；
令函数,易得,
所以,所以,即.
又,所以函数在上也有一个零点,
所以,当时,函数有两个相异零点.
综上所述,当时,函数有两个相异零点.
22. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知函数，且曲线的切线．
（1）求实数的值以及切点坐标
（2）当时，求证：．
【答案】（1），切点的坐标为；（2）证明见详解.
【解析】（1）由题得，的定义域为，
设切点为，
则切线为，
即，
从而
消去，得，
记，
则，显然单调递减且，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
故当且仅当时，取到最大值，
而，
，切点的坐标为.
（2）记，
则，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
，
，即．①
记，
则
，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
，即，
，即，
由①②，得．
23. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知函数.
（1）若函数在上有2个零点，求实数的取值范围.（注）
（2）设，若函数恰有两个不同的极值点，，证明：.
【答案】（1）（2）见证明
【解析】（1）时，由得，
令
∴时，，
时，，
∴在上是减函数，在上是增函数.
又，，
，
∴，∴h（x）的大致图像：

利用与的图像知.
（2）由已知，∴，
因为，是函数的两个不同极值点（不妨设），
易知（若，则函数没有或只有一个极值点，与已知矛盾），
且，.所以，.
两式相减得，
于是要证明，即证明，两边同除以，
即证，即证，
即证，
令，.即证不等式，当时恒成立.
设，则 .
设，则，
当时，，
单调递减，所以，即，所以，
所以在时是减函数.故在处取得最小值.
所以得证.所以.
24. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】已知函数.
（1）若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）由得，
有两个不同的极值点，，则有两个不同的零点，
即方程有两个不同的实根，
即直线与的图象有两个不同的交点，
设，则，
时，单调递增，且的取值范围是；
时，单调递减，且的取值范围是，
所以当时，直线与的图象有两个不同的交点，
有两个不同的极值点，，
故实数的取值范围是.
（2）由（1）知，设，则，
由得，
所以要证，只需证，
即证，即证，
设，即证，即证，
设，则，
所以在是增函数，，
所以，从而有.