高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题06 数列与不等式（解析版）

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)

                          专题06　数列、不等式

一、选择题

1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】

等差数列的前项和为，若，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于是等差数列，故成等差数列，所以，即，解得.

故选：B.

2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】

若函数为偶函数，且时，则不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为函数函数为偶函数，

所以可得关于成轴对称，

所以，

当时，，

所以

设，则，

当，，单调递减，

，

即，所以在上单调递减，

在上单调递增，

所以不等式的解集为.

故选：B.

3. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】

已知实数满足若恒成立，那么的取值范围是(  )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意,实数满足，即，

作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

又因为函数的图象是过点，斜率为的直线，

要使得不等式恒成立，即恒成立，

结合图象可知，当直线过点时，斜率取得最小值 ，

所以实数的取值范围是，故选D.

4.【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试】

已知等差数列的公差不为零，其前项和为，若，，成等比数列，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，知，，成等比数列，所以，

即，

整理得，所以，解得，

所以＝，

故选C.

5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】

已知等比数列中，，，则（    ）

A．    B．-8    C．8    D．16

【答案】C

【解析】由题意可得, ,又同号,所以,则,故选C.

6. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】

朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为

A．14    B．16    C．18    D．20

【答案】B

【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位需要n天，则.解得n=16.故选B.

7. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】

已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（    ）

A．    B．3    C．    D．4

【答案】C

【解析】

∵是公差为1的等差数列，，

∴

解得，则，故选C.

8. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】

已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，

在点或点处取得最小值，即.

题中的不等式即：，

则：恒成立，

原问题转化为求解函数的最小值，

整理函数的解析式有：

，

令，则，

令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，

且，据此可得，当时，函数取得最大值，

则此时函数取得最小值，最小值为：.

综上可得，实数的最大值为.

本题选择A选项.

9. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】

已知， ， ， 成等差数列， ， ， ， ， 成等比数列，则的值是（  ）

A．    B．    C．或    D．

【答案】A

【解析】依题意可知,所以.

10. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】

电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（  ）

A．6，3    B．5，2    C．4，5    D．2，7

【答案】A

【解析】依题意得,目标函数为,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值.故选A.

11. . 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】

已知数列，，且，，则的值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】由递推公式可得：

当 为奇数时， ，数列 是首项为1，公差为4的等差数列，

当 为偶数时， ，数列 是首项为2，公差为0的等差数列，

本题选择C选项.

12. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】

已知数列的前项和为，正项等比数列中，    ，，则(    )

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n，

∴a1=S1=0，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2，n=1时也成立．

∴an=2n﹣2．

设正项等比数列{bn}的公比为q＞0，b2=a3=4．

bn+3bn﹣1=4bn2（n≥2，n∈N+），

∴=4，化为q2=4，解得q=2．

∴b1×2=4，解得b1=2．

∴bn=2n．

则log2bn=n．

故答案为：D

13. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】

设，满足约束条件，则的取值范围是（  ）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数，

其中表示可行域内的点与点连线的斜率，

结合目标函数的几何意义可知目标函数在点和点处取得临界值，

在点处，目标函数，

在点处，目标函数，

即的取值范围是.

本题选择A选项.

14. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】

已知为等比数列,,,则（ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】：，由等比数列性质可知

15. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】

已知函数，数列满足，，若要使数列成等差数列，则的取值集合为（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

因为，所以若数列成等差数列，则当为直线与直线交点横坐标时，即.此时数列以为首项，为公差的等差数列；当，即或即或，数列以为公差的等差数列，因此的取值集合为.

二、填空题

1. 【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】

已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.

【答案】

【解析】设数列的公比为q，由，，

得，所以或，

又因为，所以，

从而，

所以.

令，

又因为，所以.

故答案为:6

2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】

若实数满足约束条件，则的最小值是____.

【答案】－ln3

【解析】由实数x，y满足约束条件作出可行域如图所示，联立，解得B（3,1），

由目标函数z＝lny﹣lnx＝ln，而的最小值为＝，∴z＝lny﹣lnx的最小值是﹣ln3．

故答案为﹣ln3．

3. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】

已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为______．

【答案】4

【解析】当时，，得，

当时，，

又，

两式相减得，得，所以．

又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．

因为，所以不等式，等价于．

记，

时，．

所以时，．

所以，所以整数的最大值为4．

4．【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】

已知实数满足不等式组则目标函数的最大值与最小值之和为__________．

【答案】

【解析】令t=2x,则x=,原可行域等价于,作出可行域如图所示,经计算得的几何意义是点P(t,y)到原点O的距离d的平方,由图可知,当点P与点C重合时,d取最大值;d的最小值为点O到直线AB:t-y-1=0的距离,故,所以的最大值与最小值之和为,故填.

5.  【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】

观察下列各式：

；

；

；

；

……

若按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则的值为__________．

【答案】

【解析】由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，

设第n个式子的第一个数为an，则有a2﹣a1=3﹣1=2，

a3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），

以上（n﹣1）个式子相加可得an﹣a1=，

故an=n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，

故可知2017在第45个式子，

故答案为：45

6. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】

若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列.类比上述性质,若数列是各项都为正数的等比数列,对于时，数列也是等比数列，则

【答案】

【解析】：等差数列中的和类别为等比数列中的乘积，是各项的算术平均数，类比等比数列中是各项的几何平均数，因此

7. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】

已知是区间上的任意实数,直线与不等式组表示的平面区域总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为__________．

【答案】

【解析】由题意直线直线的方程即为，

∴直线的斜率为，且过定点．

画出不等式组表示的可行域如图所示．

由解得，故点，此时．

当时，直线的方程为，即，

由解得，故点，如图所示．

结合图形可得要使直线与不等式组表示的平面区域总有公共点，只需满足．

∴直线的斜率

∴直线的倾斜角的取值范围为．

8. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】

已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=_____．

【答案】

【解析】

作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则．则．故本题应填．

9.【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】

已知数列，若数列的前项和，则的值为________.

【答案】16

【解析】据题意，得，

所以当时，.

两式相减，得.所以当时，，故.

10. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】

已知数列的前项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为__.

【答案】4

【解析】

试题分析：当时，得，；

当时，，两式相减得，得，所以．

又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．

因为，所以不等式，等价于．

记，时，．所以时，．

所以，所以整数的最大值为4．

11. 【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】

若等差数列满足，则当__________时， 的前项和最大．

【答案】8

【解析】由条件知道，因为数列是等差数列，故公差小于0或者大于0，

故得到 符号相反，故，故数列中前8项大于0，从第九项开始小于0，故得到前8项的和最大。

三、解答题

1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】

已知单调等比数列中，首项为 ，其前n项和是，且成等差数列,数列满足条件

(Ⅰ) 求数列、的通项公式；

(Ⅱ) 设 ,记数列的前项和 .

①求 ;②求正整数，使得对任意，均有 .

【答案】(Ⅰ) ；；

(Ⅱ)①见解析；②见解析.

【解析】 (Ⅰ)设. 由已知得   即

进而有.  所以，即  ，则，

由已知数列是单调等比数列，且 所以取，

数列的通项公式为.

∵ ，  ∴ 则.

数列的通项公式为.

 (Ⅱ)由(Ⅰ)得

①设，的前项和为.则.

又设，的前项和为.

则.

所以

②令 .

由于比变化快，所以令得.

即递增，而递减.所以，最大.

即当时，.

2. 【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】

在数列中，有.

（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；

（2）记，求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析，，(2)

【解析】（1）因为，

所以当时，，

上述两式相减并整理，得.

又因为时，，适合上式，

所以.从而得到，

所以，

所以数列为等差数列，且其通项公式为.

（2）由（1）可知，.

所以

.

3. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】

已知等差数列前5项和为50，，数列的前项和为，，.

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足,，求的值.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．

依题意得 解得，，

所以.

 当时，，

当时，，

，

以上两式相减得，则，

又，所以，.

所以为首项为1，公比为4的等比数列，

所以．

（Ⅱ）因为，

当时，，

以上两式相减得， 所以，.

当时，，所以，不符合上式，

所以 .    

4.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】

已知数列的前项和恰好与的展开式中含项的系数相等.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，求.

【答案】(1) (2)

【解析】（1）依题意得，

故当时，，

又当时，，也适合上式，

故.

（2）由（1）得

，

故

.

5. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】

数列满足，（）.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的前999项和.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）数列满足：，（）

，

所以，，

即，数列是以为首项，为公差的等差数列；

（2）由（1）得，解之得：；

所以，

于是，

6. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】

已知等差数列中，公差，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由题意可得即

又因为，所以所以.

（2）因为，所以

.

因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.

又（当且仅当时取等号）.

所以，即实数的取值范围是.

7. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】

已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，设数列的前项和为，求.

【答案】(1)，.(2).

【解析】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

∵，，，，

∴

∴，，

∴，.

（2）由（1）知

∴

∴

8.【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】

已知数列的前项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）当时，，所以；

当时，，则，

即.又因为，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以.

（2）由（1）得，所以， ①

， ②

②①，得 ，

所以.

9.【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】

设为数列的前项和，且，，.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）求.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

（1）因为，所以，

即，则，

所以，又，故数列为等比数列.

（2）由（1）知，所以，

故.

设，

则，

所以 ，

所以，

所以.

10. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】

各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有.

(1)求常数的值；

(2)求数列的通项公式；

(3)记，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

解：(1)由及，得：，

∴.

(2)由①，得②

由②－①，得，

即：，

∴，

由于数列各项均为正数，∴，即，

∴数列是首项为1，公差为的等差数列，

∴数列的通项公式是.

(3)由，得：，∴，

∴

，

.