高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题13 选讲部分（解析版）

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)

                          专题13　选讲部分

一、解答题

1. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线交于点，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）曲线的极坐标方程可以化为：，

所以曲线的直角坐标方程为：，

曲线的极坐标方程可以化为：，

所以曲线的直角坐标方程为：；

（2）因为点的坐标为，的倾斜角为,

所以的参数方程为：（为参数），

将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到：，

整理得：，判别式，

中点对应的参数为，所以线段中点到点距离为.

2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】

已知函数，．

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析:(1)零点分区间去掉绝对值，分段求解；（2）原题等价于的值域包含的值域，，，所以.

详解：

（Ⅰ）由，

①当时，，得，即；

②当时，，得，即；

③当时，，得，即；

综上：不等式的解集是；

（Ⅱ）对任意的，存在，使得成立，

即的值域包含的值域，由知，，

由，且等号能成立，

所以，所以，即的取值范围为.

3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】

在平面直角坐标系中，圆：，直线：，直线过点，倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）写出直线与圆的交点极坐标及直线的参数方程；

（2）设直线与圆交于，两点，求的值.

【答案】（1）（2）1

【解析】（1）联立方程 ，

解得，.

所以当时，；

当时，，

所以交点的直角坐标分别为，，

则对应的极坐标为，.

由题得，直线的参数方程为（为参数）.

（2）将的参数方程代入圆的方程中，

得，

化简整理，得，且，

设点，分别对应参数，，

所以，

又由，的几何意义可知，.

4．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】

已知函数.

（1）当时，作出函数的图象，并写出不等式的解集；

（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）当时，

，

作出的函数图象如下：

从图中可知，不等式的解集为.

（2）因为，

所以，

所以转化为，

即得对恒成立，

即或，

也就是或对恒成立，

所以或，

故实数的取值范围为.

5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】

在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.

（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；

（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.

【答案】(1) (2)

【解析】（1）由，

得，

即，

故直线的直角坐标方程为.

由

得

所以圆的普通方程为.

若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，

故实数的取值范围为.

（2）因为直线的倾斜角为，且过点，

所以直线的参数方程为（为参数），①

圆的方程为，②

联立①②，得，

设两点对应的参数分别为，

则，，

故.

6. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】

已知函数.

（1）解不等式；

（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）依题意，得

由，得或或

解得.

即不等式的解集为.

（2）由（1）知，，

，

则，

解得，

即实数的取值范围为.

7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】

设函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)当的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）当a=1时，，

可得的解集为

（2）当时，

,

因为，

所以.

所以，所以.

所以a的取值范围是[-3，-1]

8. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】

在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）当时，直线的参数方程为

.

消去参数t得.

由曲线C的极坐标方程为.

得，

将，及代入得，

即

（2）由直线的参数方程为（为参数，）可知直线是过点P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（-1，1）在椭圆C内，

将代入中并整理得

，

设A，B两点对应的参数分别为，

则

所以

因为，所以，

所以

所以的取值范围为.

9. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】

在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为： （为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若， 分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.

曲线：，∴，故的普通方程为.

（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为 .

当时，有最小值，所以的最小值为.

10. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】

已知.

（1）当时，解不等式.

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）当时，等式，即，

等价于或或，

解得或，

所以原不等式的解集为；

（2）设 ，则，

则在上是减函数，在上是增函数，

∴当时，取最小值且最小值为，

∴，解得，∴实数的取值范围为.

11. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】

已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为    ；

（2）设直线的参数方程为（为参数）

又直线与曲线：存在两个交点，因此.

联立直线与曲线：可得则

联立直线与曲线：可得，则

即

12. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】

已知，

（1）解不等式；

（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.

【答案】(1);(2).

【解析】

（1）不等式，即为.

当时，即化为，得，

此时不等式的解集为，

当时，即化为，解得，

此时不等式的解集为.

综上，不等式的解集为.

（2）

即.

作出函数的图象如图所示，

当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.

所以实数的取值范围是.

13. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】

在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求的直角坐标方程；

（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.

【答案】（1）,（2）

【解析】

解：（Ⅰ）因为， ，由，得，

所以曲线的直角坐标方程为；

由，得，

所以曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）如图，四点在直线上的排列顺序从下到上依次为， ， ， ，它们对应的参数分别为， ， ， .

连接，则为正三角形，所以.

，

将代入，得： ,

即，故，所以.

14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】

已知为任意实数.

（1）求证： ；

（2）求函数的最小值.

【答案】（1）见解析（2）1

【解析】

（1）

，

因为，

所以.

（2） .

即.

15. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 (为参数，).

（1）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的斜率；

（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相交于两点,若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）当时，曲线的参数方程为(为参数)，

消去参数得，

∴圆心的坐标为．

∵曲线上存在两点关于点成中心对称，

∴，

又，

∴直线的斜率．

（2）由 (为参数，)消去参数得曲线的普通方程为，

∴圆心的坐标为，半径为．

又直线的极坐标方程可化为，

故其直角坐标方程为，

又，

∴，

解得．

∴实数的值为．

16. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】

已知函数，.

（1）解不等式；

（2）设，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意得原不等式为，等价于

或或，

解得或或，

综上可得．

∴原不等式的解集为．

（2）

，

当且仅当时等号成立．

17. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.

（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；

（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.

【答案】(1) .

(2) .

【解析】（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆 ，并整理得，解得，.所以直线被圆截得的弦长为.

（2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），

可设曲线上的动点，则点到直线的距离 ，当时，取最大值，且的最大值为.

所以，即的面积的最大值为.

18. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】

已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）若，试比较，，的大小.

【答案】(1) .

(2) .

【解析】（1）

根据函数的单调性可知，当时，.

所以函数的值域.

（2）因为，所以，所以.

又，

所以，知，，

所以，所以，

所以.

19. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】

已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为    ；

（2）设直线的参数方程为（为参数）

又直线与曲线：存在两个交点，因此.

联立直线与曲线：可得则

联立直线与曲线：可得，则

即

20. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】

已知， .

（1）解不等式；

（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）不等式即为.

当时，即化为，得，

此时不等式的解集为.

当时，即化为，解得，

此时不等式的解集为.

综上，不等式的解集为.

（2），即.

作出函数的图像如图所示，

当直线与函数的图像有三个公共点时，方程有三个解，所以.

所以实数的取值范围是.

21. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】

在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.

（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；

（2）当时，两曲线相交于，两点，求.

【答案】（1）的取值范围为；（2）.

【解析】

（1）曲线：消去参数可得普通方程为.

曲线：，两边同乘.可得普通方程为.

把代入曲线的普通方程得：，

而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.

（2）当时，曲线：，

两曲线交点，所在直线方程为.

曲线的圆心到直线的距离为，

所以.

22. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】

已知函数.

（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；

（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.

【答案】（1）解集为；（2）见解析见解析.

【解析】

（1）因为

所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.

（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.

所以，从而，

从而 .

当且仅当时，等号成立，

即，时，有最小值，

所以得证.

23. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】

在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若点的极坐标为，，求的值.

【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.

【解析】

（1）由，得，

所以曲线的直角坐标方程为，

即，

直线的普通方程为.

(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，

得.

因为直线与曲线交于，两点。

所以，解得.

由根与系数的关系，得，.

因为点的直角坐标为，在直线上.

所以，

解得，此时满足.且，

故.

24. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.

【答案】(1) 解集为;(2) 实数的取值范围是.

【解析】

（1）由已知不等式，得.

考虑到，不等式又可化为或

解得或.

所以不等式的解集为.

（2）设，则.

因为当且仅当时取等号，

所以.

因为函数的值域为，

所以有解，即.

因为，所以，即.

所以实数的取值范围是

25. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】

在极坐标系中，已知三点，，.

（1）求经过，，三点的圆的极坐标方程；

（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为，（是参数），若圆与圆外切，求实数的值.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）对应的直角坐标分别为，则过的圆的普通方程为，又因为，代入可求得经过的圆的极坐标方程为。

（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得。

26. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】

已知函数.

（1）当时，求的解集；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】

 (Ⅰ)原不等式可化为＋≤3，依题意，当x>2时，3x－3≤3，则x≤2，无解，

当≤x≤2时，x＋1≤3，则x≤2，

所以≤x≤2，

当x<时，3－3x≤3，则x≥0，所以0≤x<，

综上所述：原不等式的解集为

(Ⅱ)原不等式可化为≤3－，因为x∈，所以≤4－2x，

即2x－4≤2a－x≤4－2x，故3x－4≤2a≤4－x对x∈恒成立，

当1≤x≤2时，3x－4的最大值2,4－x的最小值为2，所以a的取值范围为