高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题13 选讲部分（第02期）（解析版）

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)

                             专题13　选讲部分

一、解答题

1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.

（1）若，求线段中点的坐标；

（2）若，其中，求直线的斜率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．

（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．

代入曲线的普通方程，得，则，

所以，点的坐标为．

（2）将代入，得，

因为，，所以．

得．由于，故．

所以直线的斜率为．

2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知函数.

（1）若，解不等式；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）当时，，可转化为

或或，

所以不等式的解集为.

（2）根据题意，，，

即，.

记不等式右边函数为，

根据题意

于是的值域为，

因此实数的最小值为.

3. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求面积的最大值.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)法一：由题可知，的直角坐标方程为：，

设曲线上任意一点关于直线对称点为，

所以

又因为，即，

所以曲线的极坐标方程为：

法二：由题可知，的极坐标方程为： ，

设曲线上一点关于 的对称点为，

所以

又因为，即，

所以曲线的极坐标方程为：

(Ⅱ)直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：

设，

所以解得，解得

因为：，所以

当即时，，取得最大值为：

4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．

【答案】（1）；（2）1．

【解析】（1）当时，，即，

解法一：作函数的图象，它与直线的交点为，

所以，的解集的解集为．

解法2：原不等式等价于 或 或，

解得：或无解或，

所以，的解集为．

（2）．

则

所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．

所以当时，取得最小值，．

因为对，恒成立，

所以．

又因为，

所以，

解得 （不合题意）．

所以的最小值为1．

5. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】设函数

(1)当时，求不等式的解集；

(2)当时，恒成立，求的最小值．

【答案】（1）（2）最小值为3

【解析】(1)当时，不等式化为

，或，或

综上，原不等式的解集为

(2)时，

作与的图像，

可知

的最小值为3(这时)

6. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于两点，弦的中点为，求的值.

【答案】（1）曲线的极坐标方程为（2）

【解析】（Ⅰ），

将，代入的普通方程可得，

即，所以曲线的极坐标方程为

（Ⅱ）点的直角坐标是，将的参数方程（为参数）

代入，可得，

∴t1+t2，t1•t2，

所以．

7. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）若，求直线被圆所截得的弦长；

（2）设，且直线与圆交于两点，若，求角的大小.

【答案】（1）4；（2）或

【解析】（1）由得，所以，

所以圆的直角坐标方程为.

当时，直线的方程为，恰好经过圆的圆心，故直线被圆所截得的弦为圆的直径，其长为4.

（2）将代入，得，，

设对应的参数分别为，则，，异号，

，所以，

又，所以或.

8. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知函数．

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值，正实数，满足，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）等价于

或或，

故或或，

综上解集为.

（2）

当且仅当取等号，

，，

，当且仅当时等号成立，

．

9. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求，交点的直角坐标；

（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.

【答案】（1）， ； （2）.

【解析】(Ⅰ)，，∴，∴.

联立方程组得，解得，，

∴所求交点的坐标为，.

(Ⅱ)设，则.

∴的面积

∴当时，.

10【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（ρ﹣2cosθ）2＝5﹣4sin2θ．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相切，求m的值．

【答案】（1）直线l的普通方程为x+2y﹣4﹣2m＝0；曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣1＝0（2）m或

【解析】（1）直线的参数方程为，为参数），

可得，

即直线的普通方程为，

曲线的极坐标方程为，

即为，

由，，，

可得；

（2）由（1）可得曲线表示以为圆心，为半径的圆，

由直线与曲线相切，可得圆心到直线的距离为半径，

即为，解得或．

11. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知函数f（x）＝|x+4m|+|x+2m+1﹣3|．

（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥7的解集；

（2）试证明f（x）≥2．

【答案】（1）{x|x≥1或x≤﹣6}（2）证明见解析

【解析】（1）当时，．

因为，所以或，

所以或，

所以不等式的解集为或；

（2）证明：

，

当且仅当，即时取等号，

所以．

12. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】在平面直角坐标系xOy中，曲线：，（为参数），将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。

（1）求曲线的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线交于不同的两点A，B，点M为抛物线的焦点，求的值。

【答案】（1），（2）

【解析】（1）将曲线：(为参数)，消参得，

经过伸缩变换后得曲线：，

化为极坐标方程为，

将直线的极坐标方程为，即，

化为直角坐标方程为．

（2）由题意知在直线上，又直线的倾斜角为，

所以直线的参数方程为（为参数）

设对应的参数分别为，，

将直线的参数方程代入中，得．

因为在内，所以恒成立，

由韦达定理得

所以．

13. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知函数，．

（1）解不等式；

（2）若的最小值为，且存在，使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）当时，，

解得，即；

当时，．

解得，即；

当时，，

解得，即.

故原不等式的解集为 .

（2）由（1）知，，

所以当时，取最小值．

而，

由题意可知，，

即，解得，

所以实数的取值范围为．

14. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】在直角坐标系中,曲线:(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:,曲线与曲线相交于,两点.

（1）求曲线的直角坐标方程与直线的一般方;

（2）点,求.

【答案】（1）：，直线：（2）

【解析】（1）:即. ——① 

:——②

将①-②得: :,

曲线的直角坐标方程: ,直线的一般方程为:.

（2）:,

在上,

直线的参数方程为:（为参数）,

代入:,整理得,

根据韦达定理: ,,

,.

故:.

15. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知函数.

（1）若,求不等式的解集;

（2）证明:对任意,.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）当时,

①当时,,得；

②当时,,得,

∴

③当时,,得,

∴.

（2）

.

对任意,.

16. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线以及直线的极坐标方程；

（Ⅱ）若，直线与曲线相交于不同的两点，，求的值.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）依题意，曲线：，故，

即，即；

直线：，即，即，

故；

（Ⅱ）将直线的参数方程代入中，

化简可得，

设，所对应的参数分别为，，

则，，

故.

17. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】已知函数

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）已知，且，求证

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析.

【解析】（Ⅰ），即，

由绝对值的几何意义得：；

（Ⅱ），

要证，只要证

，即

18. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），圆.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）写出曲线与圆的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，已知射线与曲线相交于，与圆相交于（异于原点），当时，求的最大值.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）已知曲线（为参数），转换为直角坐标方程为.

转换为极坐标方程为，即.

圆，转换为极坐标方程为.

（2）由于与以点为顶点时，他们的高相同，即：，

由（1）知，

所以.

由于，故，

当，即时，的最大值为.

19. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知函数，记的最小值为.

（1）解不等式；

（2）是否存在正数,同时满足：？并说明理由.

【答案】(1) ；(2)不存在.

【解析】（1）不等式化为

设函数，

则，令，解得，

原不等式的解集是

（2）

当且仅当，即时取等号，故

假设存在符合条件的正数，则，

当且仅当，即时取等号，

的最小值为8，即

不存在正数，使得同时成立.

20. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】已知，，均为正实数，求证：

（1）；

（2）若，则.

【答案】证明过程详见解析

【解析】(1)要证，

可证，需证，

即证，当且仅当时，取等号，由已知，上式显然成立，

故不等式成立．

(2)因为均为正实数，

由不等式的性质知，当且仅当时，取等号，

当且仅当时 ，取等号，当且仅当时，取等号，

以上三式相加，得

所以，当且仅当时，取等号．

21. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．

（1）当时，设直线与曲线交于两点，求的值；

（2）若点在曲线上运动，点在线段上运动，且，求动点的轨迹方程．

【答案】（1）3（2）

【解析】（1）由，得曲线的普通方程为．

当时，直线的参数方程为，

代入为，得．

∴.

（2）设，

则由，得，

即，消去，得，

∴点M的轨迹方程为．

22. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】已知函数．

（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数的图象，并解不等式；

（2）若不等式对任意的恒成立，求证：．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）

在面直角坐标系中作出函数的图象如下：

∵当时，，当时，，

∴根据图象可得解不等式，的解集为；

（2），

当且仅当（时取等号，

∴的最小值为2，

∵不等式对任意的恒成立，

∴只需，

∴，

∵，

∴.

23. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程，并说明它是何种曲线；

（2）设点的坐标为，直线交曲线于、两点，求的最大值.

【答案】（1），圆；（2）.

【解析】（1）解：将，，代入，

得，即，

曲线是以为圆心，以2为半径的圆；

（2）由直线的参数方程，可知直线过定点，

记，分别为直线上、两点对应的参数，

点，均在点的下方，

，，

把，（为参数）代入，

得，

，，，

令，得或（舍），

由系数的几何意义知，

，（），

，

的最大值为.

24. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）时，函数，

不等式化为，

当时，不等式化为，解得，即；

当时，不等式化为，解得，即；

当时，不等式化为，解得，此时无解；

综上，所求不等式的解集为；

（2）不等式即为，

所以（*），

显然时（*）式在上不恒成立；

当时，在同一直角坐标系中分别作出和的图象，

如图所示：

由图象知，当，即时（*）式恒成立，

所以实数的取值范围是.

25. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）， 在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点的直角坐标为，求直线的斜率.

【答案】（1）时，x=1；时，；（2）

【解析】（1）当时，的普通方程为；                         

当时，的普通方程为，

即 .           

由得,

即 .                                                     

（2）将代入整理得

依题意得，即，即        

得,

所以直线的斜率为

26. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】设函数，（实数）

（1）当，求不等式的解集

（2）求证：.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）原不等式等价于，

当时，可得，得；                          

当时，可得，得不成立；                

当时，可得，得；                      

综上所述，原不等式的解集为                    

（2）                        

当且仅当时等号成立                              

又，当且仅当的时等号成立                  

所以