2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第十章　统计与统计案例 10-3 word版含答案

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1．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－　.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)

A．11.4万元  B．11.8万元

C．12.0万元  D．12.2万元

答案：B

解析：由题意知，

＝＝10，

＝＝8，

∴ ＝8－0.76×10＝0.4，

∴ 当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．

2．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646.

参考公式：相关系数r＝，回归方程＝t＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.

解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据，得

＝4，(ti－)2＝28，＝0.55，

(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99.

因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

(2)由＝≈1.331及(1)，得

＝＝≈0.103，

＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.

所以，y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.

将2016年对应的t＝9代入回归方程，得

＝0.92＋0.10×9＝1.82.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．

3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中wi＝，＝.

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋β u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.

解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．

由于＝＝＝68，

＝－＝563－68×6.8＝100.6，

所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，

因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.

(3)①由(2)知，当x＝49时，

年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.

②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.

所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．

4．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数

据如下表：

(1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

＝，＝－.

解：(1)由所给数据计算得

＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，

＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，

(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，

(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，

＝＝＝0.5，

＝－t＝4.3－0.5×4＝2.3.

所求回归方程为＝0.5t＋2.3.

(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．

将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得

＝0.5×9＋2.3＝6.8，

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．

课外拓展阅读

统计案例问题的规范答题

 　某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

附：K2＝.

　由频率分布直方图列举基本事件，结合古典概型，求概率．利用独立性检验公式计算K2.

　(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.

从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，

(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．

其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．

故所求的概率P＝.

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

所以K2＝

＝＝≈1.79.

因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

　第1步：由分层抽样计算两组工人的数目；

第2步：由频率分布直方图计算两组不足60件的人数；

第3步：列举5人抽取2人的基本事件数；

第4步，由古典概型计算概率；

第5步：统计生产能手与非生产能手，列2×2列联表；

第6步：由公式计算K2，确定答案．

归纳总结

(1)分层抽样比为＝，故25周岁以上有300×＝60(人)，25周岁以下的200×＝40(人)，然后再根据频率计算“不足60件”的人数，并设定符号．

(2)列2×2列联表时，其中的数字应先由频率分布直方图算出后再列表．