2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第三章　导数及其应用 3-2 word版含答案

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1．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(0,1) 

B．(－1,0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(－1,0) 

D．(0,1)∪(1，＋∞)

答案：A

解析：设y＝g(x)＝(x≠0)，

则g′(x)＝，

当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，

∴ g′(x)<0，

∴ g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.

∵ f(x)为奇函数，∴ g(x)为偶函数，

∴ g(x)的图象的示意图如图所示．

当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0,0＜x＜1；

当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1.

∴ 使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.

2．若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是(　　)

A．f< B．f>

C．f< D．f>

答案：C

解析：令g(x)＝f(x)－kx＋1，

则g(0)＝f(0)＋1＝0，

g＝f－k·＋1

＝f－.

∵ g′(x)＝f′(x)－k>0，

∴ g(x)在已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞)     B．(－∞，－2)

C．(1，＋∞)     D．(－∞，－1)

答案：B

解析：f′(x) ＝3ax2－6x，

当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，

则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；

当x∈时，f′(x)<0；

当x∈时，f′(x)>0.

注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图所示．

不符合题意，排除A，C.

当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，

则当x∈时，f′(x)<0；

当x∈时，f′(x)>0，；

当∈(0，＋∞)时，f′(x)<0.注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图所示．

不符合题意，排除D.

4．设函数f(x)＝sin .若存在f(x)的极值点x0满足x＋2<m2，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)

B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

答案：C

解析：由正弦型函数的图象可知，f(x)的极值点x0满足f(x0)＝±，则＝＋kπ(k∈Z)，从而得x0＝m(k∈Z)．所以不等式x＋2<m2即为2m2＋3<m2，变形得m2>3，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m2>3成立．当k≠－1且k≠0时，必有2>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2>3，解得m<－2或m>2.

5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)

A. ∃x0∈R，f(x0)＝0

B. 函数y＝f(x)的图象是中心对称图形

C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减

D. 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0

答案：C

解析：由三次函数的值域为R知f(x)＝0有解，所以A项正确；因为y＝x3的图象为中心对称图形，而f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象可以由y＝x3的图象平移得到，故B项正确；若f(x)有极小值点，则f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2(x1<x2)，f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3(x－x1)·(x－x2)，则f(x)在(－∞，x1)上为增函数，在(x1，x2)上为减函数，在(x2，＋∞)上为增函数，故C项错误；D项正确．故选C.

6．(1)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x>0时，(x－2)ex＋x＋2>0；

(2)证明：当a∈．

由(1)知f(x)＋a单调递增．对任意的a∈，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0.

当0<x<xa时，f(x)＋a <0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．

因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为

g(xa)＝＝＝.

于是h(a)＝，

由′＝>0，得y＝单调递增．

所以，由xa∈(0,2]，得＝<h(a)＝≤＝.

因为y＝单调递增，对任意λ∈，

存在唯一的xa∈(0,2]，a＝－f(xa)∈已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；

(3)已知1.414 2<<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．

解：(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，当且仅当x＝0时等号成立．所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，

g′(x)＝2

＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．

①当b≤2时，g′(x)≥0，当且仅当x＝0时等号成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；

②当b>2时，若x满足2<ex＋e－x<2b－2，即0<x<ln(b－1＋)，则g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b－1＋)时，g(x)<0.

综上，b的最大值为2.

(3)由(2)知，g(ln)＝－2b＋2(2b－1)ln 2.

当b＝2时，g(ln )＝－4＋6ln 2>0，ln 2>>0.692 8；

当b＝＋1时，ln(b－1＋)＝ln ，

g(ln)＝－－2＋(3 ＋2)ln 2 <0，

ln 2<<0.693 4.

所以ln 2的近似值为0.693.

课外拓展阅读

利用导数确定函数的单调区间问题

　设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．

　(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝－k

＝－

＝.

由k≤0可得ex－kx＞0，

所以当x∈(0,2)时f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增．

所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．

(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减．

故f(x)在(0,2)内不存在极值点．

当k＞0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞)．

因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，

当0＜k≤1时，

当x∈(0,2)时，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)单调递增，

故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；

当k＞1时，得

x∈(0，ln k)时，g′(x)＜0，函数y＝g(x)单调递减．

x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)＞0，函数y＝g(x)单调递增．

所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．

若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，则

解得e＜k＜，

综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.

用导数法求函数的单调区间一般可用以下几步答题：

第一步：求函数f(x)的定义域；

第二步：求函数f(x)的导数f′(x)；

第三步：由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围；

第四步：写出函数f(x)的单调区间；

第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．