2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第九章　解析几何 9-3 word版含答案

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1．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

答案：2＋y2＝

解析：由题意知，a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知，圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，

则解得

所以圆的标准方程为2＋y2＝.

2．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

答案：x2＋(y－1)2＝1

解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；

(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．

解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，

所以圆心M(6,7)，半径为5.

(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.

因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.

(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.

设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，

则圆心M到直线l的距离

d＝＝.

因为BC＝OA＝＝2，

而MC2＝d2＋2，

所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.

故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.

(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，

所以①

因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②

将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.

于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆2＋(y－3)2＝25上，

从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆2＋(y－3)2＝25有公共点，

所以5－5≤≤5＋5，

解得2－2≤t≤2＋2.

因此，实数t的取值范围是．

课外拓展阅读

圆中避免求“交点”的几种策略

有关圆锥曲线与圆的交点问题，若用解方程组的方法求出交点坐标，往往比较繁琐，有些甚至没有必要，下面举例介绍如何避免求“交点”的几种策略：

1．整体代入法

　已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交于两点A，B，则公共弦AB所在的直线方程为________．

　设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0任一交点的坐标是(x0，y0)，

则x＋y＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①

x＋y＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②

①－②，得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0，

因为A，B的坐标都满足方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，③

所以③是过A，B两点的直线方程．

而过A，B两点的直线是唯一的，故方程③就是公共弦AB所在的直线方程．

　(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0

2．数形结合法

　已知曲线xy＝1与圆M：x2＋y2－4x－4y＋3＝0相交于A，B两点，则AB的中垂线方程为________．

　曲线xy＝1是反比例函数，其图象关于直线y＝x对称，而圆M的圆心(2,2)在直线y＝x上，就是说圆M也关于直线y＝x对称，故AB的中垂线方程为y＝x.

　y＝x

方法点睛

数形结合思想，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，往往能起到化繁为简，化难为易的作用，使一些看似复杂的问题通过作图得以轻松解决．

3．根与系数之间的关系

　过点A(0,3)作直线l与圆C：x2＋y2－2x－4y－6＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ，则直线l的方程为________．

　由题意，斜率不存在的直线不符合题意，

设直线l：y＝kx＋3，代入圆的方程式整理，得

(1＋k2)x2＋2(k－1)x－9＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则x1x2＝，x1＋x2＝.①

所以y1y2＝(kx1＋3)(kx2＋3)

＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9

＝.②

而OP⊥OQ⇔x1x2＋y1y2＝0，

联立①②解得，k＝0或k＝1，

故所求直线为y＝3或x－y＋3＝0.

　y＝3或x－y＋3＝0

4．巧设方程法

　过点A(0,1)，B(4，m)且与x轴相切的圆有且只有一个，求实数m的值和这个圆的方程．

　设所求的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

其中r2＝b2.

将A，B的坐标代入，得

消去b，得(1－m)a2－8a＋(m2－m＋16)＝0.(*)

由题设，得知方程(*)只有一解．因此

(1)当1－m＝0，即m＝1时，方程(*)只有一解，

此时a＝2，b＝.

故所求方程为(x－2)2＋2＝2.

(2)当m≠1时，方程(*)为关于a的一元二次方程，

故Δ＝0，解得m＝0，

此时a＝4，b＝.

故所求方程(x－4)2＋2＝2.