专题7.4 抛物线性质应用-2021年高考数学（理）尖子生培优题典

2021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典

专题7.4 抛物线性质应用

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

一、单选题

1．（2020·江西二模（理））已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题设可得圆的方程为，

故圆心为，为抛物线的焦点，

所以

所以．

设直线,代入得，

设直线l与抛物线C的交点坐标为，

则，

则，

所以，解得．

故选C．

2．（2020·湖南邵阳·高三二模（理））点是抛物线上一点，斜率为的直线交抛物线于点，，且，设直线，的斜率分别为，，则（    ）

A． B． C．直线过点 D．直线过点

【答案】D

【解析】：设，，则，，，所以.

直线的方程为，即，

因为，所以，即，

代入方程整理得，则直线l过点.

故选：D.

3．（2020·全国高三其他（理））过抛物线的准线上任意一点作抛物线的切线，切点分别为，则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是（    ）

A．6 B．2 C．4 D．3

【答案】C

【解析】：设，，，，由可得，所以，

所以直线，的方程分别为：，，

两个方程联立可得，，又有在准线上，所以，

所以，

设直线的方程为：，

代入抛物线的方程可得：，可得，

所以可得，即直线恒过点，即直线恒过焦点，

即直的方程为：，代入抛物线的方程：，

，所以，

点到准线的距离与点到准线的距离之和，当时，距离之和最小且为4，这时直线平行于轴．

故选：C.

4．（2020·安徽郎溪·高三其他（理））抛物线的焦点，准线是，点是抛物线上一点，则经过点，且与相切的圆的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．无数多个

【答案】B

【解析】抛物线的焦参数，

，准线，即，

设经过点，且与直线相切的圆的圆心为，

则半径为到的距离为即，

圆的方程为

将､的坐标代入可得

①

②

由①-②可得：

整理可得：③

将②整理可得：

即：④

由③④得：

解得

将分别代入④得：

故圆的个数为2个.

故选：B.

5．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三开学考试（理））已知和直线，抛物线上动点到的距离为，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：抛物线准线为，设到其距离为，则，所以，故选C.

考点：抛物线及其准线、焦点.

6．（2020·江苏金陵中学高三月考）如图，过抛物线（）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，

则由已知得，由抛物线定义得，故.

在中，因为，，，

所以，得，，所以，

因此抛物线方程为.

故选：B

7．（2020·四川邻水实验学校高三开学考试（理））《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2=2px的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”、“股”，则抛物线方程为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，抛物线的图形如图：，，

可得，

所以，是正三角形，并且是的中点，所以，则，

所以抛物线方程为：．

故选B．

8．（2020·陕西西安·高三月考（理））已知双曲线与抛物线有共同的焦点，且点到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.抛物线的焦点坐标为,

可得双曲线的焦点为,

化为 ,得,

双曲线的一条渐近线方程为，

由点到双曲线渐近线的距离等于1，

得 , 即，①

又 ，即，②

联立①②解得，

双曲线的方程为，故选A .

9．（2020·广东广州·高三月考）已知抛物线（）的准线与圆相交所得的弦长为，则的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】抛物线（）的准线方程为，

圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2，

圆心到准线的距离为，所以有，解得.

故选：C.

10．（2020·全国高三月考（理））已知抛物线：上的点到焦点的距离为，若点在：上，则点到点距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】依题意，，故，则；

由对称性，不妨设，

故到点距离的最小值为.

故选：B.

11．（2020·云南高三其他（理））已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，

设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，

联立抛物线与切线方程，转化得，

，解得，

当时，直线方程为，

，解得，则，

因为，所以，解得；

当时，同理得，

综上所述，抛物线方程为，

故选：C.

12．（2020·安徽月考（理））已知命题：表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，命题：表示椭圆，若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】C

【解析】对于命题表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，所以，

对于命题表示椭圆，所以，解得且，

因为命题“”为真命题，所以命题和命题均为真命题，

所以实数的取值范围是且.

故选：C.

13．（2020·河北秦皇岛·期末）己知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，满足，则线段的中点的横坐标为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解析】由抛物线方程可知，假设横坐标分别为，由抛物线的准线的性质可知 ，中点的横坐标为.

故选;A

14．（2020·内蒙古赤峰·月考（理））已知抛物线，设的准线与轴的交点为，过点作的切线，其中在第一象限内的切点为.若双曲线与抛物线相交于点，且的焦点恰好是的一个焦点，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵抛物线的焦点坐标为，

的焦点恰好是的一个焦点，∴①.

由可得，设点坐标为，

则，∴切线，

将代入上式，解得或（舍去），∴点坐标为.

将代入双曲线方程，得②.

由①②联立解得∴.

故选：D.

15．（2020·河南洛阳·高二期末（理））已知点P在抛物线上，过点P作抛物线的切线，，切点分别为M，N，若，且，则C的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，由，得，则，

则 即

同理直线的方程为 ，

联立的方程可得，则，

又由，得为三角形的重心,

则， ，得，

则，又抛物线上，得，即，

准线方程为.

故选：A.

二、填空题

16．（2020·云南昆明一中月考（理））已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于，两点，若，且，则的值为___________.

【答案】

【解析】

抛物线的焦点为，

设，，假设直线斜率存在，设直线方程为：，

由 可得：，

所以 ，，

，

因为，则，所以，

即， 所以，可得，

所以，所以.

故答案为：

17．（2020·上海黄浦·格致中学月考）已知直线与抛物线交于两点，其中点位于轴两侧，为坐标原点，若，则点到直线距离最大值为________

【答案】3

【解析】：根据题意，设，，直线的方程为：，

所以联立方程，得，

所以，，

又，解得或，

又因为点位于轴两侧，故，故.

所以点到直线距离，当且仅当时等号成立，

故点到直线距离最大值为.

故答案为：

18．（2020·河南高三其他（理））已知点在抛物线上，过点P作两条直线分别交抛物线C于相异两点A，B，若直线，的倾斜角互补，则直线的斜率为________.

【答案】－1

【解析】

将点P的坐标代入抛物线C的方程得，又，解得，

所以点P的坐标为.

由题意知的斜率存在，且不为0，

设直线的方程为，

点A，B的坐标分别为，，

联立方程，消去x后整理为，

，则，，.

直线的斜率为，

同理，直线的斜率为，

由直线，的倾斜角互补，

得，得，

可得，所以.

故答案为：

19．（2020·云南昆明一中高三其他（理））已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为_______

【答案】

【解析】：由题意联立方程组，解得或

因为P在x轴上方，所以、,

因为抛物线C的方程为，所以，

所以，

因为，所以，

解得：，

故答案为：

20．（2020·河南高三月考（理））抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则______.

【答案】或

【解析】由于抛物线的焦点为，则，可得，则抛物线的方程为，

设的方程为，设点、，

联立，消去得，，

由韦达定理得，

因此，

可得，所以，

，，即，

设，可得，即，解得或.

因此，或.

21．（2020·湖北黄州·黄冈中学高三其他（理））已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，为抛物线准线上相异的两点，且，两点的纵坐标之积为－8，直线，分别交抛物线于，两点，若，，三点共线，则=________.

【答案】

【解析】抛物线的的焦点为，准线为，

，两点的纵坐标之积为－8，则设，

则直线OM的方程为，直线ON的方程为，

因为直线，分别交抛物线于，两点，

所以，，

若，，三点共线，则，

又，

所以，化简得，

又，所以，解得或（舍去）.

故答案为：

三、解答题

22．（2020·云南文山·高三其他（理））已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l与曲线交于A，B两点，设，，则.

（1）求曲线的方程；

（2）设离心率为且长轴为4的椭圆的方程为.又曲线与过点且斜率存在的直线相交于M，N两点，已知，O为坐标原点，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】：（1）由已知得，设直线l的方程为，

∴，

∴，

∴曲线的方程为.

（2）由已知得，，∴，

∴曲线的方程为，

设直线的方程为，

则.

设，

，

∴

，

∴直线的方程为.

23．（2020·河北高三月考）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设，因为，，

则，，．

由，可得，化简得，

即动点的轨迹的方程为．

（2）设，，

由题意知，，

易知，不妨设，

因为，所以，所以． ①

设直线的方程为，

联立消去，得，则，

可得，  ② 

由①②联立，解得，

所以．

24．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（理））已知抛物线的焦点为F，B，C为抛物线C上两个不同的动点，(B，C异于原点)，当B，C，F三点共线时，直线BC的斜率为1，.

（1）求抛物线T的标准方程；

（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设直线BC的方程为：，

则，

设，

则，

所以抛物线T的标准方程为：.

（2）令，，

则，

则，

直线BC的方程为：，

令直线BC与y轴交于点H，

则，

所以，

所以或0(舍)，

令BC中点为，则

，

所以中点轨迹方程.

25．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线E于A、B.

（1）若垂直l于点，且，求AF的长；

（2）O为坐标原点，求的外心C的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，

，

得，

，

故；

（2）设，

直线，

由，

得，

由韦达定理得：

，

即有，

易得的中垂线方程联立可得：

，

可得：，

外心的轨迹方程为.

26．（2020·河北桃城·衡水中学高三一模（理））已知抛物线：上的点到焦点的距离最小值为1.

（1）求的值；

（2）若点在曲线：上，且在曲线上存在三点，，，使得四边形为平行四边形.求三角形的面积的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】：（1）由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，

故最小值点应为，准线，由题意可得，解得；

（2）当直线斜率不存在时，此时直线为垂直轴的直线，与抛物线只有一个交点，故舍去.

当直线斜率存在时，设直线：，

点在曲线：上，故，设，，

联立方程，得，，，故线段的中点，

若要满足四边形为平行四边形，则，关于点对称.则.

又点在抛物线上，故满足方程，即①

到直线的距离为，

，

，

代入①得：

，

当时，.所以三角形的面积的最小值.

27．（2020·全国高三课时练习（理））设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.

【解析】：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.

所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.

所以，直线的方程为，或.

28．（2020·浙江高三其他）已知O是坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，的重心为G.

（1）求动点G的轨迹方程；

（2）设（1）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）焦点，显然直线AB的斜率存在，

设，

联立，消去y得，

，

设，，，

则，，

所以，

所以，

消去k，得重心G的轨迹方程为；

（2）由已知及（1）知，，，

，，，

因为，

所以，(注：也可根据斜率相等得到)，

，

，

D点到直线AB的距离，

所以四边形DEMG的面积

，

当且仅当，即时取等号，

此时四边形DEMG的面积最小，

所求的直线AB的方程为.

29．（2020·安徽高三其他（理））已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线交抛物线于两点，.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与抛物线相交于两点，已知，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点，使得直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，定点为.

【解析】（1）焦点，则直线为，

联立，消去消可得，

恒成立，

设，，则，

，解得，

所以抛物线的方程为.

（2）设直线为，

联立方程，消可得，

，

设，，则，

不妨设点，

以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，

则，又轴，

所以平行轴，设，则 ，

所以，即，

所以，即，

所以直线为：，

令，解得，

所以直线恒过此定点.

30．（2020·江西昌江·景德镇一中高三月考（理））已知点为曲线的焦点，点在曲线运动，当点运动到轴上方且满足轴时，点到直线的距离为.

（1）求曲线的方程；

（2）设过点的直线与曲线交于两点，则在轴上是否存在一点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由题意可得，点到直线的距离为

即，解得，

所以曲线的方程为：.

（2）由（1）可得，不妨设直线为：，

联立方程组 ，消去可得，

设，，

则，，

假设存在，使直线与直线关于轴对称，

则，即，

整理可得，

所以，解得，

所以.