专题9.2 二项分布与正态分布-2021年高考数学（理）尖子生培优题典

2021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典

专题9.2 二项分布与正态分布

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、单选题

1．（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”.若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，“布”又胜过“石头”，

可得每局比赛中小华胜小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为，

小华获胜有两种情况：

第一种前两局小华连胜，概率为 ，

第二种前两局中小华一局胜另一局不胜，第三局小华胜，概率为，

所以小华获胜的概率是，

故选：D

2．（2020·仙居县文元横溪中学高三期中）已知随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意随机变量，由二项分布的期望公式，可得

,

故选：B

3．（2020·全国高三专题练习）武汉市从2020年2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等四类人员，强化网格化管理，不落一户､不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设事件：检测5个人确定为“感染高危户”，

事件：检测6个人确定为“感染高危户”，

∴，.

即，

设，则，

∴，

当且仅当，即时取等号，即，

故选：A

4．（2020·全国高三专题练习（理））已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（    ）

A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.26

【答案】C

【分析】由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为．

故选：C．

5．（2020·陕西西安市·高三月考（理））甲､乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲､乙两人射击命中率互不影响.射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为（    ）

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.48

【答案】B

【分析】目标至少被命中一次，包括甲中乙中，甲中乙不中，乙中甲不中三种情况，

所以目标至少被命中一次的概率为，

目标至少被命中一次甲命中目标包括甲中乙中，甲中乙不中二种情况，

所以目标至少被命中一次甲命中目标的概率为：，

所以甲命中目标概率为，

故选：B

6．（2020·贵州贵阳市·高三其他模拟（理））设随机变量，满足：，，若，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解析】

由题意可得：，

解得：，则：．

本题选择A选项.

7．（2020·陕西新城区·西安中学高三月考（理））在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（    ）

（附：，则，）

A．2718 B．1359 C．340 D．906

【答案】C

【分析】∵，

所以阴影部分的面积

，

则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为，

∴落入阴影部分的点的个数的估计值为．

故选：C.

8．（2020·全国高三专题练习）重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚､脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果､中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：)服从正态分布，则果实横径在的概率为（    ）

附：若，则；.

A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545

【答案】C

【分析】由题得，，

所以，，

所以，所以，

所以果实横径在的概率为.

故选：C.

9．（2020·全国高三专题练习）已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，则，则，则，

故选：D.

10．（2019·福建省泰宁第一中学高三月考（理））下列命题正确的个数是（   ）

已知点在圆外， 则直线与圆没有公共点．

命题“”的否定是“” ．

已知随机变量服从正态分布，，则．

实数满足约束条件，则目标函数的最小值为1．

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【分析】 在圆外，，圆心到直线的距离为，即，直线与圆有公共点，不正确；

特称命题“”的否定是全称命题，“” , 不正确；

服从正态分布，， ，由正态分布的对称性可得, 正确；

取满足约束条件，而目标函数 ，

 不正确，故选A.

11．（2020·全国高三专题练习（理））给出下列命题，其中真命题为（    ）

①用数学归纳法证明不等式时，当时，不等式左边应在的基础上加上；

②若命题：，，则：，；

③若，，，则；

④随机变量，若，则.

A．①②④ B．①④ C．②④ D．②③

【答案】C

【分析】① 当时，不等式左边为，

当时，不等式左边为，增加的项为，

故①错误，

② 特称命题的否定是全称命题，故②正确，

③ 因为，，，

所以，，，故③错误，

④ 因为，所以根据正态分布曲线的对称性可知，④正确，

故选：C.

12．（2020·广东佛山市·高三月考）当使用一仪器去测量一个高度为70单位长的建筑物50次时，所得数据为

根据此数据推测，假如再用此仪器测量该建筑物2次，则2次测得的平均值为71单位长的概率为（    ）

A．0.04 B．0.11 C．0.13 D．0.26

【答案】C

【分析】

由题意知：2次测得的平均值为71单位长，则事件有{两次测得都为71单位长，一次70单位长另一次72单位长}；

根据数据知：P{测得70单位长}=，P{测得71单位长}= ，P{测得72单位长}= ，

∴P{两次测得都为71单位长}= ，P{一次70单位长另一次72单位长}= ，

∴2次测得的平均值为71单位长的概率

故选：C

二、解答题

13．（2020·河南高三月考（理））共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下一个很好的发展商机.某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎，一般使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为.该公司为了促进大家消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分.每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立.

（1）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；

（2）记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为分的概率为(比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，)，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式.

【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2），.

【分析】（1）由题意，从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，

则总得分为随机变量的可能取值为，

则，，

，，

所以的分布列为

所以数学期望.

（2）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，

再得2分，概率为，其中.

因为，即，所以，

则是首项为，公比为的等比数列，

所以，所以.

14．（2020·江苏南京市·高三月考）某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.

（1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数；

（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望.

附：若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】（1）114人；（2）分布列见解析，.

【分析】（1）∵学生笔试成绩服从正态分布，其中，，

∴

∴估计笔试成绩不低于90分的人数为人

（2）的取值分别为0，3，5，8，10，13，

则

的分布为

故的分布列为：

15．（2020·全国高三专题练习（理））近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.

（1）完成下面列联表，并通过计算说明是否可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

参考数据及公式如下：

(，其中)

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：

①求对商品和服务全好评的次数的分布列(概率用组合数算式表示)；

②求的数学期望和方差.

【答案】（1）列联表见解析，可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）①分布列见解析；②，.

（1）由题可得列联表如下：

所以，

所以可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；

（2）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，

则，，，

，，，

则分布列如下：

②，

，.

.

16．（2020·江西省信丰中学高三月考（理））

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.

附：

若则，．

【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．

【解析】：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得，

，故；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，故期望．

试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为

，

．

（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而

．

（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．

17．（2020·江苏镇江市·高三月考）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加年月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近个月参与竞拍的人数(见下表)∶

（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测年月份参与竞拍的人数.

（2）某市场调研机构对位拟参加年月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：

（i）求这位竞拍人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；

（ii）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及估值.若年月份实际发放车牌数量为，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.

参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量服从正态分布，则，，.

【答案】（1），估计为2万人；（2）（i）；；（ii）可预测2020年11月份竞拍的最低成交价为4.8万.

【分析】：（1）易知，，

，

，

则关于的线性回归方程为，

当时，，即2020年11月份参与竞拍的人数估计为2万人；

（2）（i）依题意可得这人报价的平均值和样本方差分别为：

，

；

（ii）2020年11月份实际发放车牌数量为3174，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为，

根据假设，报价可视为服从正态分布，

且，，

又，，

可预测2020年11月份竞拍的最低成交价为4.8万..