专题9.3 独立性检验-2021年高考数学（理）尖子生培优题典

2021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典

专题9.3 独立性检验

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、单选题

1．（2020·开鲁县第一中学高三月考（理））为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各人；男性人，女性人.绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（    ）

A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关

B．是否倾向选择生育二胎与性别无关

C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同

D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数

【答案】C

【分析】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图知：

在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为，是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；

在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为，女性倾向选择生育二胎的比例为，

是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；

在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为，人数为人，

女性倾向选择生育二胎的比例为，人数为人，

倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；

在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为人，城镇户籍人数为人，

倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确．

故选：C．

2．（2020·山东高三专题练习）利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（    ）

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、

C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】B

【分析】

由，结合临界值表，即可直接得出结果.

【详解】

由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B

3．（2020·黑龙江萨尔图区·大庆实验中学高三开学考试（理））千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表：并计算得到，下列小波对地区A天气判断不正确的是（    ）

A．夜晚下雨的概率约为

B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为

C．有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关

D．出现“日落云里走”，有的把握认为夜晚会下雨

【答案】D

【分析】据列联表，100天中有50天下雨，50天未下雨，因此下雨的概率约为，A正确；

同样，未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为，B正确；

列联表如下：

，、

因此有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，C正确；

有关只是说可能性．不代表一定下雨，D错．

故选：D．

4．（2020·全国高三专题练习）通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由

附表：

参照附表，得到的正确结论是（   ）

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】A

【详解】

由，而，故由独立性检验的意义可知选A

5．（2020·安徽马鞍山市·高三三模（理））以下四个命题：

①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；

②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为3000；

③随机交量服从二项分布，若随机变量，则的数学期望为，方差为；

④分类变量与，它们的随机变量的观测值为，当越小，“与有关系的把握程度越大其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】：①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，所以，所以该市身高高于的高中男生人数大约为人，故②为真命题；

③随机交量服从二项分布，则，，若随机变量，则的数学期望为，方差为；故③为假命题；

④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，故④为假命题．

故选：A．

6．（2020·湖南怀化市·高三一模（理））以下四个命题中：

①函数关系是一种确定性关系；

②回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；

③独立性检验中的统计假设就是假设相关事件、相互独立；

④某项测量结果服从正态分布，且，则.

以上命题中，真命题的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】①函数关系是一种确定性关系，所以①是正确的；

②回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，

所以②是正确的；

③独立性检验中的统计假设就是假设相关事件、相互独立，所以③是正确的；

④某项测量结果服从正态分布，由正态分布定义可知它的图像是关于对称，

因为，则，

所以，所以④是正确的；

故选：D

7．（2020·宁夏兴庆区·银川一中高三月考（理））以下四个结论，正确的是（   ）

①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔15分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量增加0.13个单位；

③在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；

④对于两个分类变量与，求出其统计量的观测值，观测值越大，我们认为“与有关系”的把握程度就越大.

A．②④ B．②③ C．①③ D．③④

【答案】D

【分析】①，是系统抽样，不是分层抽样，所以①错误. ②，增加，所以②错误. ③，在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1，所以③正确. ④，对于两个分类变量与，求出其统计量的观测值，观测值越大，我们认为“与有关系”的把握程度就越大，所以④正确.

综上所述，正确的序号为③④.

故选：D

8．（2020·陕西新城区·西安中学高三月考（理））以下说法：

①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；

②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位

③线性回归方程必过

④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；

⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。

其中错误的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.

故选：C

9．（2019·全国高三专题练习（理））假设有两个分类变量和的列联表为：

对同一样本，以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为

参考公式：，其中．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】选项：，选项:，

选项：，选项：，可得，所以由选项中的数据得到的值最大，说明与有关系的可能性最大，故选D．

10．（2020·武邑宏达学校高三月考（理））下列命题中正确命题的个数是

（1）对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；

（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；

（3）在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；

（4）设随机变量服从正态分布；

若，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】

【分析】（1）对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，判断“与有关系”的把握越大，故（1）错误；

（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，数据的离散程度不变，则样本的方差不变，故（2）正确；

（3）根据残差的定义可知，在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，预测值与实际值越接近，其模型拟合的精度越高，（3）正确；

（4）设随机变量服从正态分布，若，则，则

，则，故（4）正确，

故正确的命题的个数为个，故选B.

二、解答题

11．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三期中（理））某工厂，两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：

（1）根据已知数据，列出产品等级与生产线的列联表，并判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？

（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？

附：

【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关；（2）1.6；2.36；生产线的获利更稳定.

【分析】（1）根据已知数据可建立列联表如下：

所以没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关

（2）生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：

（元）

获利方差为

生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：

（元）

获利方差为

所以，则生产线的获利更稳定．

12．（2020·全国高三专题练习（理））冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A、B材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图．

（1）由上面等高条形图，填写列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？

（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000元．如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？

附：参考公式：，其中．

【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关；（2）2.1万元/吨.

【分析】（1）根据所给等高条形图，得到的列联表：

的观测值，由于，

故有99%的把握认为试验成功与材料有关．

（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元．易知可得0，0.1，0.2，0.3．

，，

，，

则Ｘ的分布列为：（分布列也可以不列）

修复费用的期望：．

所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标．

13．（2020·河北桃城区·衡水中学高三月考）为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：

（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：

根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？

（2）用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为台，求的分布列和数学期望；

（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.

参考公式：，.

参考数据：

【答案】（1）列联表答案见解析，有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）选择A型设备，理由见解析.

：（1）由频率分布直方图可知，A型超过2500小时的有台，则A型不超过2500小时的有30台，同理，B型超过2500小时的有台，则B型不超过2500小时的有50台.

列联表如下：

因为，

所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关.

（2）由（1）和分层抽样的定义可知A型设备有3台，B型设备有5台，

所以的取值可能为0，1，2，3，

，，

，，

所以的分布列为

所以.

（3）由频率分布直方图中的频率估计概率知：

A型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A型设备估计要更换3台；

B型设备每台更换的概率为0.5，所以10台B型设备估计要更换5台，

选择A型设备的总费用(万元)，

选择B型设备的总费用(万元)，

所以选择A型设备.

14．（2020·湖北高三月考）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患.目前，国际上常用身体质量指数（英文为，简称）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某地区随机调查了6000名35岁以上成人的身体健康状况，其中有1000名高血压患者，得到被调查者的频率分布直方图如图：

（1）求被调查者中肥胖人群的平均值；

（2）根据频率分布直方图，完成下面的2×2列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关？

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）；（2）能有的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关；

【分析】（1）解：由图可知，1000名高血压患者中：

5000名非高血压患者中：

被调查者中肥胖人群的平均值．

（2）由（1）及频率分布直方图知，1000名高血压患者中有人肥胖，5000名非高血压患者中有人肥胖，所以可得下列列表：

由列联表中数据得的观测值为，

所以能有的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关．

15．（2020·岳麓区·湖南师大附中高三月考）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期.各种传染疾病的潜伏期不同，数小时､数天､甚至数月不等.某市疾病预防控制中心统计了该市200名传染病患者的相关信息，得到如下表格：

（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，根据上表数据将如下列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关.

（2）将200名患者的潜伏期超过6天的频率视为该市每名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机调查了该地区30名患者，其中潜伏期超过6天的人数为，求随机变量的期望和方差.

附：

，其中.

【答案】（1）列联表答案见解析，有的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关；（2）期望：12，方差：.

【分析】（1）由题意得列联表：

由上表可得，

所以有的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关.

（2）由题意可知，一名患者潜伏期超过6天的概率为，

随机变量服从，

∴.

答：随机变量X的期望和方差分别为12与.