专题05 数列-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

 专题05 数列

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、 选择题

1．（2019·山东任城·济宁一中高三月考）在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（    ）

A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11

【答案】B

【解析】数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，

∵a3＝5，S4＝24，

∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，

联立解得a1＝9，d＝﹣2，

则a9＝9﹣2×8＝﹣7．

2．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模（理））等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（    ）

A．7 B．8 C．15 D．16

【答案】C

【解析】由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式．

3．（2020·宁夏惠农·石嘴山市第一中学高三其他（文））我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（    ）

A．第2天 B．第3天 C．第4天 D．第5天

【答案】B

【解析】第一天共挖，前二天共挖，故前天挖通，故两鼠相遇在第天.

4．（2020·广西七星·桂林十八中高三月考（理））已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A．7 B．10 C．63 D．18

【答案】C

【解析】等差数列的首项为，公差为

所以，，

所以，

所以，即，

所以..

5．（2019·安徽省太和中学高三月考（理））已知等差数列中，，公差，则与的等差中项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】与的等差中项是.

6．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知是等比数列，，则公比=（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.

7．（2019·全国高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为（  ）

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】C

【解析】由得，，，，所以公差大于零.

又，，

，

8．（2020·勃利县高级中学高一期末）设是等差数列的前项和，若，则（ ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】，故选A.

9．（2019·吉林长春·东北师大附中高三月考（理））已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】是等比数列，，即，

也是等比数列，且，

，

可得：

，当且仅当时取等号，

的最小值为.

10．（2020·安徽屯溪一中高一期中）若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（    ）

A．4040 B．4041 C．4042 D．4043

【答案】A

【解析】∵，∴和异号，

又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，

，∴，

，

∴满足的最大自然数为4040．

11．（2020·安徽屯溪一中高一期中）已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为在上单调减，在单调减，

所以当时，此时，当时，此时，因此数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别为，选C.

12．（2020·安徽蚌埠·高一期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即，

∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即，

∴ ，

13．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（理））设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（   ）

A．290 B． C． D．

【答案】C

【解析】由得，

当时，，整理得，

所以是公差为4的等差数列，又，

所以，从而，

所以，

数列的前10项的和.

14．（2020·全国高三其他）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【解析】由题意可得

．

设，，

因为函数是增函数，

所以当时，函数取最小值，

所以．

故实数的最大值为．

15．（2020·河北枣强中学高一期中）已知是等差数列，若，数列满足，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】已知是等差数列，且，

所以，

解得，

所以，

所以，

所以，

所以，

，

16．（多选题）（2020·山东文登·高二期末）设等差数列的前项和为．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】设等差数列的公差为，则，解得，

，.

17．（多选题）（2019·山东薛城·枣庄八中高二期中）若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是（    ）

A．可以是等差数列 B．可以是等比数列

C．可以既是等差又是等比数列 D．可以既不是等差又不是等比数列

【答案】ABD

【解析】解：因为,

所以或,

即：或

①当时,是等差数列或是等比数列.

②或时,可以既不是等差又不是等比数列

18．（多选题）（2020·江苏盐城·高二期末）设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（    ）

A．当时，取最大值 B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】BC

【解析】因为，所以，解得.

对选项A，因为无法确定和的正负性，

所以无法确定是否有最大值，故A错误.

对选项B，，

故B正确.

对选项C，，

故C正确.

对选项D，，

，

因为，所以，，

，故D错误.

19．（多选题）（2020·海南海口·高三其他）已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；

，选项B正确；

，所以，选项C错误；

，而，选项D正确．

20．（多选题）（2020·山东泰安·高三其他）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（    ）

A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是182

C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为

【答案】AC

【解析】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，，由此可得，A正确；，B错误；C正确；是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，D错．

二、      解答题

21．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期末）等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

【解析】（1）设的公比为，由题设得．

由已知得，解得（舍去），或．

故或．

（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．

若，则．由得，解得．

综上，．

22．（2020·河北路北·开滦第一中学高一期末）已知等差数列和正项等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【解析】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，

因为，

所以

因此；

（2）数列的前n项和

23．（2020·安徽高二期末（理））已知数列的前n项和为，且，．

（1）求的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

【解析】解：（1）因为，

所以，两式作差可得

，

整理得，则，

故，

当时，满足上式，故．

（2）由（1）可知，

则．

．

24．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高一期末）已知数列的前项和为，且满足，.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若，数列的前项和为，求.

【解析】（1），则当时，，

两式相减得：，

∴，即：，

又时，，解得：，∴，

∴，

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）得：，∴，

又，∴，

∴，

设，

则，

两式相减可得：，

∴，又，

∴.

25．（2020·江苏南通·高三其他）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，，成等比数列，数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）若数列满足，且为整数，求m的值．

【解析】（1）因为，，，成等比数列，

所以

即,

解得：或（舍去）

所以，

（2）因为，

所以，①

②

①②得：,

又，

所以，

当时，，即，也适合，

所以,

由知数列是公比为2的等比数列.

（3），

当时，，时，，

当时，由知，不是整数，

所以为整数则或.