专题5 不等式的综合应用-2021年高考数学（文）尖子生培优题典

2021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典

专题5 不等式的综合应用

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（2020·山西平城·大同一中高三月考）已知命题，命题，，则成立是成立的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】求解不等式可得，

对于命题，当时，命题明显成立；

当时，有：，解得：，

即命题为真时，

故成立是成立的充分不必要条件.

故选A.

2．（2020·梅河口市第五中学其他（文））设，满足，向量，，则满足的实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】：不等式组表示的平面区域如图所示：因为，，

由得，∴当直线经过点C时，m有最小值，

由，得，∴，

∴，

故选：B.

3．（2020·四川武侯·成都七中高三月考（文））若变量，满足约束条件，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】变量，满足约束条件的可行域如下图所示：

根据题意，可以看作是可行域中的点与点连线的斜率，

由图分析易得：当，时，其斜率最小，

即取最小值，

当，时，其斜率最大，即的取最大值．

故的取值范围是．

故选：．

4．（2020·四川省新津中学高三开学考试（文））已知函数，其中为自然对数的底数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，

所以函数是奇函数，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，函数是增函数，

因为，所以，

即，，，

，，解得，

故选：B.

5．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，

另一根在区间（3，4）内，

只需，即，

解不等式组可得，即的取值范围为，

故选：C.

6．（2020·洛阳市第一高级中学月考（文））对任意实数，定义运算“”：，设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】：有题意：，解得：或，

所以，

令

画出的函数图象，如图：

因为函数的图象与轴恰有三个交点，

所以有三个零点，

由图可得：．

故选：A．

7．（2020·历下·山东师范大学附中月考）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，可得，即，

当时，，所以在上恒成立，

只需，当时有最小值为1，则有最大值为3，

则，实数的取值范围是，

故选：A

8．（2020·梅河口市第五中学其他（文））已知函数，若，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，函数在上单调递增，可得.

又，，故．

9．（2020·湖南邵阳·高三三模（文））已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意不等式对任意恒成立

又∴a+b≤6则 当且仅当 成立

故

故选：C

10．（2020·江西省奉新县第一中学月考（文））设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，

当直线过直线与直线的交点时，

目标函数取得最大2，

即，

而  ．当且仅当，即时取等号；

故选：B．

11．（2020·全国高三其他（文））已知函数，若 ，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A由题可知：

令

又

于是有   

因此

所以

当且仅当时取等号

本题正确选项：

12．（2020·河南高二月考（文））已知函数是定义在上的单调递增的函数，且满足对任意的实数都有，则的最小值等于（    ）.

A．2 B．4 C．8 D．12

【答案】B

【解析】由题可知：为定值

故设，即

又，

所以

则

则

当且仅当时，取等号

所以的最小值为：4

故选：B

13．（2020·合肥市第六中学月考（文））已知，均为正数，且，则的最小值为（   ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【解析】∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b＝0，

∴1．

则

b2﹣1，

又因为b＝（）（b）2≥2+2＝4，当且仅当a＝4，b＝2时取等号．

∴（b2）（1+1）≥（b）2≥16，当且仅当a＝4，b＝2时取等号．

∴b2≥8，

∴b2b2﹣1≥7．

故选B．

14．（2020·江西南昌二中月考（文））已知，，且.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于不等式对任意实数恒成立，即恒成立，而，所以①.由于，.所以，解得.

故选D.

15．（2019·河北桃城·衡水中学期末（文））已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【解析】令，，，∴，

点在直线上，则，即，

∵，，∴，

∴，

当且仅当，即时等号成立．

故选：C．

16．（2020·浙江月考）已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】：令，原不等式整理得：

，

即，

∴，即，

两边除以得：，

所以

，

因为，故，故为增函数.

又，因此在上递减，上递增，

又，，且，

故.

则.

故选：B.

二、填空题

17．（2020·迁西县第一中学期中）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】分类讨论：①当时，即：，

整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当时，，则；

②当时，即：，整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是，故答案为.

18．（2020·天津一模（文））已知,且是与的等差中项，则的最大值为________.

【答案】

【解析】是与的等差中项，，可得，

当时，，当时，，

所以要使有最大值，则，

不妨设时，范围一样），

则

，当 时，等号成立，即的最大值为，故答案为.

【点晴】

本题主要考查等差中项的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

19．（2020·黑龙江鹤岗一中月考（文））若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为________.

【答案】

【解析】∵ 不等式在区间上有解，

∴ 不等式在区间上有解，

∴ 不等式在区间上有解，

令，（），则，

∴ 当时，，单调递减，

∴

不等式在区间上有解，即

∴

故答案为：

20．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）若关于的不等式的解集为，则实数的值为______

【答案】

【解析】不等式即等价于不等式

，即，

令，解得，，，

因为不等式的解集为，

所以，且，解得.

故答案为：.

21．（2020·江西宜春·高二期末）①的最小值为；②当时，；③的最大值为； ④当且仅当均为正数吋，恒成立. 以上命题是真命题的是__________．

【答案】②③

【解析】

依题意，当时，，①错误；只要，都有恒成立，④错误.对于②，，当且仅当时等号成立，正确.对于③，，当且仅当时，等号成立，正确.

22．（2020·广西大学附属中学月考（文））已知，则的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用可把变形为，该式可进一步变形为，利用基本不等式可求的最小值，从而得到所求的最小值.

【详解】

由题意得，所以，即，消去，

得.

记，注意到，

则

，

当且仅当即时等号成立，

所以最小值为.

故答案为：.

23．（2020·北京北师大实验中学月考）设，，则当______时，取得最小值.

【答案】

【解析】，当且仅当且时等号成立，即.

故答案为

24．（2020·福建省泰宁第一中学月考）在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，其中，则的最小值是_____．

【答案】

【解析】

中，为边的中点，为的中点，

且，

，

，

同理，，

又与共线，

存在实数，使，

即，

，解得，

，

当且仅当时， “=”成立，故答案为.

【点睛】

本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．