专题4.2 数列求和-2021年高考数学（文）尖子生培优题典

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2021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典专题4.2 数列求和姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·全国专题练习（文））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第8项为(    )A．99 B．131 C．139 D．141【答案】D【解析】所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：，解得解得：故选：D．2．（2020·湖北宜昌·其他（文））我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（    ）A．五寸 B．二尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸【答案】C【解析】设晷影长为等差数列，公差为，，，则，解得．夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸．故选：．3．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））等差数列前项和为，若，是方程的两根，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】是方程的两根，，，，故选C.4．（2020·赤峰二中高一月考（文））等差数列和的前项和分别为与，对一切自然数，都有，则 （   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】 ,选B.5．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模（文））已知数列，，则数列的前100项和为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知， 当时，；当时，，所以数列的前100项和 .故选:B6．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校二模（文））对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和为（     ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，，，，，累加可得，，.故选：B.7．（2020·湖南邵阳·三模（文））已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，由题意可知，得.，，.故选：C.8．（2020·岳麓·湖南师大附中高三月考（文））数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前n项和．则使不等式成立的最小正整数n的值是（提示）（  ）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C【解析】把代入），得，故，则，则不等式成立，代入计算可得，当不等式成立时．n的最小值为9．故选C．9．（2020·全国高三其他（文））已知数列，都是等差数列，，，设，则数列的前2020项和为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为，等差数列的公差为因为，所以，解得所以因为，所以，解得所以所以所以故选：D10．（2020·山东青州·高三三模（文））已知数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，且，若函数的前项和为，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：由可得，从而得数列表示首项为，公差的等差数列，求得，再根据错位相减法即可得结果.详解：根据题意得，，数列表示首项为，公差的等差数列，，，，，，，故选B.11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他（文））设数列满足，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是_____．【答案】3【解析】解：数列满足，①可得，时，，②①②可得，即有，对也成立，则，即为，可得对任意恒成立，显然为递减数列， 取得最大值，可得，解得，实数的最小值为3．故答案为：3．12．（2020·山西其他（文））设函数，数列满足，则______.【答案】【解析】由题得,，两式相加得，考虑一般情况，设,则所以故答案为：13．（2020·全国专题练习（文））在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a51＝____．【答案】676【解析】当为偶数时， ；当为奇数时， ；所以 14．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（文））在数列中，已知，，则=______．【答案】【解析】因为，故可得，累加可得，又因为，则，故可得，则.故答案为：.15．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三二模（文））已知数列的各项均为正数，其前项和满足，设，为数列的前项和，则______．【答案】【解析】由于正项数列的前项和为，且.当时，，得，，解得；当时，由得，两式作差得，可得，，对任意的，，则，，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，.，，所以，可视为数列的前项和，因此，.故答案为：.16．（2020·全国高三其他（文））数列的前项和为，若，则________.【答案】【解析】因为，所以当时，，解得，当时，所以，即，所以，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，又满足上式，所以，所以==故答案为： 17．（2020·福建其他（文））已知公差不为0的等差数列，其前项和为，，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，所以，那么，所以或（舍去）又因为，则（2）由（1）得，所以数列的前项和①，所以②，由①②相减得.所以.18．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他（文））已知等比数列的前项和为，且，，的等差中项为10.（1）求数列的通项公式；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），解得，.所以.（2）由（1）可知，所以，又，则.19．（2020·荆州市北门中学期末（文））已知等差数列满足（）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由已知得 即所以解得 所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，①，②    得：  所以．20．（2020·全国专题练习（文））设，数列{bn}满足：bn+1＝2bn+2，且an+1﹣an＝bn；（1）求证：数列{bn+2}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：a1＝2，a2＝4，且an+1﹣an＝bn；∴b1＝a2﹣a1＝4﹣2＝2．由bn+1＝2bn+2，变形为： ，∴数列{bn+2}是等比数列，首项为4，公比为2．（2）解：由（1）可得：bn+2＝4×2n﹣1，可得bn＝2n+1﹣2．∴an+1﹣an＝bn＝2n+1﹣2．∴2n+2＝2n+1﹣2n．21．（2020·湖南邵阳·三模（文））设数列满足：，，.（1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】（1）∵，∴．∴．∴．∴是首项为3，公比为的等比数列．∴，故．（2）由（1）得∴．22．（2020·广西高三其他（文））已知数列的前项和为，，.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，设数列的前项和为，求.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为，，所以，所以，所以.所以是以为首项，以为公差的等差数列.（2）由（1）可得，所以.∴∴．