初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试精品第1课时同步训练题

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试精品第1课时同步训练题，共29页。试卷主要包含了下列图形中，一定相似的是等内容，欢迎下载使用。

第27章 相似复习课（第1课时）
互动训练
知识点一：相似多边形
1．下列图形中，一定相似的是（　　）
A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
2. 如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（　　）
A．B． C． D．
3．已知A4纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4的高度约为（　　）
A．29.7cm B．26.7cm C．24.8cm D．无法确定

3题图 6题图
4．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为　 　．
5．若两个相似多边形的对应边分别为4cm和8cm，则它们的相似比为　 ．
6．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为　 　．
7．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应．
（1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数；
（2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长．

知识点二：成比例线段
8.已知点P在线段AB上，且AP︰PB＝2︰3，那么AB︰PB为（　　）
A．3︰2 B．3︰5 C．5︰2 D．5︰3
9.给出下列各组线段，其中成比例线段的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m D．1cm，cm，2cm，2cm
10.在比例尺为1：1000000的地图上量得A，B两地的距离是20cm，那么A、B两地的实际距离是（　　）
A．2000000cm B．2000m C．200km D．2000km
11.如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么的值为（　　）

A． B． C． D．
12.已知a：b：c＝2：3：4，且a+3b﹣2c＝15．
（1）求a、b、c的值； （2）求4a﹣3b+c的值．




13.已知P为线段AB上一点，且AB被点P分为AP：PB＝2：3．
（1）求AB：BP；
（2）如果AB＝100cm，试求PB的长．




14.如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．

14题图

知识点三：相似三角形的判定
15.下列命题中，正确的个数是( )
①所有的正三角形都相似； ②所有的直角三角形都相似；
③所有的等腰三角形都相似； ④所有的等腰直角三角形都相似.
A.1 B.2 C.3 D.4
16.如图所示，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,则图中相似三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

16题图 17题图
17.如图，已知△ADE∽△ACB，其中∠AED=∠B，则下列比例式成立的是( )
A. B.
C. D.
18．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )
A．∠B＝∠DAC B．∠BAC＝∠ADC
C．AC2＝DC·BC D．AD2＝BD·BC

18题图 19题图 20题图
19．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8
20．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )

21. 一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm，则其余两边长为______________.
22．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．

22题图 23题图
23．如图所示，在平行四边形ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．
24.将两块完全相同的等腰直角三角形板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内. 请问图中：
(1)共有多少个三角形？把它们都写出来；
(2)有相似(不包括全等)三角形吗?若有，请把它们一一写出来.

24题图
25.如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R. (1)求BF的长；(2)求BR的长；(3)求BQ的长；(4)求PQ的长.




25题图


26．如图所示，如果D、E、F分别在OA、OB、OC上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；(2)△ODE∽△OAB；(3)△ABC∽△DEF．

26题图
27.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，P为BD上一动点，AB=60 cm，CD=40 cm，BD=140 cm，当P点在BD上由B点向D点运动时，PB的长满足什么条件，可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.

27题图
28.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AB2＝BD•BC
（1）求证：△ABC∽△DBA；
（2）试证明CA＝CD.

28题图

29.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．

29题图

30．已知如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．

30题图


课时达标
1．下列说法正确的是（　　）
A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形
C．等边三角形都是相似图形 D．各边对应成比例的多边形是相似多边形
2．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．10
3．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和DC的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（　　）
A．2 B．2 C．5+12 D．5-12

3题图 6题图
4.已知a、b、c均不为0，且a+b+c≠0，若＝＝＝k，则k＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
5.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是( )
A.∠A=∠C′ B.∠A=∠A′ C. D.
6.如图所示,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0.5 m,长臂端点升高( )
A.11.25 m B.6.6 m C.8 m D.10.5 m
7.在△ABC中，∠C=90°，D是边AB上一点(不与点A,B重合)，过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

8．以正方形各边的中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为　 　．

8题图 9题图 10题图
9．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC的长为　 ．
10．如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是　 　．
11.已知x：y：z＝1：2：3，且x﹣2y+3z＝4，则x﹣y+z＝ 　　．
12.如图，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm，AB=4 cm，则AC的长为_______________.

12题图 13题图
13．一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D相似吗？为什么？





14.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，
求BC︰CE的值．

14题图



15．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD·BC＝OB·BD．

15题图

16. 如图，F是△ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF, 交AB于E. 求证：.　
　
16题图

17.如图所示，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.
（1）请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)；
（2）求BP∶PQ∶QR.

17题图

18．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．

请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为m，DE＝15，求△DEF的面积．


高频考点
1.（2020•辽宁营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．

1题图 2题图 3题图
2. (2020•山东潍坊)如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则平行四边形ABCD的周长为(　　)
A．21 B．28 C．34 D．42
3.（2020•黑龙江哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4.（2020•河南省）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　）
A．（，2） B．（2，2） C．（，2） D．（4，2）

4题图 5题图 6题图
5. (2020•江苏盐城)如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为　 ．
6. （2020•江苏苏州）如图，在△ABC中，已知，，垂足为，．若是的中点，则_________．
7.（2020•广东广州）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为_______．

7题图 8题图
8. （2020•江苏苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，BC=4，求DF的长．






9. (2020•江苏泰州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点(与B,C不重合)，PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
(1)用含x的代数式表示AD的长；
(2)求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．

9题图
10.（2020•贵州遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF=1，BF=2，求BD的长度．

10题图
11. （2020•湖南湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积．



第27章 相似复习课（第1课时）答案
互动训练
1. A. 解析：A.两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B.两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C.两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D.两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选：A．
2. A. 解析：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件，故A符合题意；锐角三角形、菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故B、D不符合题意；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件，故C不符合题意．故选：A．
3. A. 解析：设A4纸的高度为xcm，∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴12x21=21x，解得，x1＝﹣212（舍去），x2＝212≈29.7，
则设A4纸的高度为29.7cm，故选：A．
4. 100° . 解析：∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，
∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，
∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大内角度数为100°，故答案为：100°．
5. 1︰2．解析：∵相似多边形的对应边的比等于相似比，
∴它们的相似比＝4︰8＝1︰2，故答案为1︰2．
6. 135°．解析：∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．故答案是：135°．
7. 解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1相似，∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1相似，
∴ABA1B1=BCB1C1=ADA1D1，∴96=BC8=AD4，∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42．
8. D. 解析： AP︰PB＝2：3，AB︰PB＝（AP+PB）︰PB＝（2+3）︰3＝5︰3；
故选：D．
9. D. 解析：A、1×4≠2×3，故选项错误；B、2×5≠3×4，故选项错误；
C、0.3×0.9≠0.6×0.5，故选项错误；
D、＝，故选项正确．故选：D．
10. C. 解析：根据比例尺＝图上距离：实际距离，
得A、B两地的实际距离为20×1000000＝20000000（cm）＝200km．
故A、B两地的实际距离是200km．故选：C．
11. C. 解析：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，
则AG＝b，BG＝b+a，BE＝2b﹣a，CE＝2b，
∴AB＝2b+a，BC＝2b+2b﹣a＝4b﹣a，
∵矩形BEFG∽矩形ABCD，
∴＝，即＝，∴b＝a，
∴BG＝b+a＝a，AD＝4b﹣a＝5a，
∵矩形BEFG∽矩形ABCD，
∴＝（）2＝（）2＝．故选：C．
12. 解：（1）设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+3b﹣2c＝15，∴2k+9k﹣8k＝15，∴k＝5，
∴a＝10，b＝15，c＝20；
（2）∵a＝10，b＝15，c＝20，∴4a﹣3b+c＝4×10﹣3×15+20＝15．
13. 解：（1）设AP＝2x，则PB＝2x，AB＝5x，所以＝＝；
（2）当AB＝100时，＝， 所以PB＝60（cm）．
14. 解：当＝时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．解得x＝1.2.
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
15. B. 解析：两个直角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，等腰三角形的对应角不一定相等，所以②③不正确,①符合AA,④符合SAS. 答案：B
16. C. 解析：根据有两角对应相等的三角形相似进行判定，有3对. 答案：C
17. A. 解析：找准对应边是关键，答案：A
18．D． 19．D． 20．A．
21. 4 cm，6 cm. 解析：可求得两个三角形对应边的相似比为2,所以另外两边为4,6.
答案：4 cm，6 cm
22．6对． 23．6对．
24. 解：(1)7个, △ABD,△ABE,△ABC,△ADC,△ADE,△AEC,△AFG；
(2)有,△ADE∽△CDA,△BAE∽△ADE,△ABE∽△DCA.
25. 解：(1)∵△ABC≌△DCE≌△FEG，BC=1，AB=,
∴BC=CE=EG=1，EF=FG=AB=. ∴BG=3.
∴，∴.
∵∠G=∠G,∴△BFG∽△FEG.
∴.∴.∴BF=3.
(2)∵△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,
∴∠ACB=∠DEB=∠FGB=∠DCE=∠FEG.
∴AC∥DE∥FG,DC∥EF.
又∵BG=BF,∴BR=BE=2.
(3)∵DC∥EF,BC=CE，∴BQ=BF=1.5.
(4)∵AC∥DE， ∴BP=BC=1. ∴PQ=BQ-BP=0.5.
26．提示：(1)OD∶OA＝OF∶OC，OE∶OB＝OF∶OC；
(2)OD∶OA＝OE∶OB，∠DOE＝∠AOB，得△ODE∽△OAB；
(3)证DF∶AC＝EF∶BC＝DE∶AB．
27. 解：当△ABP∽△PDC时,,得PB=120或PB=20;
当△ABP∽△CDP时,,BP=85.
答:当BP分别为120 cm,20 cm,85 cm时,图中三角形相似.
28. 证明：（1）∵AB2＝BD•BC，∴＝，
∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA．
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，
∵△ABC∽△DBA, ∴∠BAD＝∠C＝36°.
∴∠CAD＝72°， ∴∠CDA═180°﹣∠C﹣∠CAD＝72°，
∴∠CAD＝∠ADC，∴CA＝CD．
29. 证明：连接PC，∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是BC的中垂线，∠ABC=∠ACB,
∴PB=PC, ∠PBC=∠PCB, ∴∠ABP=∠ACP,
∵CF∥AB，∴∠F=∠ABP=∠ACP,
又∵∠EPC=∠CPF, ∴△PCE∽△PFC，
∴PC︰PE=PF︰PC，∴PC2=PE·PF，
∴PB2=PE·PF.

29题图
30．解：相似．由△BHA∽△AHC得再有BA＝BD，AC＝AE．
则：再有∠HBD＝∠HAE，得△BDH∽△AEH．
课时达标
1. C. 解析：A、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；
B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；
C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；
D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，
故选：C．
2. B. 解析：设这个多边形的最短边长为x，
∵两个多边形相似，∴246=x2，解得，x＝8，故选：B．
3. B. 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝ycm，
由折叠的性质得：AE=12AB=12x，
∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，
∴AEAD=ADAB，即12xy=yx，∴x2＝2y2，∴x=2y，∴xy=2yy=2．故选：B．
4. D. 解：由若＝＝＝k，得2b+c＝ak，2c+a＝bk，2a+b＝ck，
三式相加，得3（a+b+c）＝k（a+b+c）
由于a、b、c均不为0，且a+b+c≠0，所以k＝＝3．故选：D．
5. D. 解析：画出草图帮助分析，得D不满足SAS判定法.答案：D
6. C. 解析：作出如下示意图，由△AOB∽△EOD可求得答案.答案：C

6题图 7题图
7. C. 解析：如图所示，有三条直线可满足要求.答案：C
8. ︰2. 解析如图，设正方形ABCD的边长为2a，
∵E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，∴AE＝AH＝a，
∵∠A＝90°，∴EH=AE2+AH2=2a，
∴新正方形与原正方形的相似比＝EH：AB=2a：2a=2：2．
故答案为：︰2.
9. .解析：∵矩形ABCD与矩形EABF相似，
∴AEAB=ABAD，即12AD1=1AD，解得，AD=2，∴BC＝AD=2，故答案为：2．
10. 67°. 解析:如图，∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A′＝∠A＝138°，
∴α＝∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣138°﹣80°﹣75°＝67°，
故答案为67°．

10题图
11. 解：∵x：y：z＝1：2：3，∴设x＝t，y＝2t，z＝3t，
∵x﹣2y+3z＝4，∴t﹣4t+9t＝4，解得t＝，
∴x﹣y+z＝t﹣2t+3t＝2t＝2×＝．故答案为．
12. cm. 解析：由△ABC∽△ACD,得AC2=AD·AB. 答案： cm
13. 解：不相似；内边缘的矩形ABCD长AD＝300 cm，宽AB＝150 cm，
外边缘的矩形长A'D'＝315 cm，宽A'B'＝165 cm，
∵ADA'D'=300315，ABA'B'=150165=300330，ADA'D'≠ABA'B'，
所以内外边缘所成的两个矩形不相似．
14. 解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，BC︰CE=AD︰DF=3︰5
15．证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°．
∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC．
∴∠OBC＝90°．∴∠D＝∠OBC．
∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC．∴△ADB∽△OBC．
∴AD·BC＝OB·BD．
16. 证明：过点F作FG∥BC,交AB于G.
则△DBE∽△FGE， △AGF∽△ABC，
∵, 又∵AF=BD, ∴
∵△AGF∽△ABC， ∴, 即.

16题图
17. 解：（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ
（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形
∴BC=AD=CE，AC∥DE，∴PB=PR，
又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ.
又∵点R是DE中点，∴DR=RE.
，∴QR=2PQ.
又∵BP=PR=PQ＋QR=3PQ.
∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶2
18. 解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，

∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵64=32，108=54，∴64≠108，
∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，
∴ABDE=OGOH=23，同理ACDF=BCEF=ABDE=23，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：12×9×12＝54．
高频考点
1. A. 解：∵DE∥AB，∴＝＝，∴的值为，故选：A．
2. C. 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，
∴，∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：(8+9)×2＝34．故选C．
3. C. 解析：∵EF∥BC，∴，
∵EG∥AB，∴，∴，故选：C．
4. B. 解析：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），
∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，∴BC＝9，
∵四边形OCDE是正方形，∴DE＝OC＝OE＝2，∴O′E′＝O′C′＝2，
∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴＝，∴＝，∴BO′＝3，
∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），故选：B．

4题图
5. 2. 解析：∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，
∴AB•DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，
∴，故答案为：2．
6. 1. 解析：，
为的中点，，∴，
，,
，
，，. 故答案为：1．
7. 16. 解析：在正方形ABCD中，，
∵绕点逆时针旋转到，∴，
∴，∵，∴，
∴，∴．故答案为：16．
8. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，．∴，
∵，∴．∴，
∴．
（2）解：∵，∴．
∵，是的中点，∴．
∴在中，．
又∵，∴，∴．
9. 解：(1)∵PD∥AB，∴=，∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，∴=，
∴CD＝，∴AD＝AC－CD＝3－，即AD＝－+3；
(2)根据题意得，S＝AD·CP==，∴当x≥2时，S随x的增大而减小，∵0＜x＜4，∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．
10. 解：（1）连接OD，如图：
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB，∴∠DAE=∠OAD，
∴∠ADO=∠DAE，∴OD∥AE，
∵DE∥BC，∴∠E=90°，∴∠ODE=180°-∠E=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵OF=1，BF=2，∴OB=3，∴AF=4，BA=6．
∵DF⊥AB，∴∠DFB=90°，∴∠ADB=∠DFB，
又∵∠DBF=∠ABD，∴△DBF∽△ABD，
∴，∴BD2=BF•BA=2×6=12．
∴BD=2．

10题图 11题图
11. 解：（1）连接DE，如图，
∵点O是△ABC的重心，∴AD，BE是BC，AC边上的中线，
∴D，E为BC，AC边上的中点，∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，∴△ODE∽△OAB，
∴＝，∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，
∴AD＝，OD＝，
∴，＝；
（2）由（1）可知，，是定值；
点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3，
则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比，
故＝，是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，AB＝BC＝CD＝4，
∴△CME～△AMB，∴，
∵E为CD的中点，∴，
∴，∴，∴，即；
②∴S△CME＝1，且，∴S△BMC＝2，
∵，∴，
∴S△AMB＝4，∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6，
又S△ADC＝S△ABC，∴S△ADC＝6，
∴正方形ABCD的面积为：6+6＝12．