初中28.2 解直角三角形及其应用精品第1课时练习题

这是一份初中28.2 解直角三角形及其应用精品第1课时练习题，共18页。试卷主要包含了2 ，42，cs25°≈0等内容，欢迎下载使用。

28.2 .2应用举例（第1课时）
自主预习
1. 如图，在进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是 ，视线在水平线下方的是 .

1题图 2题图
2.为测楼房BC的高，在距楼房30 m的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为( )
A.30tanα m B. m C.30sinα m D.m

互动训练
知识点1 利用解直角三角形解决简单问题
1.如图，已知AC=100 m，∠B=30°，则BC两地之间的距离为( )
A . 100m B.50m C.50m D. m

1题图 2题图 3题图
2.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=a，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)( )
A. B. C. D.h·cosa
3. 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是 m.
4.如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路.
(1) 求改直后的公路AB的长；
(2) 问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)

4题图

5.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶即可到达B地.已知AC=120km，∠A=30°，∠B=135°，求隧道开通后汽车从A地到B地需行驶多少千米.

5题图




6.某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m(踏板厚度忽略不计).为安全起见，乐园管理处规定:儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m.(计算结果精确到0.1m)
(1)当摆绳OA与0B成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h=____；
(2)某成人在玩秋千时，摆绳0C与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？
(参考数据: ≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)

6题图



知识点2 利用视角解直角三角形
7.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端25米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为a，则树OA的高度为( )
A. 米 B.25sina米 C.25tana米 D.25cosa米

7题图 8题图
8. 当地时间2019年4月15日下午，法国巴黎圣母院发生火灾，大火烧毁了巴黎圣母院后塔的塔顶．烧毁前，为测量此塔顶B的高度，在地面选取了与塔底D共线的两点A、C，A、C在D的同侧，在A处测量塔顶B的仰角为27°，在C处测量塔顶B的仰角为45°，A到C的距离是89.5米．设BD的长为x米，则下列关系式正确的是（　　）
A．tan27°＝ B．cos27°＝
C．sin27°＝ D．tan27°＝
9.山东聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标.如图，点O是摩天轮的圆心，长为110m的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在点C到直径AB所在直线的距离约为(tan33°≈0.65，tan21°≈0.38)( )

A.169m B.204m C.240m D.407m
10.孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为 米.(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.342 0，sin70°≈0.939 7，tan20°≈0.364 0，tan70°≈2.747 5)

10题图 11题图
11.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_____米(结果保留根号)
12.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10 m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角为60°(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度.(结果精确到0.1 m)(参考数据：≈1.414，≈1.732)

12题图
13.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离.(结果精确到0.1m，参考数据≈1.414，≈1.732)

13题图
14.已知电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图线段AB），若AB＝60m，并且AB与地面成45°角，欲升高发射塔的高度到CB′，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60°角，求电视发射塔升高了多少米（即BB′的高度）？

14题图


课时达标
1.如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米

1题图 2题图
2.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝6米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为（　　）
A．2+2 B．4+2 C．2+3 D．4+3
3.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（　　）
A． B． C． D．

3题图 4题图
4.在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为a，若cosa＝，则这条射线是（　　）
A．OA B．OB C．OC D．OD
5.数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，cos37°≈，sin37°≈，tan37°≈）

5题图








6.如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D.测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30 cm.
(1)求B点到OP的距离；
(2)求滑动支架的长.
(结果精确到1 cm.参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0. 57，tan55°≈1.43)

6题图






7.如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度.(最后结果精确到0.1米，参考数据：=1.7)

7题图





8.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请求出平行四边形ACED的周长和面积．

8题图



拓展探究
1.如图，▱ABCO的顶点B、C在第二象限，点A（﹣3，0），反比例函数y＝（k＜0）图象经过点C和AB边的中点D，若∠B＝α，则k的值为（　　）
A．﹣4tanα B．﹣2sinα C．﹣4cosα D．﹣2tanα

1题图 2题图
2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．
（1）求EF的长；
（2）求∠COE的正弦值．





3.如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1 100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB.

3题图






28.2 .2应用举例（第1课时）答案
自主预习
1. 仰角，俯角.
2. A.
互动训练
1. A.
2. B. 解析：根据同角的余角相等，得∠CAD=∠BCD，
由cos∠BCD=，知BC== .故选B.
3.+.
4.解：（1）作CH⊥AB于点H. 在Rt△ACH中，
CH=AC·sin∠CAB=AC·sin25°≈4.2，
AH=AC·cos∠CAB=AC·cos25°≈9.1.
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan37°≈5.6.
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7(千米).
（2）BC=CH÷sin37°≈7.0，∴AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3(千米).
答：公路改直后比原来缩短了2.3千米.
5.解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，在Rt△ACD中，
∵AC=120km，∠A=30°，∴CD=ACsin30°=60km，AD=ACcos30°=60km，∵∠ABC=135°，∴∠CBD=45°，∴BD=CD=60km，AB=AD－BD=(60－60)km.
故隧道开通后汽车从A地到B地需行驶(60－60)千米.
6. 解：(1)1.5 如图，在Rt△OAE中，OA=OB=3m，∠AOE=A5°，
OE=OA×cos45°=3×=(m)，∴BE=0B－OE=3－=(m)，∴DE=BE＋BD=＋0.6≈1.5(m)，即h=1.5.
(2)如图，过点C作CF⊥OB于点F，在Rt△COF中，OC=OB=3m，∠COF=55°，
∴OF=OC×cos55°≈3×0.57=1.71(m)，BF=OB－OF=3－1.71=1.29(m)，
DF=BF＋BD=1.29＋0.6≈1.9(m)，∵1.9m＜2m，∴此人安全.

6题图
7.C. 解析：在Rt△ABO中，∵BO=25米，∠ABO=a，AO=BOtana=25tana米.
故选C.
8. A. 解析：∵在A处测量塔顶B的仰角为27°，在C处测量塔顶B的仰角为45°，A到C的距离是89.5米．设BD的长为x米，
可得：tan27°＝，故选：A．
9. B. 解析：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
在Rt△ACD中，AD=CD·tan∠ACD=CD·tan33°，
在Rt△DCO中，OD=CD·tan∠DCO=CD·tan21°，∵AB=110m，∴AO=55m，∴AO=AD－OD=CD·tan33°－CD·tan21°=55，
∴CD=≈≈204(m).
故小莹所在点C到直径从所在直线的距离约为204m.故选B.

9题图
10. 182. 解析：在Rt△ABC中，BC=AB×tan20°=500×0.3640=182（米）
11.(1200－1200) . 解析：在Rt△ACH中，CH=l200米，∠CAH=∠ACD=45°，∴AH=CH=1200米. 在Rt△BCH中，CH=1200米，∠CBH=∠BCD=30°，
∴BH=== 1200(米)，
∴AB=BH－AH=(1200－1200)米.
12.解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD-∠A=60°-30°=30°，
∴∠A=∠ACB. ∴BC=AB=10米.
在Rt△BCD中，CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732≈8.7(米).
答：这棵树CD的高度为8.7米.
13.解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形FBED是矩形.
∴FD=BE，BF=DE=10m，FD∥BE.∵∠FDC=30°，FD∥BE，∴∠DCE=∠FDC=30°.
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=10m，∠DCE=30°，
∴CE===10(m).
在Rt△AFD中，∠AFD=90°，∠ADF=∠FAD=45°，∴FD=AF.
∵AB=80m，BF=10m，∴FD=AF=AB－BF=80－10=70(m).
∴BC=BE－CE=FD－CE=70－10≈5207(m).
因此，障碍物两点间的距离约为52.7m.

13题图
14. 解：在Rt△ABC中，sin45°＝，∴BC＝AB•sin45°得到BC＝30米．
在Rt△A′B′C中，sin60°＝，∴B′C＝A′B′•sin60°＝30米．
∴B′B＝30（﹣）米．
课时达标
1. B. 解析：过点A′作A′C⊥AB于点C，由题意可知：A′O＝AO＝4，
∴sinα＝，∴A′C＝4sinα，故选：B．

1题图 2题图
2. B. 解析：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，又CD＝4，
∴DF＝2，CF＝，
由题意得∠E＝30°，∴EF＝，
∴BE＝BC+CF+EF＝6+4，
∴AB＝BE×tanE＝（6+4）×＝（2+4）米，
故选：B．
3. C. 解析：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理可知：AC＝5，
∴cos∠BAC＝＝，故选：C．

3题图 5题图
4. A. 解析：∵点A的坐标为（3，4），∴OA＝5，∴cosa＝，
则这条射线是OA．故选：A．
5. 解：延长CD交AH于点E，如图所示：根据题意得：CE⊥AH，
设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝，tan67°＝，
∴AE＝，BE＝，
∵AE﹣BE＝AB，∴﹣＝10，
即﹣＝10，解得：x＝8，∴DE＝8m，
∴GH＝CE＝CD+DE＝2jm+8m＝10m．
答：GH的长为10m．
6.(1)在Rt△BOE中，OE=，在Rt△BDE中，DE=，
则+=30，解得BE≈10.6.
故B点到OP的距离大约为11 cm；
(2)在Rt△BDE中，BD=≈25.3 cm.
答：滑动支架的长为25 cm.
7.过B点作BE⊥DC于E点，
∵BA⊥AF，DF⊥AF，∴四边形ABEF为矩形，BE=2.7.
在Rt△BEC中，∠CBE=30°，tan∠CBE=,
∴CE=BE·tan30°=.
在Rt△BDE中，∠DBE=45°，BE=2.7,
∴DE=2.7， DC=2.7-≈1.2.
答：塑像CD的高度约为1.2米.
8.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CE＝BC，∴AD＝CE，∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，
∵sin∠CAD＝，∴CD＝AC＝4，∴AD＝＝3，
∴平行四边形ACED的周长＝2×（3+5）＝16，
平行四边形ACED的面积＝3×4＝12．
拓展探究
1. A. 解析：如图，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥x轴于F，
在平行四边形OABC中，OC＝AB，
∵D为边AB的中点，∴OC＝AB＝2AD，CE＝2DF，∴OE＝2AF，
设AF＝a，∵点C、D都在反比例函数上，∴点C（﹣2a，﹣），
∵A（3，0），∴D（﹣a﹣3，），∴＝2×，解得a＝1，
∴OE＝2，CE＝﹣，
∵∠COA＝∠α，∴tan∠COA＝tan∠α＝，即tanα＝﹣，
k＝﹣4tanα．故选：A．

1题图
2. 解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，
∵∠ACB＝90°，∴OM⊥BC，∴OM＝AC＝×8＝4，
在Rt△OEM中，EM＝＝3，∴EF＝2EM＝6；
（2）CM＝BC＝8，∴CE＝8﹣3＝5，
∴CE＝OE，∴∠OEC＝∠OCE，
在Rt△OCM中，OC＝＝4，
∴sin∠OCM＝＝＝，
∴∠COE的正弦值为．

2题图
3.过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于点F，
则四边形ABFE为矩形，∴AB=EF，AE=BF.
由题意可知AE=BF=1 100-200=900（米），CD=19 900米.
在Rt△AEC中，∠C=45°,AE=900米，
∴CE===900（米）.
在Rt△BFD中，∠BDF=60°，BF=90°，BF=900米，
∴DF===300（米）.
∴AB=EF=CD+DF-CE=19 900+300-900=（19 000+300）米.
答：两海岛之间的距离AB是(19 000+300)米.