人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用第3课时一课一练

初中数学·人教版·九年级下册——第二十八章　锐角三角函数

28.2.2　应用举例

第3课时　坡度、坡角问题

测试时间:15分钟

一、选择题

1.(2019广东广州中考)如图,有一斜坡AB,坡顶B的高度BC为30 m,斜坡的坡角是∠BAC,若tan∠BAC=,则此斜坡的水平距离AC为              (　　)

A.75 m　　　B.50 m　　　C.30 m　　　D.12 m

2.(2018重庆中考A卷)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面内,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60,结果精确到0.1米)              (　　)

A.12.6米　　　B.13.1米　　　C.14.7米　　　D.16.3米

3.(2021重庆北碚一模)如图,某栋教学楼AB顶部竖有一块宣传牌BC,某同学从建筑物底端A点出发,沿水平方向向右走12米到达D点,在D处测得宣传牌底部B点的仰角是54°,再经过一段坡度为1∶2.4,坡长为6.5米的斜坡DE到达E点(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得宣传牌的顶部C点的仰角是45°,则宣传牌BC的高度约为(参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38,结果精确到0.1米)              (　　)

A.1.4米　　　B.3.9米　　　C.4.0米　　　D.16.6米

4.(2021浙江宁波江北模拟)为了测量一幢大楼的高度,某初三数学兴趣小组成员决定用所学知识解决这个问题.他们首先在E点测得大楼顶部A的仰角为37°,然后沿着斜坡CE向下走了15.6米到C点,又测得大楼顶部A的仰角为45°,已知斜坡CE的坡度i=1∶2.4,大楼AB底部到DC的铅直高度FD为3.6米,则大楼的高度AB约为(不考虑其他因素)(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,结果精确到0.1米)              (　　)

A.80.8米　　　B.67.2米　　　C.63.6米　　　D.61.2米

二、填空题

5.(2021山西中考)太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路,于2020年12月26日开通,如图是该地铁某站扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B,则王老师上升的铅直高度BC为　　　　米. 

6.(2020广东深圳福田期末)一个长方体木箱沿坡度i=1∶的坡面下滑,当木箱滑至如图所示的位置时,AB=3 m,已知木箱高BE= m,则木箱上的点E到地面AC的距离EF为　　　　m. 

三、解答题

7.(2020湖南湘潭中考)为了学生的安全,某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形,DE=10 m,其坡度i1=1∶,将步梯DE改造为斜坡AF,其坡度i2=1∶4,求斜坡AF的长度.(结果精确到0.01 m,参考数据:≈1.732,≈4.123)

8.(2019四川遂宁中考)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高30厘米,斜坡AB的坡度i=1∶1,加固后,坝顶宽度增加2米,斜坡EF的坡度i=1∶,要完成此工程,共需土石多少立方米?(计算土石的体积时忽略阶梯,结果保留根号)

答案全解全析

一、选择题

1.答案　A　∵∠BCA=90°,∴tan∠BAC=,∵tan∠BAC=,BC=30 m,∴=,∴AC=75 m.故选A.

2.答案　B　如图,延长AB交直线ED于M,作CJ⊥DM于J,则四边形BMJC是矩形.∵坡面CD的坡度i=1∶0.75,∴==,设CJ=4k米,DJ=3k米(k>0),则DJ2+CJ2=CD2,即9k2+16k2=4,解得k=(舍负),∴BM=CJ= 米,DJ= 米,又MJ=BC=1米,DE=7米,∴EM=MJ+DJ+DE= 米,∵在Rt△AEM中,tan∠AEM=tan 58°=,且tan 58°≈1.60,∴1.6=,∴AB=13.12米,∴旗杆AB的高度约为13.1米.故选B.

3.答案　B　如图,过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F,作EG⊥AB于G,又∵∠BAD=90°,∴四边形EFAG是矩形,∴AG=EF,AF=EG,在Rt△DEF中,=,设EF=x米,DF=2.4x米(x>0),∴DE==2.6x(米),∵DE=6.5米,∴2.6x=6.5,解得x=2.5,∴AG=EF=2.5米,DF=6米.∵AD=12米,∴EG=AF=AD+DF=18(米).在Rt△CEG中,∠CEG=45°,∴CG=EG=18米.在Rt△ABD中,∠ADB=54°,AD=12米,∴AB=AD·tan 54°≈12×1.38=16.56(米),∴BC=CG+GA-AB=18+2.5-16.56=3.94≈3.9(米),即宣传牌BC的高度约为3.9米.故选B.

4.答案　C　如图,过E作EH⊥DC交DC的延长线于点H,延长CD交AB的延长线于点G,作EJ⊥AB于点J,则四边形EHGJ与四边形FDGB都是矩形,∴BG=FD=3.6米,EH=JG.在Rt△EHC中,CE=15.6米,=,∴EH=6米,CH=14.4米.∵∠ACG=45°,∠G=90°,∴AG=CG.设AG=CG=x米,则EJ=HG=(x+14.4)米,AJ=(x-6)米.在Rt△AEJ中,tan∠AEJ=≈0.75,∴≈0.75,解得x≈67.2,即AG≈67.2米,∴AB=AG-BG=67.2-3.6=63.6(米).故选C.

二、填空题

5.答案　

解析　由题意得∠ACB=90°,AB=0.5×40=20(米),∵扶梯AB的坡度i=5∶12=,∴设BC=5a米,则AC=12a米,由勾股定理得(5a)2+(12a)2=202,解得a=(负值舍去),∴BC= 米.

6.答案　3

解析　如图,设EF交AB于点G.∵坡面AB的坡度i=1∶,∴tan∠GAF==,∴∠GAF=30°,∴GF=AG.∵∠AFG=∠EBG=90°,∠AGF=∠EGB,∴∠GEB=∠GAF=30°,∴EG==2,BG=EG·sin∠GEB=1,∴AG=AB-BG=3-1=2,∴GF=AG=1,∴EF=EG+FG=3.故木箱上的点E到地面AC的距离EF为3 m.

三、解答题

7.解析　∵DE=10 m,其坡度i1=1∶,

∴CE=DC,在Rt△DCE中,DE==2DC=10 m,

∴DC=5 m.

∵四边形ABCD为矩形,

∴AB=CD=5 m.

∵斜坡AF的坡度i2=1∶4,

∴=,

∴BF=4AB=20 m,

在Rt△ABF中,AF==5≈20.62(m).

故斜坡AF的长度约为20.62 m.

8.解析　如图,过A 作AH⊥BC于H,过E作EG⊥BC于G,

则四边形EGHA是矩形,

∴EG=AH,GH=AE=2米.

∵斜坡AB的坡度i=1∶1,

∴BH=AH=30×30=900厘米=9米,

∴BG=BH-HG=7米.

∵斜坡EF的坡度i=1∶,EG=AH=9米,

∴FG=9米,

∴BF=FG-BG=(9-7)米,

∴S梯形ABFE=×(2+9-7)×9=(平方米).

∴共需土石×200=(8 100-4 500)立方米.