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    华师大版 数学 八年级(下册) 19.3 正方形学案
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    华师大版八年级下册19.3 正方形精品学案

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    这是一份华师大版八年级下册19.3 正方形精品学案,共7页。学案主要包含了知识链接,新知预习等内容,欢迎下载使用。

    学习目标:1.探索并掌握正方形的性质,并了解正方形与矩形、菱形之间的联系.


    2.会判定一个四边形是正方形.


    3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.





    自主学习


    一、知识链接


    填表:


    二、新知预习


    阅读教材P119~120,完成下列问题:


    1.正方形的性质:(1)正方形是中心对称图形,也是轴对称图形.


    (2)四条边_________.


    (3)四个角都是_________.


    (4)对角线________且互相______________.


    2.正方形的判定:


    (1)矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现?





    由此得出______________的矩形是正方形.


    (2)菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现?


    一个角是_____





    由此得出______________的菱形是正方形.


    (3)平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:








    合作探究


    一、探究过程


    探究点1:正方形的性质


    例1 如图,已知正方形ABCD,求∠ABD、∠DAC、∠DOC的大小.








    【针对训练】1.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( )


    A.45° B.55° C.60° D.75°





    分析:观察发现∠BFC=∠AFE,∠AFE在△AEF中,而∠CAD=45°,∠DAE=60°,AE与AB构成等腰三角形,所以可以求出∠AEF的度数,从而求出结果.(或求出∠ABF的度数,直接利用三角形的外角也可求出)





    例2如图,△EBF为等腰直角三角形,点B为直角顶点,四边形ABCD是正方形.


    (1)求证:△ABE≌△CBF;


    (2)CF与AE有什么特殊的位置关系?请证明你的结论.

















    【针对训练】2.如图,以正方形的中心O为顶点作一个直角,直角的两边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F,问:


    (1)△BOE与△COF有什么关系?证明你的结论;


    (2)若正方形的边长为2,四边形EOFC的面积为多少?











    探究点2:正方形的判定


    做一做:用一张矩形的纸片(如图所示)折出一个正方形.对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系.那么如何判断一个四边形是正方形呢?





    【要点归纳】正方形的判定方法:1.有一个角是直角的菱形是正方形.2.有一组邻边相等的矩形是正方形.


    例3已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于点Q、点P.求证:四边形PQMN是正方形.





    分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.





    二、课堂小结


    当堂检测


    1.正方形具有而菱形不一定具有的性质( )


    A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分


    C.对角线平分一组对角 D.对角线相等


    2.一个正方形的对角线长为2 cm,则它的面积是 ( )


    A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2


    3.如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBC的度数是________.





    第3题图 第4题图


    4.如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,请添加一个条件____________________,可得出该四边形ABCD是正方形.


    5.如图6,已知点E为正方形ABCD的边BC上一点,连结AE,过点D作DG⊥AE,垂足为G,延长DG交AB于点F. 求证:BF=CE.





    参考答案


    自主学习


    一、知识链接


    二、新知预习


    1. (2) 都相等 (3)直角 (4)相等 垂直平分


    2.(1)一组邻边相等 (2)一个角是直角


    合作探究


    一、探究过程


    探究点1:


    例1 解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠DAB=90°,AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,


    ∴∠ABD=eq \f(1,2)×90°=45°,∠DAC=45°. ∠DOC=90°.


    【针对训练】1. C


    例2 证明:(1)∵等腰直角△EBF,∴BE=BF,∠EBF=90°.在正方形ABCD中,BA=BC,∠ABC=90°,


    ∴∠ABE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=90°,∴∠ABE=∠CBF. 在△ABE和△CBF中,


    ∴△ABE≌△CBF(SAS).


    (2)CF⊥AE,理由:延长CF交AB于H,交AE于G.


    ∵△ABE≌△CBF,∴∠BAE=∠BCF.∵∠BCF+∠BHC=90°,∴∠BAE+∠AHG=90°.


    ∴∠AGH=90°,即CF⊥AE.





    【针对训练】2.解:(1)△BOE≌△COF,


    理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,OB⊥OC,∠OBC=∠OCD=45°.∵∠EOF=90°,


    ∴∠BOE=90°-∠EOC=∠COF,且∠OBE=∠OCF.∴△BOE≌△COF(ASA).


    (2)由(1)知:四边形EOFC的面积=S△BOC=S 正方形ABCD=×4=1.


    探究点2:


    例3 证明:∵PN⊥l1,QM⊥l1,∴PN∥QM,∠PNM=∠QMN=90°.


    ∵PQ∥NM,∴四边形PQMN是矩形.


    ∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD.


    ∴∠1+∠2=90°.又∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3.


    又∠AMB=∠DNA=90°,∴△ABM≌△DAN(AAS).∴AM=DN.


    同理,△CDP≌△DAN(AAS),∴AN=DP.∴AM+AN=DN+DP,即MN=PN.


    ∴四边形PQMN是正方形.


    当堂检测


    1. D 2. A 3. 22.5° 4. AB=BC


    5. 证明:∵四边形ABCD是正方形,∴DA=AB=BC,∠DAF=∠B=90°.∴∠DAG+∠EAB=90°.


    ∵DG⊥AE,∴∠DAG+∠FDA=90°.∴∠FDA=∠EAB.∴△DAF≌△ABE(ASA).∴AF=BE.


    ∴AB-AF=BC-BE,即BF=CE.

















    性质
    判定方法
    矩形
    边:


    角:


    对角线:


    对称性:
    1.


    2.


    3.
    菱形
    边:


    角:


    对角线:


    对称性:
    1.


    2.


    3.
    内 容
    正方形的性质
    四条边都相等


    四个角都是直角


    3. 对角线相等且互相垂直平分
    正方形的判定
    1.有一个角是直角的菱形是正方形.


    2.有一组邻边相等的矩形是正方形.
    性质
    判定方法
    矩形
    边:对边相等


    角:四个角都是直角


    对角线:相等且互相平分


    对称性:轴对称,中心对称
    1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.


    2.有三个角是直角的四边形是矩形.


    3.对角线相等的平行四边形是矩形.
    菱形
    边:四边都相等


    角:对角相等


    对角线:互相垂直平分


    对称性:轴对称,中心对称
    1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.


    2.四条边都相等的四边形是菱形.


    3.对角线互相垂直的四边形是菱形.
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