华师大版八年级下册2. 反比例函数的图象和性质优质导学案

这是一份华师大版八年级下册2. 反比例函数的图象和性质优质导学案，共10页。学案主要包含了知识链接，四象限，求m的值．等内容，欢迎下载使用。

学习目标：1.会利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线.


2.通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质.


3.会用待定系数法求反比例函数的表达式.





自主学习


一、知识链接


1.正比例函数图象是什么形状？分别写出各自有怎样的性质？











2.在直角坐标系中，由函数表达式画函数图象主要的步骤有哪些？














合作探究


一、探究过程


探究点1：反比例函数的


活动1:画出反比例函数的图象.


（1）列表：


描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在如图所示的直角坐标系中描出对应的点.





连线：用平滑的曲线顺次连接各点，就得到反比例函数的图象.


问题1：


反比例函数的图象与坐标轴有交点吗？为什么？


（2）仅凭两个点的坐标，能画出反比例函数的图象吗？


活动2：画出反比例函数的图象．


问题2：（1）这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？


（2）反比例函数(k≠0)的图象在哪两个象限内？


【要点归纳】反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象由分别位于______个象限内的_____条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线.当k＞0时，函数的图象在第______象限；当k＜0时，函数的图象在第______象限.


例1 若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值．














【针对训练】若双曲线y＝eq \f(2k－1,x)的两个分支分别在第一、三象限，则k的取值范围是（ ）


k＞eq \f(1,2) B.k＜eq \f(1,2) C.k＝eq \f(1,2) D.不存在


探究点2：反比例函数的性质


思考：联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？








【要点归纳】反比例函数有下列性质：(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减少；


(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而增大．


例2 已知函数为反比例函数．


(1)求m的值；


(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？


(3)当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值．




















例3在反比例函数y＝eq \f(1,x)的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（ ）


A.y3＞y1＞y2 B.y3＞y2＞y1


C.y2＞y1＞y3 D.y1＞y3＞y2


【方法总结】此题有多种解法，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.


【针对训练】若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数（k＜0）图象上，则a、b、c从大到小排列是 .


探究点3：求反比例函数的表达式


例4已知反比例函数的图象过点(1,－2)．


(1)求这个函数的表达式；


(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？

















【针对训练】已知y是x的反比例函数，当x＝－4时，y＝3.


写出y与x的函数表达式；


当x＝－2时，求y的值；


(3)当y＝12时，求x的值．














【方法总结】(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y＝eq \f(k,x)(k≠0)，然后再求出k值；(2)当反比例函数的表达式y＝eq \f(k,x)(k≠0)确定以后，已知x(或y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值．


探究点4：反比例函数表达式中 k 的几何意义


操作：1. 在反比例函数的图象上分别取点P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形.





填写下列表格：


2. 若在反比例函数中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：





猜想：证明：若点P是反比例函数图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.





【方法总结】对于反比例函数，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= |k|.


推理：如图，△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO=.





例5如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且 △AOC 的面积为 2，则该反比例函数的表达式为 ．





二、课堂小结


当堂检测


1.已知反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象经过点(1，－2)，则k的值为( )


A．2B．－eq \f(1,2)C．1D．－2


2.对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）


A．点在它的图象上B．它的图象在第一、三象限


C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小


3.已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上的两点，


若，则( )


A． B． C． D．


4.在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 .


5.若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 M，N，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 .


6.反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)，当x的值由4增加到6时，y的值减少3，求这个反比例函数的表达式．














参考答案


自主学习


一、知识链接


1.解：正比例函数y=6x，y=-6x的图象都是一条过原点的直线.


y=6x，函数值y随自变量x的增大而增大；y=-6x，函数值y随自变量x的增大而减小.


2.解：列表，描点，连线.


二、新知预习


合作探究


一、探究过程


探究点1：反比例函数的图象


活动1:解：(1)从左到右依次填：-1，-2，-3，-6,6,3,2,1.


（2）略 （3）图略


问题1：解：（1）没有.因为x和y均不能为0. （2）不能，因为反比例函数的图象不是一条直线.


活动2: 图略


问题2：解：（1）这个函数的图象在第二、四象限. 和函数的图象形状相同，位置不同.


(2)当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限.


【要点归纳】两 两 一、三 二、四


【典例精析】


例1 解：由题意得2-m2=-1，且m+1<0，解得m=-.


【针对训练】A


探究点2：反比例函数的性质


例2 解：（1）由题意得3-m2=-1，且m-2≠0，解得m=-2.


(2)图象在第二、四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.


（3）当x=-时，y=8.当x=-3时，y=.故当－3≤x≤-时，函数的最大值为8，最小值为.


例3 C


【针对训练】b>a>c


探究点3：求反比例函数的表达式


例4 解：(1)，将(1,－2)代入，得-2=k，则函数表达式为.


(2) 当x=-5时，y=，即A(-5，).点A关于x轴和y轴对称的点不在图象上，关于原点对称的点在图象上，坐标为(5，-).


【针对训练】


解：(1) (2) y=6. (3) x=-1.


探究点4：反比例函数表达式中 k 的几何意义


操作：1. 从左到右依次填：4 4 S1=S2 S1=S2=k


2. 从左到右依次填：4 4 S1=S2 S1=S2=-k


猜想：证明 ：我们就 k < 0 的情况给出证明：





解：设点 P 的坐标为 (a，b)，∵点 P (a，b) 在函数的图象上，∴，即 ab=k.


若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.综上，S矩形 AOBP=|k|.


例5


二、课堂小结


从左到右，从上到下依次： 一、三 减小 二、四 增大


轴 中心 y=x y=-x 坐标原点


当堂检测


1. D 2. C 3. A 4. k>3 5.


6. 当x＝4时，y＝eq \f(k,4)；当x＝6时，y＝eq \f(k,6)；∵当x的值由4增加到6时，y的值减少3，∴eq \f(k,4)－eq \f(k,6)＝3，解得k＝36.∴这个反比例函数的表达式为y＝eq \f(36,x).





























x
…
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6
…
…
…
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
P (2，2) ，Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想与 k 的关系
P (－1，4)，Q (－2，2)
反比例函数的图象和性质









图象和性质
k>0时，图象位于第_______象限，在每个象限内，y随x的增大而_____.
k<0时，图象位于第________象限，在每个象限内，y随x的增大而_____.
特征
无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.
对称性
既是______对称，又是________对称，其对称轴是________或________，对称中心是_________.
k的几何意义
若点P是反比例函数图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.