华师大版八年级下册2. 矩形的判定优质学案

 2.矩形的判定

学习目标：1.理解并掌握矩形的判定方法．

2．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题，进一步培养学生的分析能力．

自主学习

一、知识链接

1.四边形的内角和为_______.

2.矩形有哪些性质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有的？列表进行比较.

二、新知预习

自学教材P102—P104，完成下列问题

1．矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?

请说出最基本的方法（矩形的定义）：___________________________________________________.

2．做一做：按照画“边 －直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.它是一个矩形吗?说明理由. （探索得到矩形的一个判定）                                

3.思考：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？（得到矩形的另一个判定）                           

总结：

矩形判定方法1：_______________________________.

矩形判定方法2：_______________________________.

合作探究

一、探究过程

探究点1：矩形判定定理1，2

问题1：已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.

证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,

∴∠A+∠B=_______°,∠B+∠C=_______°.

∴AD_____BC,AB_____CD.

∴四边形ABCD是______________，

∴四边形ABCD是________.

【要点归纳】矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.

几何语言描述：在四边形ABCD中，若 ∠A=∠B=∠C=90°,则四边形ABCD是矩形.

问题2：已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.

证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,

      ∴ △ABC______△DCB ,

      ∴∠ABC______∠DCB.

      ∵AB∥CD,∴∠ABC + ∠DCB =______°.

      ∴ ∠ABC = _______°.

      ∴ □ ABCD是__________.

【要点归纳】矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.

几何语言描述：在ABCD中，若AC=BD，则□ABCD是矩形.

例1（教材P104例4）如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.

【针对训练】1.如图，在平行四边形ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？

例2（教材P105例6）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，

DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．

【针对训练】2. 如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、

∠MCA、∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是      （       ）

A.梯形      B.平行四边形       C.矩形      D.不能确定

例3平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连结BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=2，DE=4，求矩形BFDE的面积．

二、课堂小结

当堂检测

1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是                                                                （　　）

A．测量对角线是否相等

B．测量两组对边是否分别相等

C．测量一组对角是否都为直角

D．测量其中三个角是否都为直角

2.如图，在□ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定□ ABCD是矩形的是   （　　）

A．AC=BD           

B．AC=BC

C．AD=BC            

D．AB=AD

3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．

4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1. 360°   2.

二、新知预习

解：1.有一个内角为直角的平行四边形是矩形

2.是矩形.由题意可知，该四边形有三个内角是直角，且两组对边分别平行，所以它是平行四边形，而且是矩形.

3. 测量两条对角线的长度，若相等，则该四边形是矩形.

总结：有三个角是直角的四边形是矩形   对角线相等的平行四边形是矩形

合作探究

一、探究过程

探究点1：

问题1：180    180    ∥     ∥    平行四边形   矩形

问题2：≌    =     180     90°  矩形

例1  证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO=BO=DO.∵AE=BF=CG=DH，∴EO=FO=GO=HO.

∴四边形EFGH是平行四边形.又∵EO+GO=EG=FO+HO=FH，∴四边形EFGH是矩形.

【针对训练】1.解：四边形ABCD是矩形；理由：在平行四边形ABCD中， AO=CO，BO=DO.

∵∠1= ∠2，∴AO=BO，即AO=CO=BO=DO.∴AC=AO+CO=BO+DO=BD.∴四边形ABCD是矩形.

例2 证明：∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB，∠FAC=∠B+∠ACB=2∠B.∵AE平分∠FAC,∴∠FAC=2∠FAE.

∴∠B=∠FAE.∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形.∴AE=BD.∵AB＝AC，AD是BC边上的高，∴BD=DC.∴AE=DC.又∵AE∥DC，∴四边形ADCE为平行四边形.∵∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．

【针对训练】2. C

例3  （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD.∴DF∥BE.∵CF=AE，∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形.∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°.∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD.∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD.∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=2，DE=4，∴∴∴矩形BFDE的面积=DF×DE=

当堂检测

1. D     2. A

3. 证明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠D=90°.∵AB=5，BC=12，AC=13，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B=90°.∴四边形ABCD是矩形．

4. 证明：平行四边形ABCD中，OA=OC,OB=OD.∵CM＝AN，∴OM＝ON.∴四边形NDMB为平行四边形.

∵ON＝OB，∴MN=2ON=2OB=BD.∴四边形NDMB为矩形．