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    数学八年级下册1. 矩形的性质精品导学案

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    这是一份数学八年级下册1. 矩形的性质精品导学案,共7页。学案主要包含了知识链接,新知预习等内容,欢迎下载使用。

    19.1 矩 形


    1.矩形的性质


    学习目标:1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;


    2.探索并证明矩形的特殊性质,会用矩形的性质解决简单的问题.


    自主学习


    一、知识链接


    1.平行四边形的定义是什么?它有哪些性质?


    2.用四根木条做的平行四边形有稳定性吗?





    二、新知预习


    1.如图,用四段木条做一个平行四边形的活动木框,将其直立在桌面上轻轻地拉动点D,你会发现什么?





    问题1:无论∠D如何变化,四边形ABCD还是平行四边形吗?





    问题2:当∠D为直角时,四边形ABCD变成了一个怎样的四边形?





    于是有矩形定义:有一个角是 的平行四边形是矩形,矩形是特殊的 .


    问题3.矩形除了具有平行四边形的所有性质外,还有什么特殊的性质?


    【对称性】:矩形既中心对称图形,又是 图形;


    【 边 】:矩形的对边平行且相等;


    【 角 】:矩形的对角相等,且四个角都是 ;


    【对角线】:矩形的对角线 且相互平分.


    合作探究


    一、探究过程


    探究点1:矩形的性质定理1,2


    问题1:如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.


    求证: ∠B=∠C=∠D=∠A=90°.


    证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B____∠D,∠C____∠A, AB____DC.


    ∴∠B+∠C=_____°.


    又∵∠B = 90°,∴∠C =____°.


    ∴∠B=∠C=∠D=∠A =_____°.





    问题2:如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证:AC=DB.


    证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,


    在△ABC和△DCB中,


    ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,∴△ABC____△DCB.


    ∴AC____DB.


    【要点归纳】矩形的性质定理:1.矩形的四个角都是_______.2.矩形的对角线________.


    几何语言描述:在矩形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O,则


    ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°,AC=DB(延伸:OA=OB =OC=OD=AC=BD).


    例1 如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形周长的和是86 cm,矩形的对角线长是13 cm,那么该矩形的周长是多少?














    【针对训练】1.已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 cm,求矩形对角线的长.


    分析:因为矩形是特殊的平行四边形,所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质,根据矩形的这个特性和已知,可得△OAB是等边三角形,因此对角线的长度可求.











    探究点2:矩形的性质与其他知识的综合运用


    例2如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BE⊥AC,垂足为点E.试求BE的长.














    例3如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE垂直平分线段BO,垂足为点E,BD=15 cm.求AC、AB的长.








    二、课堂小结


    当堂检测


    1.矩形具有,而一般平行四边形不具有的性质是( )


    A.对角线相等 B.对边相等


    C.对角相等 D.对角线互相平分


    2.如图,在矩形ABCD中,对角线交于点O,若AB=6,AD=8,则AC=_____ ,OB=_____.





    3.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两对角线所夹锐角度数为 .


    4.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.








    5.已知:如图,E为矩形ABCD内一点,且EB=EC.求证:EA=ED.





    6. 已知:如图,O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAD,∠AOD=120°,求∠AEO的度数.





















































    参考答案


    自主学习


    一、知识链接


    1.解:定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.


    性质:(1)平行四边形的对边相等;(2) 平行四边形的对角相等;(3)平行四边形的对角线互相平分.


    2. 没有稳定性.


    二、新知预习


    1.解:问题1:四边形ABCD还是平行四边形.


    问题2:四边形ABCD变成了一个长方形,即矩形.


    直角 平行四边形


    问题3:轴对称 90° 相等


    合作探究


    一、探究过程


    探究点1:


    问题1:= = ∥ 180 90 90


    问题2:= 90 ≌ =


    【要点归纳】直角 相等


    【典例精析】


    例1 解:∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形周长的和为86 cm,


    ∴AB+BC+CD+DA+2(OA+OB+OC+OD)=AB+BC+CD+DA+2(AC+BD)=86,


    又∵AC=BD=13,∴AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD)=86-4×13=34(cm),


    即矩形ABCD的周长等于34 cm.


    【针对训练】1.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD相等且互相平分,∴OA=OB,


    又∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形.∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2AB=2×4=8(cm).


    例2 解:在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∴AC=eq \r(AB2+BC2)=eq \r(32+42)=eq \r(25)=5.


    又∵S△ABC=eq \f(1,2)AB·BC=eq \f(1,2)AC·BE,∴BE=eq \f(AB·BC,AC)=eq \f(3×4,5)=2.4.





    例3解:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=15.∴AO=eq \f(1,2)AC=7.5.∵AE垂直平分BO,∴AB=AO=7.5.


    即AC的长为15 cm,AB的长为7.5 cm.


    二、课堂小结


    1.直角 2.相等


    当堂检测


    1. A 2. 10 5 3. 80° 4.


    5. 证明:在矩形ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB.∴∠ABE=∠DCE.


    ∴△ABE≌△DCE(SAS). ∴EA=ED.


    6. 解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°,AC=BD,AO=BO.∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°.∴△AOB为等边三角形,∠BAO=∠ABO=60°,AB=AO=BO.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=45°,


    即△ABE为等腰直角三角形,∠BEA=45°,AB=BE.∴BO=BE.∴∠BOE=∠BEO.在△BOE中,


    ∠OBE=90°-60°=30°,∴∠BEO=∠BOE=75°.∴∠AEO=∠BEO-∠BEA=75°-45°=30°.



































    矩行的性质定理
    1.矩形的四个角都是_______.2.矩形的对角线________.
    解题策略
    结合等腰(边)三角形、勾股定理等知识解题
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