专题04 平面向量-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

 专题04 平面向量

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、 选择题

1．（2019·四川绵阳·高三一模（文））向量=（　　）

A．2 B． C．1 D．

【答案】A

【解析】解：∵；

∴；

∴x=2．

2．（2019·凤阳县第二中学高三期中（理））已知向量，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，故选B.

3．（2020·贵州高三其他（理））已知平面向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：由，得，所以，

则.

.

4．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（理））已知向量，，且，则的值为（  ）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【解析】根据题意，得，由，得.解得或故选C.

5．（2020·全国高三其他（理））已知向量，，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【解析】因为，，

所以，

因为，

所以，解得，

6．（2019·四川仁寿一中高三其他（文））若向量＝，||＝2，若·(－)＝2，则向量与的夹角(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知可得： ，得 ，

设向量与的夹角为 ，则

所以向量与的夹角为

7．（2020·西夏·宁夏大学附属中学高一期末）向量，则（    ）

A．1 B． C． D．6

【答案】D

【解析】因为

所以

8．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三二模（理））在中，是上一点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为是上一点，且，

则．

9．（2018·江西省崇义中学高三月考（文））已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据 与垂直得到（ ）·=0，

所以.

10．（2019·山东即墨·高三期中）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

11．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）如图，在中，，，分别是边，，上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，，分别是边，，上的中线，它们交于点，

所以点是的重心.

选项A：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项正确；

选项B：因为是边上的中线，所以，又因为点是的重心，所以有，因此，所以本选项正确；

选项C：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项不正确；

选项D：因为是边上的中线，点是的重心，所以有，因此本选项正确.

12．（2019·河南新乡·高三一模（理））在中，角的对边分別为，若，，点是的重心，且，则的面积为（  ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【解析】由题可知，，则，或.又，延长交于点，所以.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为.

13．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，可得，

所以，

又三点共线，由三点共线定理，可得：，

，

14．（2020·上海高三专题练习）若平面向量与的夹角是180°，且，则等于( )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则 （1）

又 （2）， 由（1）（2）可解得x=-3,y=6故选A；

15．（2020·河北唐山·高三二模（文））已知向量，满足，，则与的夹角的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设与夹角为，

整理可得：，即

，代入

可得

可得：，即

整理可得：

当且仅当，即取等号

故，结合，

根据余弦函数图象可知最大值：

16．（2020·赤峰二中高一月考（文））已知向量,且，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知，

.

故选：B．

17．（多选题）（2019·全国高一单元测试）下列命题中不正确的是（    ）

A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同

B．若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线

C．若非零向量 与 共线，则

D．四边形ABCD是平行四边形，则必有

【答案】ABC

【解析】A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确；

B中，向量与共线，只能说明、所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确；

C中，向量 与 共线，说明 与方向相同或相反， 与不一定相等，所以C中命题不正确；

D中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以与是相反向量，所以，所以D中命题正确.

18．（多选题）（2020·全国高三其他）已知，如下四个结论正确的是（       ）

A．； B．四边形为平行四边形；

C．与夹角的余弦值为； D．

【答案】BD

【解析】由，

所以，，， ,

对于A，，故A错误；

对于B，由，，则，

即与平行且相等，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确；

19．（多选题）（2020·全国高三其他）已知向量，，则（    ）

A．若与垂直，则 B．若，则的值为

C．若，则 D．若，则与的夹角为

【答案】BC

【解析】对于选项A：由，可得，解得，故A错误，

对于选项B：由，可得，解得，∴，

∴，故B正确；

对于选项C：若，则，则，故C正确：

若，对于选项D：：设与的夹角为，

则，故D错误．

20．（多选题）（2020·嘉祥县第一中学高三其他）在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则是在的投影向量

D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为

【答案】BCD

【解析】如图所示：

对选项A，，故A错误.

对选项B，

，故B正确.

对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，

由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.

因为，所以为的平分线，

又因为为的中线，所以，如图所示：

在的投影为，

所以是在的投影向量，故选项C正确.

对选项D，如图所示：

因为在上，即三点共线，

设，.

又因为，所以.

因为，则，.

令，

当时，取得最大值为.故选项D正确.

二、 解答题

21．（2020·上海高三专题练习）如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，．

（1）用，表示，；

（2）若，求．

【解析】解：（1）∵，

∴，

．

（2）∵，

又由在上，与共线，∴存在实数，使．

即，则．

解方程组，得．

22．（2020·福建省仙游县枫亭中学高三期中（理））已知向量.

(1)若，求的值；

(2)当时，求与夹角的余弦值．

【解析】解　(1)由题意，得．因为，

所以，解得.

(2)当时，．

设与的夹角为θ，则

.

所以与夹角的余弦值为－.

23．（2020·武威第六中学高一期末）已知向量

（1）若为锐角，求的范围；

（2）当时，求的值.

【解析】（1）若为锐角，则且不同向

当时，同向

∴，，

24．（2015·上海黄浦·格致中学高三月考（理））

已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，

，.

（1）若，求证：为等腰三角形；

（2）若，边长，角，求的面积.

【解析】⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径， 所以，所以为等腰三角形.

⑵因为，所以.

由余弦定理可知，，即

解方程得：（舍去）

所以.

25．（2020·小店·山西大附中高一月考）已知向量，向量与向量夹角为，且.

（1）求向量；

（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且.求的取值范围.

【解析】（1）设，由，可得，①

与向量夹角为，有，

，则，②

由①②解得或，即或；

（2）由与垂直知，，由 ，

知，

若，则

则

由，则，则，

则，故，得.