专题01 集合与逻辑、复数-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）
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专题01 基本初等函数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题
1．已知集合，.则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．某班有学告50人，解甲、乙两道数学题.已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均对者有20人.则至少解对一题者的人数是（ ）
A．8 B．22 C．30 D．42
5．对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（ ）．
A．10个 B．15个 C．16个 D．18个
6．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
7．若为纯虚数，则z＝（ ）
A． B．6i C． D．20
8．设复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
9．若复数满足(i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．若（是虚数单位），则（ ）
A． B．2 C． D．3
11．复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知复数，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．“”是“”成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．设函数，则“函数在上存在零点”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．若命题：，，则命题：，
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若，则
D．，是两个平面，，是两条直线，如果，，，那么
17．（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
18．（多选题）对，表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）
A．
B．
C．函数的值域为
D．若，使得同时成立，则正整数的最大值是5
二、填空题
19．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其他肉类.某天在市场中随机抽取100名市民调查其购买肉类的情况，其中不买猪肉的有30位，买了肉的有90位，买了猪肉且买了其他肉的人共25位，以这100个样本估计这一天该市只买了猪肉且没买其他肉的人数与全市人数的比值为_______
20．已知复数，为虚数单位，则的最小值为_________.
三、解答题
21．已知函数的定义域为集合，又集合，.
（1）求，；
（2）若是的必要条件，求的取值范围.
22．已知虚数满足是实数，且．
（1）试求的模；
（2）若取最小值时对应的复数记为，试求
①的值；
②求的值．
二、选择题
1【答案】C
【解析】由题意得，
，
因为，
所以，
故选：C.
2．
【答案】A
【解析】
，则
故选：A
3
【答案】D
【解析】由题意，集合，
又由，即，解得或，
即集合或，则
所以.
4．
【答案】D
【解析】如下图所示：
至少解对一题的人数为：人，故选：D.
5【答案】B
【解析】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，，所以可能的取值为 共4个，同奇偶，则，由，所以可能的取值为，共11个，所以符合要求的共15个，故选B.
6【答案】C
【解析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，
选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，
单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，
以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，
所以单选物理、化学的人数至多8人，
所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.
故选：C.
7．
【答案】C
【解析】
∵为纯虚数，
∴且
得，此时
故选：C.
8．
【答案】A
【解析】由题意得：，
所以.
9
【答案】C
【解析】因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C．
10．
【答案】C
【解析】,化简,得到,因此,故选C.
11．
【答案】D
【解析】设复数在复平面上的对应点为，
由可得即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
圆心到点的距离为，
所以的最大值为.
12．
【答案】C
【解析】解：∵复数，且，
∴，
∴．
设圆的切线，则，
化为，解得．
∴的最大值为．
13．
【答案】A
【解析】由一定能推出，但是由不一定能推出，例如当时，显然成立，但不成立，故“”是“”成立的充分非必要条件.
14．
【答案】C
【解析】命题的否定是：，，故选：C．
15．
【答案】B
【解析】解：函数在区间上单调递增，
由函数在上存在零点，则，，
解得，故“函数在上存在零点”是“”的必要不分条件.
16．
【答案】A
【解析】对于A，命题：，，则命题：，，A正确；
对于B，当时，成立，
所以“”是“”的充分条件，所以B错误；
对于C，且两向量反向时 成立， 不成立C错误；
对于D，若，，，则，的位置关系无法确定，故D错误.
17．
【答案】BD
【解析】对于A，当时，，恒成立，A错误；
对于B，，当时，，，，B正确；
对于C，当时，，，则，C错误；
对于D，由对数函数与指数函数的单调性可知，当时，恒成立，D正确.
故选：BD.
18．
【答案】BCD
【解析】是整数， 若，是整数，∴，矛盾，∴A错误；
，，∴，∴，B正确；
由定义，∴，∴函数的值域是，C正确；
若，使得同时成立，则，，，，，，
因为，若，则不存在同时满足，．只有时，存在满足题意，故选：BCD．
二、填空题
19．【答案】0.45
【解析】由题意，随机抽取的100位市民中，只买了猪肉且没买其他肉的有，
由此估计该市只买了猪肉且没买其他肉的人数与全市人数的比值为.
20．【答案】4
【解析】解:复数z满足，为虚数单位， 复数z表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.
的几何意义是圆上的点与的距离，
所以其最小值为： .
故答案为：4.
三、解答题
21．
【解析】解：（1）由得，
，，或.
（2）由得，
∴.
∵是的必要条件，∴
∴
得.
22．
【解析】（1）设，
则，
整理得到，
因为是实数，故，
但，故，即的模为2.
（2）由（1）可得，故即.
又，
它表示圆上的点到点的距离，
其最小值为，
当且仅当共线时取最小值.
由可得，
故取最小值时，
所以.
故.
