专题06 不等式-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

 专题06 不等式

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、 选择题

1．不等式的解集为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】等价于即，

故不等式的解为或，故解集为，选D.

2．设，若，则下列不等式中正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D.

3．若正实数，满足，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．5 D．

【答案】C

【解析】根据题意，若正实数，满足，

则，

当且仅当时等号成立，

即的最小值为5；

4．已知,则的最大值为（　　）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=2，

∴xy=（2x•y）≤（）2=，当且仅当x=，y=1时取等号，

故则xy的最大值为，故选A

5．若点P(x, y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据已知的条件可知，点A,B，C围成的三角形ABC，其内动点P（x,y），那么所求的为动点P与定点M（1,2）两点的斜率的取值范围，则根据已知中的三点A，B,C的坐标，分别求解,则利用倾斜角与斜率的关系，结合正切函数图象可得，的取值范围是，选D.

6．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为（    ）

A． B．或

C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1}

【答案】A

【解析】由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，则－1＋2＝－，－1×2＝，

解得a＝－1，b＝1.所以2x2＋bx＋a＝2x2＋x－1＜0，解得－1＜x＜.

7．已知，则下列各式一定正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为恒为正数，故选D．

8．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为（     ）

A．1 B．5

C．4 D．3＋2

【答案】D

【解析】由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，

∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，

∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，

当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．

∴＋的最小值为3＋2.

9．若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得（当且仅当时等号成立），解得

10．函数 的图像在点处的切线斜率的最小值是（   ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】 ,当且仅当时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.

11．已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（    ）

A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0

【答案】C

【解析】因为，所以且，设，则的零点

为

当时，则，，要使，必有，且，

即，且，所以；

当时，则，，要使，必有.

综上一定有.

12．设为实数,且,则下列不等式正确的是(            )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于，令，故错误；

对于，当时，则，故错误；

对于，则，，则，故错误；

对于，且，故正确，故选D.

13．在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】 因为关于的不等式可化为，

 当时，不等式的解集为，

 当时，不等式的解集为，

 要使得解集中至多包含个整数，则且，

所以实数的取值范围是，故选D.

14．已知，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】已知，，，

则，

当且仅当 时，即当，且，等号成立，

故的最小值为，

15．已知函数在上为增函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为函数在上为增函数，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，当且仅当时取“”号，

所以的取值范围为，

16．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（    ）

A．4 B． C．8 D．

【答案】B

【解析】∵，①

∴，又函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，

∴，②

由①②得，，

不等式为，（*），

设，这是一个增函数，当时，，

（*）变为，，

若存在，使不等式成立，则为：

存在，使成立，

由于，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是．

∴．

故选：B.

17．（多选题）下列命题为真命题的是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若且，则

【答案】BCD

【解析】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；

选项B: ，所以本命题是真命题；

选项C: ，所以本命题是真命题；

选项D: ，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.

18．（多选题）设，且，那么（    ）

A．有最小值 B．有最大值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】AD

【解析】解：①由题已知得：,

故有,

解得或（舍）,

即（当且仅当时取等号）,A正确;

②因为,

所以,

又因为

,

有最小值,D正确.

故选AD

19．（多选题）已知函数有且只有一个零点，则(    )

A．

B．

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【解析】因为有且只有一个零点，

故可得，即可.

对：等价于，显然，故正确；

对：，故正确；

对：因为不等式的解集为，

故可得，故错误；

对：因为不等式的解集为，且，

则方程的两根为，

故可得，

故可得，故正确.

20．（多选题）设，，，以下四个命题中正确的是（    ）．

A．若为定值，则有最大值

B．若，则有最大值4

C．若，则有最小值4

D．若总成立，则的取值范围为

【答案】CD

【解析】为定值时，应有最小值，∴A不正确；

当时，

，∴B不正确；

，

当且仅当，等号成立，∴C正确；

由，又，

∴，∴，∴D正确．

二、 解答题

21．已知正数，，满足，求证：.

【解析】证明：由正数，，满足，

则

（当且仅当时等号成立）,

22．已知不等式

（1）若对于所有的实数不等式恒成立，求的取值范围；

（2）设不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围．

【解析】（1）不存在这样的使得不等式恒成立（2）

（1）当时,，即当时不等式不恒成立，不满足条件

当时，设，由于恒成立，则有

解得

综上所述，不存在这样的使得不等式恒成立．

（2）由题意，设，则有

即，解得

所以的取值范围为

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）若正实数m，n满足，试比较与的大小，并说明理由.

【解析】（1）①当时，，无解；

②当时，，；

③当时，，恒成立，，

所以该不等式的解集为.

（2）因为|，

当有仅当，即或时取“”，

所以，即.

又，

当且仅当，即，时取等号，

所以.

24．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最小值记为，设，，且有.求的最小值.

【解析】解（1）因为

从图可知满足不等式的解集为.

（2）由图可知函数的最小值为，即.

所以，从而，

从而

当且仅当，即时，等号成立，

∴的最小值为.

25．某工厂生产某种商品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本为（万元）.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.通过市场分析，每件售价为500元最为合适.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）该产品年产量为多少千件时，该厂所获利润最大？

【解析】（1）依题意，

，

（2）由（1）得

当时，，

当时，万元，

当时，，

当且仅当时，等号成立，即万元

所以利润的最大值为万元.
答：该产品年产量为100千件时，该厂所获利润最大.