2021届二轮复习 考点九三角函数的图象与性质 理 作业（全国通用） 练习

考点九　三角函数的图象与性质

一、选择题

1．(2020·天津红桥区二模)已知函数f(x)＝cos，则f(x)在区间上的最小值为(　　)

A． B．－

C．－1 D．0

答案　C

解析　∵x∈，∴≤2x＋≤，当2x＋＝π时，即x＝时，函数f(x)有最小值－1，故选C.

2．(2020·东北三省四市一模)下列各点中，可以作为函数y＝sinx－cosx图象的对称中心的是(　　)

A． B．

C． D．

答案　A

解析　原函数可化为y＝2sin，令x－＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ＋(k∈Z)，则函数的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，对称中心为，故选A.

3．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)

A．(k∈Z)

B.(k∈Z)

C．(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案　B

解析　由kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，得－<x<＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.

4．若一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为(　　)

A．2 B．1

C． D．

答案　C

解析　设扇形的半径为r，则r＝，故S扇形＝r2α＝.故选C.

5．(2020·唐山一模)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sinx的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

答案　A

解析　因为y＝sin＝sin＝sin，所以为了得到函数y＝sin的图象可以将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度．

6．(2020·河北石家庄市一模)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分函数图象如图所示，点A(0，)，B，则函数f(x)图象的一条对称轴方程为(　　)

A．x＝－ B．x＝－

C．x＝ D．x＝

答案　D

解析　由题意可得xB－xA＝＋×＝＝，则T＝，ω＝＝4，当x＝0时，2cosφ＝，结合函数图象可知φ＝－，故函数的解析式为f(x)＝2cos，令4x－＝kπ，可得图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，令k＝0可得一条对称轴方程为x＝，故选D.

7．函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是(　　)

答案　C

解析　函数是非奇非偶函数，所以排除A，B.当x∈[0，π]时，y′＝1＋cosx≥0，函数在[0，π]上单调递增，排除D.故选C.

8．(2020·石家庄重点中学模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，则f(x1＋x2)的值为(　　)

A．0 B．1

C． D．

答案　B

解析　由f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈的图象，得最小正周期T＝＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，将点代入，得sin＝－1，又φ∈，解得φ＝，所以f(x)＝2sin，因为f(x1)＝f(x2)且x1≠x2，由图象得x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝2sin＝1，故选B.

二、填空题

9．已知函数f(x)＝sin[2(x＋φ)](φ>0)是偶函数，则φ的最小值是________．

答案　

解析　因为f(x)＝sin(2x＋2φ)是偶函数，所以2φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ>0，故当k＝0时，φ取得最小值.

10．(2020·河南百校联盟仿真试卷)已知函数f(x)＝sin(ω>0)的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2020)＝________.

答案　＋1

解析　由题意得＝4，即T＝8，所以ω＝，故f(x)＝sin，所以g(x)＝f(x－1)＝sin＝sinx，因为g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(8)＝0，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2020)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＝＋1.

11．(2020·静海区模拟)已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．

答案　

解析　由题意得，两个函数图象的交点坐标为，即，代入y＝sin(2x＋φ)得＝sin，因为0≤φ＜π，所以≤＋φ＜，所以＋φ＝，φ＝.

12．(2017·乌鲁木齐第一次诊断)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．

答案　1

解析　f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1.∵x∈，∴cosx∈[0,1]，

∴当cosx＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.

三、解答题

13．已知函数f(x)＝2sinωx(0<ω<6)的图象关于直线x＝对称，将f(x)的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可以得到函数g(x)的图象．

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)求函数g(x)在区间上的值域．

解　(1)由题意f＝2sin＝±2，

故＝kπ＋，k∈Z，∴ω＝4k＋2，k∈Z，

又0<ω<6，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin2x，

故g(x)＝2sin＋1.

(2)根据题意，∵－≤x≤，

∴－≤2x－≤，

∴－1≤sin≤，∴－1≤g(x)≤＋1，

即函数g(x)在区间上的值域为[－1, ＋1]．

14．(2020·天津质量调查二)已知函数f(x)＝cosx(sinx－cosx)．

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

解　(1)由题意得f(x)＝cosxsinx－cos2x

＝sin2x－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－

＝sin－.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π，

其最大值为1－.

(2)令z＝2x－，则函数y＝sinz的单调递增区间是，k∈Z.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

设A＝，B＝，易知A∩B＝，所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．

一、选择题

1．(2017·济南高三期末)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

答案　D

解析　∵C2：y＝sin＝sin＝cos2x＋＝cos，根据三角函数图象变换的规律，可得D正确．

2．(2020·云南昆明高三第二次统考)若直线x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tanx的图象无公共点，则不等式tanx≥2a的解集为(　　)

A．

B.

C．

D.

答案　B

解析　因为x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tanx的图象无公共点，所以a＝，tanx≥2a即tanx≥1的解集为.

3．已知a是实数，且a≠0，则函数f(x)＝acosax的图象可能是(　　)

答案　C

解析　对于A，D，注意到当x＝0时，f(x)＝acos0＝a≠0，因此结合选项知，A，D不正确；对于B，其最小正周期为T＝＝π，a＝2，此时相应的最大值是2，这与所给的图象不相吻合，因此B不正确，综上所述，故选C.

4．(2020·乌鲁木齐第一次诊断)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)

A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|

C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|

答案　A

解析　作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．

由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.

5．(2020·西安五校联考抚州临川一中模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象经过两点A，B，f(x)在内有且只有两个极值点，且极大值点大于极小值点，则f(x)＝(　　)

A．sin B．sin

C．sin D．sin

答案　D

解析　根据题意可以画出函数f(x)的图象大致如右图，因为f(0)＝sinφ＝，又0<φ<π，由图可知φ＝，所以f(x)＝sin，因为f＝sin＝0，由图可知，＋T＝，所以T＝＝，故ω＝9，所以f(x)＝sin，故选D.

6．(2020·河南郑州第三次质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则使f(a＋x)－f(a－x)＝0成立的a的最小正值为(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　由图象易知，A＝2，f(0)＝1，即2sinφ＝1，即φ＝，又f＝0，所以sin＝0，所以·ω＋＝kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z，又T<<T，即×<<，得<ω<，所以当k＝2时，ω＝2，所以函数f(x)＝2sin，因为f(a＋x)－f(a－x)＝0，函数f(x)关于x＝a对称，即2a＋＝kπ＋，k∈Z，可得a＝＋，k∈Z，所以a的最小正值为，故选B.

7．(2020·河南洛阳第三次统一考试)函数f(x)＝sin的图象与函数g(x)的图象关于直线x＝对称，则关于函数y＝g(x)，以下说法正确的是(　　)

A．最大值为1，图象关于直线x＝对称

B．在上单调递减，为奇函数

C．在上单调递增，为偶函数

D．周期为π，图象关于点对称

答案　B

解析　设点P(x，y)是函数y＝g(x)图象上的任意一点，则点Q在函数y＝f(x)的图象上，y＝sin＝－sin2x＝g(x)．对于A，函数y＝g(x)的最大值为1，图象不关于直线x＝对称，错误；对于B，g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，由2kπ－≤2x≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数在上单调递减，正确；对于C，显然函数y＝g(x)不是偶函数，错误；对于D，函数的周期为π，解2x＝kπ得x＝，所以图象的对称中心为，错误．故选B.

8．已知ω>0，函数f(x)＝sin在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

答案　A

解析　正弦函数y＝sinx的单调递减区间为，k∈Z，所以2kπ＋<ωx＋<2kπ＋(k∈Z)在上恒成立，所以解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．又因为ω＞0,4k＋＜2k＋(k∈Z)，所以k＝0，所以ω∈.故选A.

二、填空题

9．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为________．

答案　

解析　由诱导公式可得：cos＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.

10．(2020·西安五校联考名校5月联合考试)设f(x)＝sin2x＋cos2x，将f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ的最小值为________．

答案　

解析　因为f(x)＝2sin，所以g(x)＝2sin，又g(x)是偶函数，

所以－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z，因为φ>0，所以当k＝－1时，φmin＝.

11．(2020·福建三模)已知直线y＝n与函数f(x)＝msinx＋cosx的图象相邻两个交点的横坐标分别为x1＝－，x2＝，则m＝________.

答案　1

解析　依题意f(x)＝sin(x＋φ)，由题意知x＝＝为函数f(x)＝msinx＋cosx的图象的一条对称轴，所以±＝m＋，解得m＝1.

12．设0<x<π，则函数y＝的最小值是________．

答案　

解析　解法一：设P(0,2)，Q(－sinx，cosx)，则y＝表示点P与Q连线的斜率，又Q的轨迹为单位圆的左半部分(如图)，kPQ∈[，＋∞)，所以相切时有最小值，即ymin＝.

解法二：y＝＝

＝＝

＝＝.

设t＝tan，则

y＝＝＋≥2＝，

当且仅当＝，

即t＝tan＝，亦即x＝时等号成立，故ymin＝.

三、解答题

13．(2020·北京北京朝阳期末)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．

解　(1)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝sin＋，

∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)若f(x)在区间上的最大值为，

可得2x－∈，

即有2m－≥.解得m≥.

∴m的最小值为.

14．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)(0<φ<π)．

(1)若φ＝，在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象；

(2)若f(x)是偶函数，求φ；

(3)在(2)的前提下，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的单调递减区间．

解　(1)当φ＝时，

f(x)＝sin－cos

＝sin2x＋cos2x－cos2x＋sin2x

＝sin2x＋cos2x

＝2sin.

列表：

函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象如图：

(2)f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)

＝2sin.

因为f(x)为偶函数，则y轴是f(x)图象的对称轴，

所以＝1，

则φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，

又因为0<φ<π，故φ＝.

(3)由(2)知f(x)＝2sin＝2cos2x，

将f(x)的图象向右平移个单位后，

得到f的图象，再将横坐标变为原来的4倍，

得到g(x)＝f，

所以g(x)＝f＝2cos.

当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，

即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，

g(x)单调递减，因此g(x)在[0，π]上的单调递减区间为.