2021届二轮复习 三角函数的图象及性质 课时作业（全国通用） 练习

第1讲 三角函数的图象及性质A级——北京朝阳期末保分练1．(2020·徐州调研)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________．解析：由题意得，1<<2，所以k<π<2k，即<k<π，又k∈Z，所以k＝2或3.答案：2或32．将函数y＝sin的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)的图象，则f＝________.解析：∵f(x)＝sin＝sin，∴f＝sin ＝.答案：3．(2020·苏州期末)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x＝－，则φ＝________.解析：因为函数f(x)的一条对称轴是x＝－，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z，又因为0≤φ<π，所以φ＝.答案：4．若函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，则ω＝________.解析：因为0<ω<1,0≤x≤，所以0≤ωx<.所以f(x)在区间上单调递增，则f(x)max＝f＝2sin ＝1，即sin ＝.又0≤ωx<，所以＝，解得ω＝.答案：5．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，∴f＝1，∴·ω－＝2kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋，k∈Z.又ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.答案：6．将函数y＝2sin·sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为________．解析：由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin2(x＋φ)＋＝sin，因为g(x)＝sin为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为.答案：7.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________． 解析：由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝6，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，将(0,1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin×3＋φ＝－Asin φ＝－1.答案：－18．(2020·启东检测)已知函数f(x)＝sin x－sin 3x，x∈[0,2π]，则f(x)的所有零点之和等于________．解析：f(x)＝sin x－sin 3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos 2xsin x，令f(x)＝0，可得cos 2x＝0或sin x＝0，∵x∈[0,2π]，∴2x∈[0,4π]，由cos 2x＝0可得2x＝或2x＝或2x＝或2x＝，∴x＝或x＝或x＝或x＝，由sin x＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，∵＋＋＋＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π.答案：7π9.如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的最小正周期是________． 解析：设函数f(x)的最小正周期为T，由图象可得A，B，则·＝－3＝0，解得T＝4.答案：410．已知ω>0，在函数y＝sin ωx与y＝cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为________．解析：令sin ωx＝cos ωx，得sin ωx－cos ωx＝sinωx－＝0，所以ωx－＝kπ，k∈Z，即x＝·.如图，当k＝0时，x1＝，y1＝；当k＝1时，x2＝，y2＝－.由勾股定理，得(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝()2，即2＋2＝3.化简得ω2＝π2.又ω>0，所以ω＝π.答案：π11．(2017·浙江北京朝阳期末)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2＝－2sin，故f＝－2sin＝－2sin ＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2sin.则f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[0，π))的图象如图所示． (1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)＋f(x＋2)在x∈[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)由图可得A＝3，f(x)的周期为8，则＝8，即ω＝.f(－1)＝f(3)＝0，则f(1)＝3，所以sin＝1，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又φ∈[0，π)，故φ＝.综上所述，f(x)的解析式为f(x)＝3sin.(2)g(x)＝f(x)＋f(x＋2)＝3sin＋3sin＝3sin＋3cos＝6＝6sin.当x∈[－1,3]时，x＋∈.故当x＋＝，即x＝－时，sin取得最大值1，则g(x)的最大值为g＝6；当x＋＝，即x＝3时，sin取得最小值－，则g(x)的最小值为g(3)＝6×＝－3.B级——难点突破练1．(2020·苏北三市期末)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．解析：平移后的函数g(x)＝sin.令f(x)＝g(x)，得sin 2x＝sin.法一：2x－＝π－2x＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，相邻的三个交点为，，.故所求面积为S＝×π×＝π.法二：sin 2x＝sin＝sin 2xcos－cos 2x·sin＝sin 2x－cos 2x，即sin＝0，则有2x＋＝kπ(k∈Z)，x＝－＋(k∈Z)，相邻的三个交点为，，.则所求面积S＝×π×＝π.答案：π2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是________．解析：因为－为f(x)的零点，x＝是y＝f(x)图象的对称轴，所以－＝＋T(k∈N)，即＝T(k∈N)，则＝·，所以ω＝2k＋1(k∈N)．又因为f(x)在上有最小值无最大值，所以－＝≤T＝，所以ω≤16，所以ω的最大值为15.答案：153．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在，上的单调性．解：(1)f(x)＝sinsin x－cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈，时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在，上单调递增，在，上单调递减．4．已知函数f(x)＝4sincos x＋.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－m在0，上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．解：(1)f(x)＝4sincos x＋＝4cos x＋＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间为kπ－，kπ＋(k∈Z)．(2)方程g(x)＝0等价于f(x)＝m，在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2sin在0，上的图象，如图所示，由图象可知， 当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan＝－.