高中13.2 基本图形位置关系教学演示课件ppt

第2课时　直线与平面垂直

知识点1　直线与平面垂直的定义

如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α．直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．

图形表示：

1．下列命题中，所有正确命题的序号是________．

①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．

③④　[当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．]

知识点2　直线与平面垂直的判定定理

2．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：

①l垂直于α内的一五边形的两条边；

②l垂直于α内三条不都平行的直线；

③l垂直于α内无数条直线；

④l垂直于α内正六边形的三条边．

其中能够推出l⊥α的所有条件的序号是________．

②④　[如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平行直线，不能推出l⊥α．故选②④．]

知识点3　直线与平面垂直的性质定理

3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则(　　)

A．l⊥m   B．l∥m

C．l，m异面   D．l，m相交而不垂直

A　[根据线面垂直的定义，无论l与m是异面，还是相交，都有l⊥m，故选A．]

知识点4　距离及直线与平面所成的角

(1)距离

①点到平面的距离

从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．

②直线和平面的距离

一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．

(2)直线与平面所成的角

一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．

平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．

特别地，如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角．

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为________，AB到平面A1B1CD的距离为________．

　　[连接AC，BD，则AC⊥BD，又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝，AB到平面A1B1CD距离等于A到该平面的距离，等于．]

5．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．

45°　[∵PA⊥平面ABC，

∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，

在Rt△PAB中，PA＝AB，

∴∠PBA＝45°．]

类型1　线面垂直的定义及判定定理的应用

【例1】　(对接教材P174T9)如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．

[证明]　∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC．

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．而PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC．

又∵AE⊂平面PAC，

∴BC⊥AE．

∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，

∴AE⊥平面PBC．

1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．

2．线线垂直与线面垂直的转化关系

[跟进训练]

1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O．

[证明]　∵E，F分别是棱AB，BC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥AC．

∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO．

又∵BB1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，

∴EF⊥BB1．

又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O．

类型2　线面垂直性质定理的应用

【例2】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC．求证：EF∥BD1．

[证明]　如图所示，

连接AB1，B1C，BD，B1D1，

∵DD1⊥平面ABCD，

AC⊂平面ABCD，

∴DD1⊥AC．

又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1，

又BD1⊂平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1．

同理可证BD1⊥B1C，

∴BD1⊥平面AB1C．

∵EF⊥AC，EF⊥A1D，

又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．

又B1C∩AC＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1．

空间中证明两条直线平行的方法

(1)利用线线平行定义证两线无公共点；

(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(基本事实4)；

(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；

(4)若a⊥α，b⊥α，则a∥b(线面垂直的性质定理)．

[跟进训练]

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．

求证：MN∥AD1．

[证明]　∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ADD1A1为正方形，

∴A1D⊥AD1．

又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，

∴CD⊥AD1．

∵A1D∩CD＝D，A1D⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，

∴AD1⊥平面A1DC．

又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1．

类型3　距离问题及直线与平面所成角的求法

【例3】　如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．

(1)求证：MN⊥平面A1BC；

(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小．

1连接AB1，AC1，以三角形中位线为切入点，思考MN与AC1的关系，进而证明MN⊥平面A1BC；

2结合AC1与平面A1BC的关系，思考直线BC1与平面A1BC所成的角，并求解.

[解]　(1)证明：如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，得BC⊥平面ACC1A1．

连接AC1，

则BC⊥AC1．

由已知可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．

又BC∩A1C＝C，

所以AC1⊥平面A1BC．

因为侧面ABB1A1是矩形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．

又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，

所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．

(2)因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，

则∠C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角．

设AC＝BC＝CC1＝a，

则C1D＝a，BC1＝a．

在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝＝，

所以∠C1BD＝30°，

故直线BC1与平面A1BC所成的角为30°．

求直线与平面所成角的步骤

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

(3)把该角归结到某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

[跟进训练]

3．如图，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点．

(1)求证：A1F⊥平面BEF；

(2)求直线A1B与平面BEF所成角的正弦值．

[解]　(1)证明：连接AF．

∵E，F分别为CC1，DD1的中点，

∴EF∥AB且EF＝AB，

∴四边形ABEF为平行四边形．

又在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，

AB⊥平面AA1D1D，A1F⊂平面AA1D1D，

∴AB⊥A1F，

∴EF⊥A1F．

由已知，得AF＝，A1F＝，AA1＝2，

∴A1F2＋AF2＝AA，

∴AF⊥A1F．

又AF∩EF＝F，

∴A1F⊥平面ABEF，

即A1F⊥平面BEF．

(2)∵A1F⊥平面BEF．

∴A1B在平面BEF上的射影为BF，

∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．

由已知，得A1F＝，A1B＝，

∴sin∠A1BF＝，

即A1B与平面BEF所成角的正弦值为．

1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(　　)

A．l与平面α内的两条直线垂直

B．l与平面α内的无数条直线垂直

C．l与平面α内的某一条直线垂直

D．l与平面α内的任意一条直线垂直

D　[由直线与平面垂直的定义及判定定理知D正确．]

2．已知a，b是平面α内的两条直线，l是空间中的一条直线．则“直线l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[“l⊥α，a，b⊂α”⇒“l⊥a，l⊥b”；反之不一定成立，例如a∥b时，l不一定垂直平面α．所以“直线l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选B．]

3．(多选题)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题，其中正确的是(　　)

A． AF⊥GC

B． BD与GC成异面直线且夹角为60°

C．BD∥MN

D． BG与平面ABCD所成的角为45°

AB　[将平面展开图还原成正方体(如图所示)．

对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；

对于B，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BE∥GC，所以∠EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDE中，∠EBD＝60°，

所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故B正确；

对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；

对于D，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故D错误．综上可得AB正确．]

4．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．

1或3　[A，B在α同一侧时，P到α的距离为3；A，B在α异侧时，P到α的距离为1．]

5．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________；点Q在PB的延长线上，则直线QB与平面ABC所成角的度数为________．

45°　45°　[因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°；直线QB与直线PB共线，所以直线QB与平面ABC所成的角等于45°．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．判定直线l与平面α垂直的方式有哪些？

[提示]　①若a∥l，且a⊥α，则l⊥α；

②若⇒l⊥α．

2．求直线与平面所成角的步骤是什么？

[提示]　三步：“一作”“二证”“三求解”．

3．如何求直线到平面的距离？

[提示]　若直线与平面平行，则可以转化为直线上任一点到平面的距离．