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人教版八年级上册第十三章 轴对称综合与测试当堂达标检测题
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这是一份人教版八年级上册第十三章 轴对称综合与测试当堂达标检测题，共26页。试卷主要包含了2画对称图形，5，，5．等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，-5）D．﹣（2，-5）
2．已知点P1（a，3），P2（2，b）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．﹣3B．2C．3D．﹣2
3．在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，3）沿x轴方向向右平移个单位得到点，再作出点Q关于y轴对称的对称点得到点M，点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，-3）B．（1，3）C．（1，-3）D．（﹣1，3）
4．点P（﹣2，﹣8）关于y轴的对称点P1的坐标是（a﹣2，3b+4），则a，b的值为（ ）
A．a＝﹣4，b＝﹣4B．a＝﹣4，b＝4C．a＝4，b＝4D．a＝4，b＝﹣4
5．在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（3，4）先将△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2，则点A2的坐标为（ ）
A．C．
6．在平面直角坐标系中，点P（a，﹣5）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a﹣b的值为（ ）
A．8B．﹣8C．2D．﹣2
7．在平面直角坐标系中，点（﹣7，6）关于x轴对称点是（ ）
A．C．（7，﹣6）D．（﹣7，﹣6）
8．点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标在第（ ）象限．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．在平面直角坐标系中，把一个封闭图形的各个顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，并把得到的顶点依次连接，那么得到的封闭图形与原来图形相比位置上（ ）
A．向左平移了1个单位B．关于y轴对称
C．关于x轴对称D．向下平移了2个单位
二．填空题
11．若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（a+1，3），则a＝ ．
12．点A的坐标为（6，﹣8），点A关于x轴的对称点为点B，则点B的坐标是 ．
13．把点A（a+2，a﹣1）向上平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为 ．
14．点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为 ，点B（﹣3，1）到y轴的距离是 ．
15．已知A（a，2）和B（1，b）关于x轴对称，则（a+b）2016＝ ．
三．解答题
16．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点．
（1）画出与△ABC的关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出各点坐标：A1 （ ），B1（ ），C1（ ）；
（3）直接写出△ABC的面积是 ．
17．如图，作出三角形ABC关于x轴对称的图形三角形A1B1C1，并指出点A1、B1、C1的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．
（2）△A1B1C1的面积为 ．
（3）在y轴上画出点Q，使△QAB的周长最小．
19．在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等．
（3）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位，画出平移后得到的△A2B2C2．
（4）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应三角形△ABC和△A2B2C2的对应点所具有的性质是（ ）．
A．对应点连线与对称轴垂直
B．对应点连线被对称轴平分或与对称轴重合
C．对应点连线被对称轴垂直平分
D．对应点连线互相平行
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：点P（﹣2，5）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣5），
∴点Q的坐标为（﹣2，﹣5），
故选：C．
2．【解答】解：∵点P1（a，3），P2（2，b）关于x轴对称，
∴a＝2，
则a的值为：2．
故选：B．
3．【解答】解：∵将点P（﹣2，3）沿x轴正方向向右平移3个单位得到点Q，
∴点Q的坐标是（1，3），
∴点Q关于y轴的对称点的坐标是（﹣1，3）．
故选：D．
4．【解答】解：∵点P（﹣2，﹣8）关于y轴的对称点P1的坐标是（a﹣2，3b+4），
∴a﹣2＝2，3b+4＝﹣8，
解得：a＝4，b＝﹣4．
故选：D．
5．【解答】解：∵A点坐标为（3，4）先将△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，
∴A1（3，2），
∵作△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2，
∴点A2的坐标为：（﹣3，2）．
故选：D．
6．【解答】解：∵点P（a，﹣5）与点Q（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝5，
则a﹣b＝3﹣5＝﹣2．
故选：D．
7．【解答】解：点（﹣7，6）关于x轴对称点是（﹣7，﹣6），
故选：D．
8．【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标为（2，3），则此点在第一象限．
故选：A．
9．【解答】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，
∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确；
∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，
由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，
又∵∠EPO＝∠BPA，
∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；
∵△ACE≌△ADB，
∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，
∴BD边上的高与CE边上的高相等，
即点A到∠BOC两边的距离相等，
∴OA平分∠BOC，故③正确；
只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误；
在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，
∴BP＜EQ，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：B．
10．【解答】解：∵封闭图形的各个顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，
∴原图形各点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴得到的封闭图形与原来图形相比位置上关于y轴对称．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，
可得a+1＝﹣2，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．【解答】解：∵点A的坐标为（6，﹣8），
∴点A关于x轴的对称点B的坐标是（6，8），
故答案为：（6，8）．
13．【解答】解：点A（a+2，a﹣1）向上平移3个单位，得
（a+2，a﹣1+3）．
由所得的点与点A关于x轴对称，得
a﹣1+（a﹣1+3）＝0，
解得a＝﹣0.5，
故答案为：﹣0.5．
14．【解答】解：点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（2，3）；
点B（﹣3，1）到y轴的距离是3．
故答案为：（2，3）；3．
15．【解答】解：∵A（a，2）和B（1，b）关于x轴对称，
∴a＝1，b＝﹣2，
所以，（a+b）2016＝（1﹣2）2016＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，A1 （4，1），B1（1，﹣1），C1（3，2）；
故答案为：4，1；1，﹣1；3，2；
（3）S△ABC＝3×3﹣×1×1﹣×2×3﹣×2×3＝2.5
故答案为：2.5．
17．【解答】解：如图所示：△A1B1C1，即为所求，
A1（﹣3，﹣5）；B1（﹣5，2）；C1（3，﹣2）．
18．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
由图可知：A1（﹣1，2），
B1（﹣3，1），C1（2，﹣1）；
（2）S△A1B1C1＝S矩形EFGH﹣S△A1EB1﹣S△B1FC1﹣S△A1HC1
＝3×5﹣×1×2﹣×2×5﹣×3×3
＝15﹣1﹣5﹣
＝4.5．
故答案为：4.5；
（3）连接A1B交y轴于Q，
则此时△QAB的周长最小．
19．【解答】解：（1）△ABC的面积＝4×3﹣×4×2﹣×2×1﹣×2×3＝4；
故答案为4；
如图，点P为所作
13.3等腰三角形
一．选择题
1．等腰三角形的一边长为6，一边长为2，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．14D．10或14
2．在△ABC中，∠B＝∠C，∠A＝20°，则∠B的大小为（ ）
A．20°B．70°C．80°D．160°
3．如图，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则下列结论错误是（ ）
A．CE＝ABB．BD＝EDC．∠BDE＝∠DCED．∠ADE＝120°
4．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
5．已知一个等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么该等腰三角形的周长为（ ）
A．8cmB．10cmC．8cm或10cmD．不能确定
6．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（ ）
A．90°B．70°C．45°D．30°
7．如图，点D在△ABC的边AC上，且AD＝BD＝CD，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．45°
8．如图，已知OC＝CD＝DE，且∠BDE＝72°，则∠CDE的度数是（ ）
A．63°B．65°C．75°D．84°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AD＝2.4．
A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④
10．已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题
11．如果一等腰三角形的顶角为钝角，过这个等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
12．已知O为平面直角坐标系的坐标原点，等腰三角形△AOB中，A（2，4），点B是x轴上的点，则△AOB的面积为 ．
13．等腰三角形的一个内角为130°，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
14．在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，AB∥DE，AC＝7，CD＝3，则△CDE的周长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝6，AC＝8，则△AMN的周长为 ．
三．解答题
16．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证AB＝AC．
17．如图，在△ABC中，线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于点P、Q两点，且BP＝PQ＝QC．试证明△APQ为等边三角形．
18．用一条长为20cm的细绳能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？说明理由．
19．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．
{计算发现}
（1）若∠B＝70°，∠ADE＝80°，则∠BAD＝ ，∠CDE＝ ．
{猜想验证}
（2）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系式，并证明你的猜想．
{拓展思考}
（3）①当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝ ．
②当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝ ．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：①当2为底时，其它两边都为6，
2、6、6可以构成三角形，
则该等腰三角形的周长为14；
②当2为腰时，
其它两边为2和6，
∵2+2＜6，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长为14．
故选：C．
2．【解答】解：因为三角形的内角和是180°，∠A＝20°，∠B＝∠C，
那么∠B＝（180°﹣20°）＝80°．
故选：C．
3．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，
∴AB＝AC，CD＝AC，
∴CD＝AB，
∵CE＝CD，
∴CE＝AB，A选项结论正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵D是AC边的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴BD＝ED，B选项结论正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝120°，
∵∠DCE＝120°﹣∠ACB＝120°，
∴∠BDE＝∠DCE，C选项结论正确，不符合题意；
∠ADE＝180°﹣30°＝150°，D选项错误，符合题意；
故选：D．
4．【解答】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意；
所以B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
5．【解答】解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4+2+4＝10（cm），
当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2+2，不满足三角形的三边关系，所以此时不存在三角形，
故选：B．
6．【解答】解：如图，
∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，
∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°，
故选：B．
7．【解答】解：∵AD＝BD＝CD，
∴∠ABD＝∠A，∠C＝∠DBC，
∵∠A＝40°，
∴∠C＝（180°﹣40°×2）÷2＝50°．
故选：B．
8．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝72°，
∴∠ODC＝24°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝108°，
∴∠CDE＝108°﹣∠ODC＝84°．
故选：D．
9．【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
∵∠BAC＝90°，AD是高，
∴S△ABC＝ABAC＝ADBC，
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AD＝＝4.8，故④错误，
故选：B．
10．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，
A、铺设的电缆长为a+a＝2a；
C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∴BD＝DC＝BC＝a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝＝＝，
则铺设的电缆长为a+a＝a；
B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；
D、如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，
∴设DO＝x，则BO＝2x，BD＝，
故x2+（）2＝（2x）2，
解得：x＝a，
则BO＝a，
则铺设的电缆长为AO+OB+OC＝3×a＝a，
∵a＜a＜2a，
∴方案D中光缆最短；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：①如图，∠ACB是钝角，直线CD将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，AC＝BC＝BD，AD＝CD，
设∠B＝x°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝x°，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝x°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝2x°，
∴∠ACB＝3x°，
∴x+x+3x＝180，
解得x＝36°，
∴顶角是108°．
②若过A或B作直线，则不能将这个等腰三角形分成两个等腰三角形．
综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为108°．
故答案为：108°．
12．【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点O（0，0），A（2，4），
∴AE＝4，OE＝2，OA＝＝2，
当OA＝AB时，B的坐标为（4，0），此时S△AOB＝AE＝＝8；
当OA＝OB时，B的坐标为（，0），此时S△AOB＝AE＝×4＝4；
当OB＝AB时，B的坐标为（5，0），此时S△AOB＝AE＝＝10；
∴△AOB的面积为：8或4或10．
故答案为：8或4或10．
13．【解答】解：∵若这个130°的内角是底角，则这两个底角的和就大于180°，
∴等腰三角形的一个内角为130°，则这个等腰三角形顶角的度数为130°，
故答案为130°．
14．【解答】解：∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB∥DE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+CE+CD＝AC+CD，
∵AC＝7，CD＝3，
∴△CDE的周长为7+3＝10，
故答案为：10．
15．【解答】解：∵EB平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠BEM，
∴∠ABE＝∠BEM，
∴BM＝EM
同理可得CN＝EN，
∴△AMN的周长＝AM+ME+EN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AMN的周长＝6+8＝14，
故答案为：14．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
17．【解答】证明：∵线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于点P、Q两点，
∴BP＝AP，QC＝AQ，
∵BP＝PQ＝QC，
∴AP＝AQ＝PQ，
∴△APQ是等边三角形．
18．【解答】解：能围成有一边的长为4cm的等腰三角形．
理由：若腰长为4cm，则底边长为20﹣2×4＝12（cm），
∵4+4+＜12，
∴不能围成腰长为4cm的等腰三角形；
若底边长为4cm，则腰长为×（20﹣4）＝8（cm），
∵4+8＞8，
∴能围成底边长为4cm的等腰三角形，
综上，可以围成底边是4cm的等腰三角形．
19．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∠B＝70°，∠ADE＝80°，
∴∠C＝70°，∠AED＝80°，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝10°，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝20°，
故答案为：20°；10°；
（2）∠BAD＝2∠CDE．
理由如下：
设∠B＝x，∠ADE＝y，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝x，
∵∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝y，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）①由（2）知，∠BAD＝2∠CDE，
∴∠CDE＝∠BAD＝，
故答案为：12.5°；
②当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，
分两种情况：
当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；
当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，∵∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝AE′，
∴∠ADE＝∠AE′D，
由①知，∠CDE′＝12.5°，
∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，
∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°
13.4课题学习 最短路径问题
一，选择题
1.如图，直线l外不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得的长度最短.作法为①作点B关于直线l的对称点；②连接与直线相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A. B.4 C.5 D.
3.如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ( )
A． B． 6 C． D． 3
4.如图，直线是一条河，A、B两地相距10，A、B两地到的距离分别为8、14，欲在上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A.答案A B.答案B C.答案C D.答案D
5.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为（ ）
A.3 B.5 C.6 D.无法确定
6.如图，菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图，内一点分别是P关于的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（ ）
A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm
8.如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，点在直线外，在点O沿着直线从左往右运动的过程中，形成无数个三角形:，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（ ）
A.不断变大
B.不断变小
C.先变小再变大
D.先变大再变小
二，填空题
10.如图所示，在边长为2 cm的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△PBG的周长的最小值是 ．
11.如图，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD＋DE的最小值是 ．
12.如图，已知点A（1，1）、B（3，2），且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的最小值为 ．
13.如图，等边的周长为18 cm,为边上的中线，动点分别在线段上运动，连接.当长为 cm时,线段的值最小.
14.如图，在中,垂直平分,点P为直线上一动点，则周长的最小值是 .
三，简答题
15.如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接.
1.若，则的度数是 .
2.若，的周长是14cm
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值.
16.如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N，使PM＋MN＋NQ最短．
一．选择题
1．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，-5）D．﹣（2，-5）
2．已知点P1（a，3），P2（2，b）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．﹣3B．2C．3D．﹣2
3．在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，3）沿x轴方向向右平移个单位得到点，再作出点Q关于y轴对称的对称点得到点M，点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，-3）B．（1，3）C．（1，-3）D．（﹣1，3）
4．点P（﹣2，﹣8）关于y轴的对称点P1的坐标是（a﹣2，3b+4），则a，b的值为（ ）
A．a＝﹣4，b＝﹣4B．a＝﹣4，b＝4C．a＝4，b＝4D．a＝4，b＝﹣4
5．在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（3，4）先将△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2，则点A2的坐标为（ ）
A．C．
6．在平面直角坐标系中，点P（a，﹣5）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a﹣b的值为（ ）
A．8B．﹣8C．2D．﹣2
7．在平面直角坐标系中，点（﹣7，6）关于x轴对称点是（ ）
A．C．（7，﹣6）D．（﹣7，﹣6）
8．点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标在第（ ）象限．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．在平面直角坐标系中，把一个封闭图形的各个顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，并把得到的顶点依次连接，那么得到的封闭图形与原来图形相比位置上（ ）
A．向左平移了1个单位B．关于y轴对称
C．关于x轴对称D．向下平移了2个单位
二．填空题
11．若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（a+1，3），则a＝ ．
12．点A的坐标为（6，﹣8），点A关于x轴的对称点为点B，则点B的坐标是 ．
13．把点A（a+2，a﹣1）向上平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为 ．
14．点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为 ，点B（﹣3，1）到y轴的距离是 ．
15．已知A（a，2）和B（1，b）关于x轴对称，则（a+b）2016＝ ．
三．解答题
16．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点．
（1）画出与△ABC的关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出各点坐标：A1 （ ），B1（ ），C1（ ）；
（3）直接写出△ABC的面积是 ．
17．如图，作出三角形ABC关于x轴对称的图形三角形A1B1C1，并指出点A1、B1、C1的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．
（2）△A1B1C1的面积为 ．
（3）在y轴上画出点Q，使△QAB的周长最小．
19．在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等．
（3）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位，画出平移后得到的△A2B2C2．
（4）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应三角形△ABC和△A2B2C2的对应点所具有的性质是（ ）．
A．对应点连线与对称轴垂直
B．对应点连线被对称轴平分或与对称轴重合
C．对应点连线被对称轴垂直平分
D．对应点连线互相平行
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：点P（﹣2，5）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣5），
∴点Q的坐标为（﹣2，﹣5），
故选：C．
2．【解答】解：∵点P1（a，3），P2（2，b）关于x轴对称，
∴a＝2，
则a的值为：2．
故选：B．
3．【解答】解：∵将点P（﹣2，3）沿x轴正方向向右平移3个单位得到点Q，
∴点Q的坐标是（1，3），
∴点Q关于y轴的对称点的坐标是（﹣1，3）．
故选：D．
4．【解答】解：∵点P（﹣2，﹣8）关于y轴的对称点P1的坐标是（a﹣2，3b+4），
∴a﹣2＝2，3b+4＝﹣8，
解得：a＝4，b＝﹣4．
故选：D．
5．【解答】解：∵A点坐标为（3，4）先将△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，
∴A1（3，2），
∵作△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2，
∴点A2的坐标为：（﹣3，2）．
故选：D．
6．【解答】解：∵点P（a，﹣5）与点Q（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝5，
则a﹣b＝3﹣5＝﹣2．
故选：D．
7．【解答】解：点（﹣7，6）关于x轴对称点是（﹣7，﹣6），
故选：D．
8．【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标为（2，3），则此点在第一象限．
故选：A．
9．【解答】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，
∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确；
∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，
由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，
又∵∠EPO＝∠BPA，
∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；
∵△ACE≌△ADB，
∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，
∴BD边上的高与CE边上的高相等，
即点A到∠BOC两边的距离相等，
∴OA平分∠BOC，故③正确；
只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误；
在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，
∴BP＜EQ，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：B．
10．【解答】解：∵封闭图形的各个顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，
∴原图形各点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴得到的封闭图形与原来图形相比位置上关于y轴对称．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，
可得a+1＝﹣2，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．【解答】解：∵点A的坐标为（6，﹣8），
∴点A关于x轴的对称点B的坐标是（6，8），
故答案为：（6，8）．
13．【解答】解：点A（a+2，a﹣1）向上平移3个单位，得
（a+2，a﹣1+3）．
由所得的点与点A关于x轴对称，得
a﹣1+（a﹣1+3）＝0，
解得a＝﹣0.5，
故答案为：﹣0.5．
14．【解答】解：点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（2，3）；
点B（﹣3，1）到y轴的距离是3．
故答案为：（2，3）；3．
15．【解答】解：∵A（a，2）和B（1，b）关于x轴对称，
∴a＝1，b＝﹣2，
所以，（a+b）2016＝（1﹣2）2016＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，A1 （4，1），B1（1，﹣1），C1（3，2）；
故答案为：4，1；1，﹣1；3，2；
（3）S△ABC＝3×3﹣×1×1﹣×2×3﹣×2×3＝2.5
故答案为：2.5．
17．【解答】解：如图所示：△A1B1C1，即为所求，
A1（﹣3，﹣5）；B1（﹣5，2）；C1（3，﹣2）．
18．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
由图可知：A1（﹣1，2），
B1（﹣3，1），C1（2，﹣1）；
（2）S△A1B1C1＝S矩形EFGH﹣S△A1EB1﹣S△B1FC1﹣S△A1HC1
＝3×5﹣×1×2﹣×2×5﹣×3×3
＝15﹣1﹣5﹣
＝4.5．
故答案为：4.5；
（3）连接A1B交y轴于Q，
则此时△QAB的周长最小．
19．【解答】解：（1）△ABC的面积＝4×3﹣×4×2﹣×2×1﹣×2×3＝4；
故答案为4；
如图，点P为所作
13.3等腰三角形
一．选择题
1．等腰三角形的一边长为6，一边长为2，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．14D．10或14
2．在△ABC中，∠B＝∠C，∠A＝20°，则∠B的大小为（ ）
A．20°B．70°C．80°D．160°
3．如图，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则下列结论错误是（ ）
A．CE＝ABB．BD＝EDC．∠BDE＝∠DCED．∠ADE＝120°
4．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
5．已知一个等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么该等腰三角形的周长为（ ）
A．8cmB．10cmC．8cm或10cmD．不能确定
6．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（ ）
A．90°B．70°C．45°D．30°
7．如图，点D在△ABC的边AC上，且AD＝BD＝CD，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．45°
8．如图，已知OC＝CD＝DE，且∠BDE＝72°，则∠CDE的度数是（ ）
A．63°B．65°C．75°D．84°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AD＝2.4．
A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④
10．已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题
11．如果一等腰三角形的顶角为钝角，过这个等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
12．已知O为平面直角坐标系的坐标原点，等腰三角形△AOB中，A（2，4），点B是x轴上的点，则△AOB的面积为 ．
13．等腰三角形的一个内角为130°，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
14．在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，AB∥DE，AC＝7，CD＝3，则△CDE的周长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝6，AC＝8，则△AMN的周长为 ．
三．解答题
16．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证AB＝AC．
17．如图，在△ABC中，线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于点P、Q两点，且BP＝PQ＝QC．试证明△APQ为等边三角形．
18．用一条长为20cm的细绳能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？说明理由．
19．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．
{计算发现}
（1）若∠B＝70°，∠ADE＝80°，则∠BAD＝ ，∠CDE＝ ．
{猜想验证}
（2）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系式，并证明你的猜想．
{拓展思考}
（3）①当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝ ．
②当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝ ．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：①当2为底时，其它两边都为6，
2、6、6可以构成三角形，
则该等腰三角形的周长为14；
②当2为腰时，
其它两边为2和6，
∵2+2＜6，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长为14．
故选：C．
2．【解答】解：因为三角形的内角和是180°，∠A＝20°，∠B＝∠C，
那么∠B＝（180°﹣20°）＝80°．
故选：C．
3．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，
∴AB＝AC，CD＝AC，
∴CD＝AB，
∵CE＝CD，
∴CE＝AB，A选项结论正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵D是AC边的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴BD＝ED，B选项结论正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝120°，
∵∠DCE＝120°﹣∠ACB＝120°，
∴∠BDE＝∠DCE，C选项结论正确，不符合题意；
∠ADE＝180°﹣30°＝150°，D选项错误，符合题意；
故选：D．
4．【解答】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意；
所以B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
5．【解答】解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4+2+4＝10（cm），
当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2+2，不满足三角形的三边关系，所以此时不存在三角形，
故选：B．
6．【解答】解：如图，
∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，
∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°，
故选：B．
7．【解答】解：∵AD＝BD＝CD，
∴∠ABD＝∠A，∠C＝∠DBC，
∵∠A＝40°，
∴∠C＝（180°﹣40°×2）÷2＝50°．
故选：B．
8．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝72°，
∴∠ODC＝24°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝108°，
∴∠CDE＝108°﹣∠ODC＝84°．
故选：D．
9．【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
∵∠BAC＝90°，AD是高，
∴S△ABC＝ABAC＝ADBC，
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AD＝＝4.8，故④错误，
故选：B．
10．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，
A、铺设的电缆长为a+a＝2a；
C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∴BD＝DC＝BC＝a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝＝＝，
则铺设的电缆长为a+a＝a；
B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；
D、如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，
∴设DO＝x，则BO＝2x，BD＝，
故x2+（）2＝（2x）2，
解得：x＝a，
则BO＝a，
则铺设的电缆长为AO+OB+OC＝3×a＝a，
∵a＜a＜2a，
∴方案D中光缆最短；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：①如图，∠ACB是钝角，直线CD将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，AC＝BC＝BD，AD＝CD，
设∠B＝x°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝x°，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝x°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝2x°，
∴∠ACB＝3x°，
∴x+x+3x＝180，
解得x＝36°，
∴顶角是108°．
②若过A或B作直线，则不能将这个等腰三角形分成两个等腰三角形．
综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为108°．
故答案为：108°．
12．【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点O（0，0），A（2，4），
∴AE＝4，OE＝2，OA＝＝2，
当OA＝AB时，B的坐标为（4，0），此时S△AOB＝AE＝＝8；
当OA＝OB时，B的坐标为（，0），此时S△AOB＝AE＝×4＝4；
当OB＝AB时，B的坐标为（5，0），此时S△AOB＝AE＝＝10；
∴△AOB的面积为：8或4或10．
故答案为：8或4或10．
13．【解答】解：∵若这个130°的内角是底角，则这两个底角的和就大于180°，
∴等腰三角形的一个内角为130°，则这个等腰三角形顶角的度数为130°，
故答案为130°．
14．【解答】解：∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB∥DE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+CE+CD＝AC+CD，
∵AC＝7，CD＝3，
∴△CDE的周长为7+3＝10，
故答案为：10．
15．【解答】解：∵EB平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠BEM，
∴∠ABE＝∠BEM，
∴BM＝EM
同理可得CN＝EN，
∴△AMN的周长＝AM+ME+EN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AMN的周长＝6+8＝14，
故答案为：14．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
17．【解答】证明：∵线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于点P、Q两点，
∴BP＝AP，QC＝AQ，
∵BP＝PQ＝QC，
∴AP＝AQ＝PQ，
∴△APQ是等边三角形．
18．【解答】解：能围成有一边的长为4cm的等腰三角形．
理由：若腰长为4cm，则底边长为20﹣2×4＝12（cm），
∵4+4+＜12，
∴不能围成腰长为4cm的等腰三角形；
若底边长为4cm，则腰长为×（20﹣4）＝8（cm），
∵4+8＞8，
∴能围成底边长为4cm的等腰三角形，
综上，可以围成底边是4cm的等腰三角形．
19．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∠B＝70°，∠ADE＝80°，
∴∠C＝70°，∠AED＝80°，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝10°，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝20°，
故答案为：20°；10°；
（2）∠BAD＝2∠CDE．
理由如下：
设∠B＝x，∠ADE＝y，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝x，
∵∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝y，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）①由（2）知，∠BAD＝2∠CDE，
∴∠CDE＝∠BAD＝，
故答案为：12.5°；
②当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，
分两种情况：
当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；
当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，∵∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝AE′，
∴∠ADE＝∠AE′D，
由①知，∠CDE′＝12.5°，
∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，
∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°
13.4课题学习 最短路径问题
一，选择题
1.如图，直线l外不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得的长度最短.作法为①作点B关于直线l的对称点；②连接与直线相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A. B.4 C.5 D.
3.如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ( )
A． B． 6 C． D． 3
4.如图，直线是一条河，A、B两地相距10，A、B两地到的距离分别为8、14，欲在上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A.答案A B.答案B C.答案C D.答案D
5.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为（ ）
A.3 B.5 C.6 D.无法确定
6.如图，菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图，内一点分别是P关于的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（ ）
A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm
8.如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，点在直线外，在点O沿着直线从左往右运动的过程中，形成无数个三角形:，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（ ）
A.不断变大
B.不断变小
C.先变小再变大
D.先变大再变小
二，填空题
10.如图所示，在边长为2 cm的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△PBG的周长的最小值是 ．
11.如图，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD＋DE的最小值是 ．
12.如图，已知点A（1，1）、B（3，2），且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的最小值为 ．
13.如图，等边的周长为18 cm,为边上的中线，动点分别在线段上运动，连接.当长为 cm时,线段的值最小.
14.如图，在中,垂直平分,点P为直线上一动点，则周长的最小值是 .
三，简答题
15.如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接.
1.若，则的度数是 .
2.若，的周长是14cm
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值.
16.如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N，使PM＋MN＋NQ最短．
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