备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点09 立体几何中的平行与垂直 学案
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易错点1：三视图
（1）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
（2）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．
（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
（4）有很多“三视图”的问题，可以看成由长方体（或正方体）切割而截成的，大家可以由长方体或正方体图形来思考用什么线段或截面截成的（这种思维方法给我们明确提供了一个解题的思考方向！
易错点2：球的有关性质
性质1. 球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.
性质2. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.
性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2.
性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.
性质5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长.
性质6. 若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.
易错点3：有关垂直的性质和判定
立体几何中寻找线线垂直一般有以下几种方法：
①根据定义
②如果直线//直线，直线直线，则
③如果直线平面，则
④三垂线定理及其逆定理
⑤根据二面角的平面角的定义⑥等腰（等边）三角形中的中线
⑦菱形（正方形）的对角线互相垂直 ⑧勾股定理中的三角形
⑨1::2 的直角梯形中 ⑩利用相似或全等证明直角，直径所对的圆周角
易错点4：有关平行的性质和判定
在立体几何中寻找平行一般有以下几种思路：
①根据公理4 ②根据“线面平行”的性质定理
③根据“线面垂直”的性质定理，若直线和都与平面垂直，则//。
④根据“面面平行”的性质定理 ⑤根据三角形中位线的性质。
⑥根据平行四边形的性质。 ⑦根据对应线段成比例。
01 三视图
例1（2020•全国2卷）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A. B. C. D.
【警示】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得点在侧视图中对应的点.
【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，
上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,
∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,∴点在侧视图中对应的点为.故选：A
【叮嘱】（1）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
（2）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．
（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
（4）有很多“三视图”的问题，可以看成由长方体（或正方体）切割而截成的，大家可以由长方体或正方体图形来思考用什么线段或截面截成的（这种思维方法给我们明确提供了一个解题的思考方向！
1．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A．20π B．24π C．28π D．32π
【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．
由图得，，由勾股定理得：，
，故选C．
2.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
【解析】该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，
所以该模型体积为：
，
打印所用原料密度因为为，不考虑打印损耗，
所以制作该模型所需原料的质量为：．
02 球的有关性质
例2（2020年全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D. 【警示】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，
由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，
，球的表面积.
故选：A
【叮嘱】球的有关性质
性质1. 球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.
性质2. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.
性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2.
性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.
性质5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长.
性质6. 若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.
1.（2019年全国1卷）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为________
【解析】由及是边长为2的正三角形可知，
三棱锥为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心.
连接BO并延长，交AC于G，则，又，
可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC.因为E，F分别是PA，AB的中点，所以.
又，即EF⊥CE，所以PB⊥CE，得PB⊥平面PAC.
所以PB⊥PA，PB⊥PC.
又∵，是正三角形，
∴，故
∴正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直.
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为正方体的体对角线的长度，即,
半径为,则球O的体积为．故答案为．
2.（2018年全国3卷）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ΔABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D-ABC体积的最大值为_________.
【解析】设等边三角形的边长为，则，得．
设的外接圆半径为，则，解得，
所以球心到所在平面的距离，
则点到平面的最大距离，
所以三棱锥体积的最大值．
故选B．
03 有关垂直的性质和判定
例3（2020年新全国1山东）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
【警示】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；
【解析】（1）证明： 在正方形中，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，所以
且平面，所以因为所以平面；
【叮嘱】证明线线垂直，若两条直线在同一平面内，可用平面几何中证明两条直线垂直的方法来证明它们垂直。立体几何一般有以下几种证明方法：
①根据定义
②如果直线//直线，直线直线，则
③如果直线平面，则
④三垂线定理及其逆定理
⑤根据二面角的平面角的定义⑥等腰（等边）三角形中的中线
⑦菱形（正方形）的对角线互相垂直 ⑧勾股定理中的三角形
⑨1::2 的直角梯形中 ⑩利用相似或全等证明直角，直径所对的圆周角
1．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．
(1)证明：平面⊥平面；
【解析】（1）由题设可得，，从而．
又是直角三角形，所以
取的中点，连接，，则，．
又由于是正三角形，故．
所以为二面角的平面角．
在中，．
又，所以，故．
所以平面平面．
2．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点．
(1)证明：平面平面；
【解析】(1)由题设知，平面⊥平面，交线为．
因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥．
因为为上异于，的点，且为直径，所以 ⊥．
又=，所以⊥平面．
而平面，故平面⊥平面．
04 有关平行的性质和判定
例4（2020•全国3卷）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
【警示】（1）连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；
【解析】（1）在棱上取点，使得，连接、、、，
在长方体中，且，且，
，，且，
所以，四边形为平行四边形，则且，
同理可证四边形为平行四边形，且，
且，则四边形为平行四边形，
因此，点在平面内；.
【叮嘱】在立体几何中寻找平行一般有以下几种思路：
①根据公理4 ②根据“线面平行”的性质定理
③根据“线面垂直”的性质定理，若直线和都与平面垂直，则//。
④根据“面面平行”的性质定理 ⑤根据三角形中位线的性质。
⑥根据平行四边形的性质。 ⑦根据对应线段成比例。
1.（2016全国III）如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（Ⅰ）证明平面；
【解析】（Ⅰ）由已知得，
取的中点，连接．
由为中点知，．
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是．
因为平面，平面，所以平面．
2.（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱中，
（Ⅰ）证明：//平面；
【解析】（Ⅰ）连结，交分别是的中点，于点O，
连结DO，则O为的中点，
因为D为AB的中点，所以OD∥，又因为OD平面，
平面，所以 //平面；
1．(2018浙江)已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】若，，∥，由线面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直线与可能异面，故“∥”是“∥”的充分不必要条件．故选A．
2．（2015福建）若 是两条不同的直线，垂直于平面 ，则“ ”是“∥”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】由“且”推出“或”，但由“且”可推出“”，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B．
3．（2014辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【解析】对于选项A，若，则与可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C，若，，则或，C错误；对于选项D，若，，则或或与相交，D错误．故选B．
4.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
A．158 B．162 C．182 D．32
【解析】由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，
即，高为6，
则该柱体的体积是．故选B．
5．(20173)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________.
【解析】圆柱的轴截面如图，，，所以圆柱底面半径，那么圆柱的体积是，故选B．
6.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
【解析】该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，
所以该模型体积为：
，
打印所用原料密度因为为，不考虑打印损耗，
所以制作该模型所需原料的质量为：．
7.（20163）在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是__________
【解析】
此时，V的最大值，
8.（2020•新全国1山东）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【解析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.
【详解】如图：
取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得.故答案为：.
9.（2020•江苏卷）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
【解析】（1）由于分别是的中点，所以.
由于平面,平面，所以平面.
（2）由于平面，平面，所以.
由于，所以平面,
由于平面，所以平面平面.
10．（2017江苏）如图，在三棱锥中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．
【解析】证明：（1）在平面内，因为，，所以．
又因为平面，平面，所以∥平面．
（2）因为平面⊥平面，
平面平面=，
平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
又，，平面，平面，
所以⊥平面，
又因为平面，
所以．
